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視頻標簽：導數(shù)的計算
視頻課題：人教A版高二數(shù)學選修2-2第一章導數(shù)的計算（二）四川省 - 攀枝花
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教學設計——導數(shù)的計算（二）
一、教材分析
１．教材背景
導數(shù)的計算是在學習了導數(shù)的定義及其幾何意義，掌握了研究導數(shù)的一般思路之后，學習的一個重要的基本計算規(guī)則，它是《導數(shù)及其應用》一章的重要內(nèi)容．本節(jié)內(nèi)容分三課時完成，第一課時學習幾個常用函數(shù)的導數(shù)；第二、三課時為基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的運算法則，本課為第二課時．
２．本課的地位和作用
本節(jié)內(nèi)容既是導數(shù)定義的深化，又是今后學習利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)性、極值、最值的基礎，具有非常高的實用價值，在教材中起到了承上啟下的關鍵作用。在導數(shù)計算的研究過程中重新溫習了高一所學的基本初等函數(shù)知識，通過學習可以幫助學生進一步理解函數(shù)，達到知識的螺旋式上升的目的，培養(yǎng)學生的函數(shù)應用意識，增強學生對數(shù)學的興趣． 二、重難點分析
根據(jù)新課程標準及對教材的分析，確定本節(jié)課重難點如下： 重點： 1、基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的運算法則及其應用;
2、復合函數(shù)的求導方法：復合函數(shù)對自變量的導數(shù)，等于已知函數(shù)
對中間變量的導數(shù)乘以中間變量對自變量的導數(shù)之積．
難點： 1、正確運用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的運算法則；
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2、正確分解復合函數(shù)的復合過程，做到不漏，不重，熟練．
三、目標分析
１．知識技能目標
熟記基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的運算法則；理解并掌握復合函數(shù)的求導法則．
２．過程性目標
通過自主探索，增加實用性，降低理論性，注意概念、性質(zhì)的實際引入，注重知識的發(fā)生、發(fā)展過程，弱化甚至刪除嚴格的公式推導過程．
３．情感、價值觀目標
讓學生感受數(shù)學問題探索的樂趣和成功的喜悅，體會數(shù)學的理性、嚴謹，展現(xiàn)數(shù)學實用價值及其在社會進步、人類文明發(fā)展中的重要作用． 四、學情分析
１．有利因素
學生剛剛學習了導數(shù)的定義、導數(shù)的幾何意義，已經(jīng)掌握了研究導數(shù)的一般思路，對于本節(jié)課的學習會有很大幫助．
２．不利因素
本節(jié)內(nèi)容公式、法則較多，對公式、法則的記憶和對復合函數(shù)的理解有一定困難，學生學習起來有一定難度． 五、教法學法
根據(jù)對教材、重難點、目標及學生情況的分析，本著教法為學法服務的宗旨，確定以下教法、學法：
探究發(fā)現(xiàn)式教學法、自主學習法、小組合作，并利用多媒體輔助教學。遵循“以學生為主體、教師是數(shù)學課堂活動的組織者、引導者和參與者”的現(xiàn)
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代教育原則。依據(jù)本節(jié)為公式應用的特點，以問題的提出、問題的解決為主線，始終在學生知識的“最近發(fā)展區(qū)”設置問題，倡導學生主動參與，通過不斷探究、發(fā)現(xiàn)，在師生互動、生生互動中，讓學習過程成為學生心靈愉悅的主動認知過程． 六、教學過程設計
復習舊知→新課引入→探索新知→知識擴展→課堂練習→課堂小結→課后作業(yè)
七、教學過程
１．復習舊知
幾種常用導數(shù)的公式是什么？ 〈一〉基本初等函數(shù)的導數(shù)公式表
函數(shù)
導數(shù)
yc（c是常數(shù)）
