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視頻標簽：牛頓法,導數的近似解
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：人教A版高二數學選修2-2第一章牛頓法—探究導數的近似解-海南
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人教A版高二數學選修2-2第一章牛頓法—探究導數的近似解-海南師范大學附屬中學
牛頓法——探究導數的近似解教學設計
一、教育價值
牛頓法“以直代曲”，是導數應用價值的生動體現。著名建筑設計師高迪曾說: “直線屬于人類，而曲線屬于上帝。”牛頓法體現了對曲線的巧妙處理，與“二分法”相比，牛頓法具有近似指向鮮明、智能依賴更低的獨特作用。
牛頓法的核心是以切線的零點近似代替曲線的零點，需借助圖像直觀體現，才能更好領悟其蘊涵的思想；另一方面，要領會牛頓法需理解其運算思路，掌握運算步驟，提煉算法。此課題充分滲透和發展高中生的兩大數學學科核心素養：直觀想象和數學運算。
通過剖析牛頓法的思維方式及其操作過程，進一步考察其數學本質，可發現牛頓法具有重要的教育價值。
二、基于教材與學情的思考
本節課是人教A版《數學( 選修 2-2) 》第一章第二節“導數的計算”中的“探究與發現”內容，屬知識拓展類課程。課前學生已能理解函數的零點與方程的根的關系，會用二分法求方程的近似解，會利用導數求曲線的切線方程。高一學生已學習信息技術，理解計算機程序運行的一些基礎原理，會讀算法程序框圖，選考技術的學生能編寫簡單的算法程序。教材介紹了導數的概念、計算、幾何意義等，為牛頓法提供了理論和實踐的基礎。
本節課除詳細介紹牛頓法的基本思想外，還要在對比基礎上突出牛頓法的優點。
存在的困難：一是學生對近似解的接受態度，學生已習慣求精確解；二是運算，要理解牛頓法就要體驗該法的運算過程，但牛頓法運算繁瑣，易望而生畏，若運算全依托計算機解決，學習感受單薄，不容易留下深刻印象。
三、教學重點
1.借助圖形，理解牛頓法運算思路，體會以直代曲、逼近的數學思想； 2.掌握牛頓法運算步驟，推導出公式并提煉算法。
四、教學難點
1.公式推導；2.在過程中培養直觀想象核心素養。
五、教學過程
設計意圖 教師活動
學生活動 1.課題引入
2.探究新知(1)回顧二分法
師：在之前的學習中，我們已掌握了導數概念，并能求出簡單函數的導數。今天，我們要共同探究它在求方程解中的應用——牛頓法。
問1：昨天已發下學案，之前我們學習過什么求方程近似解的方法？它的理論依據是什么？
師：并且通過必修部分的學習，我們明確了二分法求近似解的基本步驟，并獲得程序框圖。
問2：昨天的小組探究題，哪個組可以說說探究結果？
課前探究：請用二分法求方程x3+2x2+10x-20=0在區間(1,2)上的近似根。（精確度為0。01）
師：近似計算可拓寬數學應用的廣泛性，與智能化緊密相連。通過必修三的學習我們知道，判斷一個
生1：二分法
生2（小組匯報）
(2)直觀想象
(3)推導公式
3.課后探究任務
4.本課小結
5.作業布置 算法的優劣，標準之一在于迭代次數，如何減少迭代次數？牛頓從導數的幾何意義出發提出了思路。通過導數幾何意義的學習我們知道，在一個極小范圍之內，曲線可以用某點處的切線近似替代。而方程的解可視為函數的零點，那我們便想，能否建立函數零點與切線與x軸交點之間的聯系？嘗試下。 （通過幾何畫板演示逼近過程）
問3：如何獲得精確度更高的解？
師：通過多次迭代，我們便可獲得一串逼近函數零點的xn
探究：請完成學案，考慮需要幾步能獲得精確度內的實數解？
問4：我們希望將結論一般化，對于任一函數f(x)，能否獲得xn與xn-1的關系式？請嘗試在草稿紙上完成推導。
（通過PPT展示推導過程，強調易錯點）
師：牛頓法體現出對曲線的巧妙處理，以此方法為背景命制的試題綜合性強，如2011年陜西卷，便以牛頓法為背景進行命制，有興趣的同學可以探究。 此外，我們是以x =2為初始值進行求解，不同的初始值是否會對求解產生影響？由此，我們嘗試輸入幾個初始值，可以發現，不同初始值影響迭代次數。
問5：通過本節課的學習，你有什么收獲？
生3：利用x1，求f(x)在x= x1處的切線，與x軸交于x2
生4：（上臺板演推導過程）
（課后可利用Excel表格進行探究）
完成兩項探究任務
六、教學反思
章建躍老師告訴我們：教學要返璞歸真，要讓學生參與知識的生成和發展過程，在教學中培養學生的創新精神和實踐能力。
1666 年初，牛頓創立了三大運動定律，并著重從運動學角度研究微積分，1671 年完成了與牛頓法相關的《流數法》。牛一律告訴我們：一個運動的物體，在某一時刻如果外力消失，物體將做勻速直線運動，這條直線就是原來曲線的一條切線。學習牛頓法，絕不是僅為了求近似解，此法“高端”，讓學生感受到數學在科學工程上的應用，認識到數學的重要性。
牛頓法蘊涵著珍貴的數學思想，有利于鍛煉學生理性的思維品格、創新能力，發展學生的數學核心素養
聚著我們對數學歷史發展的思考，滲透了數學文化，讓課堂變得生動有內涵，體現了自然哲學的數學原理。
迭代次數和精確度是本節課難以突破的地方，兩者相輔相成，迭代是為了提高近似解的精確度，精確度是迭代的動力和休止符。在精確度的定義上，多種定義都很合理，學生的認知很難發現缺陷與不足，因此不必過多糾纏，說清楚就好。
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