'0y ()()nyfxxnR
'1nynx
sinyx 'cosyx cosyx
'sinyx ()xyfxa 'ln(01)xyaaaa且
()xyfxe 'xye
()logafxx
'1
()(01)lnfxaaxa
且 ()lnfxx
'1()fxx
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〈二〉導數(shù)的運算法則（1）
導數(shù)運算法則
1．'
''()()()()fxgxfxgx 2．'''()()()()()()fxgxfxgxfxgx
3．
'
''2
()()()()()(()0)()()fxfxgxfxgxgxgxgx
（2）推論：'
'()()cfxcfx
（常數(shù)與函數(shù)的積的導數(shù)，等于常數(shù)乘函數(shù)的導數(shù)）
２．新課引入
觀看公益廣告視頻解答下面兩個問題：
問題1：假如y是奶奶，ｕ是媽媽，ｘ是你，那么y與x的函數(shù)關系式為 問題2： 函數(shù)1sinxyex的導數(shù)怎樣求？(溫馨提醒如果用導數(shù)的定義求此函數(shù)的導數(shù)，其過程十分復雜，這就有必要探討更便捷的求函數(shù)導數(shù)的途徑，通過本節(jié)的學習，我們就能找到這種便捷的途徑，求解本題的關鍵在于對復合函數(shù)導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則的正確運用。)
提問：y=eu與u=x-1兩個函數(shù)的解析式有何關系？
答：函數(shù)解析式是由y對u外層函數(shù)y=eu與u對x內(nèi)層函數(shù)u=x-1復合而成。
３．探索新知 〈一〉復合函數(shù)的概念
一般地，對于兩個函數(shù)()yfu和()ugx，如果通過變量u，y可以表
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示成x的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù)()yfu和()ugx的復合函數(shù)，記作
()yfgx。
復合函數(shù)的導數(shù)： 復合函數(shù)()yfgx的導數(shù)和函數(shù)()yfu和
()ugx的導數(shù)間的關系為xuxyyu，即y對x的導數(shù)等于y對u的導數(shù)與u對
x的導數(shù)的乘積．
若()yfgx，則()()()yfgxfgxgx
教師組織學生分組討論4-5分鐘，隨后各小組推薦成員展示與分組點評，教師作指導 〈二〉典例探究
知識點1：利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式求導數(shù)
例1 若2,0
(),cos,0
xxfxxx則(1)f= ，(2)f=
思路分析：()fx是分段函數(shù)，可分0x和0x兩種情況分別對()fx進行求導，然后將1x和2x代入相應的()fx的表達式，即可得(1)f和(2)f的值。 解：當x0時，2(),()2fxxfxx；當0x時，()cos,fxx()sinfxx，故
(1)2,(2)sin(2)sin2ff。
診斷分析：解答本題的關鍵是將()fx進行分段求導，理解和掌握基本初等函數(shù)的導數(shù)公式是求解本題的前提條件。
變式1 若3()fxx，則(1)f等于 知識點2：導數(shù)運算法則的應用 例2 求下列函數(shù)的導數(shù)： （1）sincos22
xxyx； （2）1
(1)(
1)yxx
；
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（3）1
1
xyx
思路分析：仔細觀察和分析各函數(shù)的結構規(guī)律，緊扣求導運算法則，聯(lián)系基本初等函數(shù)導數(shù)公式，不具備條件的可進行適當?shù)暮愕茸冃巍?nbsp;解：（1）1sincossin,222
x
xyxxx
11sin1cos22yxxx
（2） 先化簡，11
2211
1yxxxxxx，
13
2
21111(1)222yxxxx
（3） 因為1122
1111
xxyxxx
， 所以
22
222(1)2(1)2111(1)1xxyxxxx
。 診斷分析：①求導之前，應利用代數(shù)、三角恒等變形對函數(shù)進行化簡，然后求導，這樣可以減少運算量，提高運算速度，減少差錯；
②有的函數(shù)雖然表面形式為函數(shù)的商的形式，但在求導前利用代
數(shù)或三角恒等變形將函數(shù)先化簡，然后進行求導，可以避免使用商的求導法則，減少運算量。
變式2 求下列函數(shù)的導數(shù)：
（1）3(34)(21)yxxx； （2）2
1x
yxx
知識點3：復合函數(shù)求導法則的應用 例3 求下面函數(shù)的導數(shù)：
（1）cosxye； （2）ln(23)yx； （3）3(sin)yaxbx
思路分析：求復合函數(shù)的導數(shù)，關鍵在于分清函數(shù)的復合關系，選好中間變量，同時，正確運用復合函數(shù)求導法則，即復合函數(shù)對自變量的導數(shù)，等于
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已知函數(shù)對中間變量的導數(shù)乘以中間變量對自變量的導數(shù)。 解：（1）設,cos,uyeux則cos()(cos)sinsinuuxyexxexe
（2）函數(shù)ln(23)yx可以看作函數(shù)ln23yuux和的復合函數(shù)，根據(jù)復合函數(shù)的求導法則有：1
2
(ln)(23)223
xuxyyuuxu
x
（3）3(sin)yaxbx是由函數(shù)3,sinyuuaxbx復合而成的，
3
2
2
(sin)3(cos)3(sin)(cos)yuaxbxuabxaxbxabx
診斷分析：對于解析式較復雜的復合函數(shù)求導，若先化簡然后再對其求導則過程會更簡潔，復合函數(shù)求導的一般步驟為：分析-------求導-------回代 變式3 求下列函數(shù)的導數(shù)：
（1）sin3yx； （2）3yx； （3）44sincosyxx ４、知識擴展
牛頓法——用導數(shù)方法求方程的近似解
人們很早以前就開始探索高次方程的數(shù)值求解問題。 牛頓（IssacNewton,1842-1727）在《流樹法》一書 中，給出了高次代數(shù)方程的一種數(shù)值解法——牛頓法。
這種求方程根的方法，
在科學界已被廣泛采用。
32()21020fxxxx
O
y
r
x
0x 1x2x
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下面，我們看看如何求方程x3+2x2+10x-20=0的根。從函數(shù)的觀點看，方程x3+2x2+10x-20=0的根就是函數(shù)f(x)=x3+2x2+10x-20=0的零點，從圖形上看，一個函數(shù)的零點ｒ就是函數(shù)f(x)的圖像與x軸交點的橫坐標．
如何求r的值呢？
如果可以找到一步一步逼近r的點x0,x1,x2,…，xn.使得|xn-r|很小很小，那么，我們就可以把xn的值作為r的近似值，即把xn作為f(x)=0方程的近似解。
牛頓用“作切線”的方法找到了這一串x0,x1,x2,…，xn，當然，要有一個起始點，比如，我們從x0=4開始.
在x0=4處作f(x)的切線，切線與軸的交點就是x1；用x1代替x0重復上面的過程得到x2；一直繼續(xù)下去，得到x0,x1,x2,…，xn，從圖形上我們可以看到，x1較x0接近r，較x1接近r，等等。它們越來越逼近。接下來的任務是計算xn。我們知道，在點處切線的斜率是f′(x0)，因此切線方程是
000()yfxfxxx 如果00fx，那么，切線與x軸的交點是
0100fxxxfx
繼續(xù)這個過程，就可以推導出如下求方程根的牛頓法公式：如果
10nfx，
那么
111nnnnfxxxfx
請同學們自己推導。
對于一個給定的精確度，我們可以根據(jù)上述公式，求出方程
32210200xxx
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的近似解。下面，我們給出牛頓法的算法框圖，同學們可以根據(jù)它編一個程序，讓計算機幫你完成計算任務。
思考:
1、 不同的初始值對求方程的近似解有影響嗎？如果有，影響在什么地方？
2、 你還知道其他求方程近解的方法嗎？你認為牛頓法的優(yōu)點和缺點是什么？
注意：知識擴展內(nèi)容不作為課堂講解內(nèi)容，只是供學有余力的同學進行探究
No
Yes
給定精度0Z和初始值0x
根據(jù)牛頓法公式計算當前值：
32000102
0021020
3410
xxxxxxx計算當前精度：
10
0
xxZx 令01xx
0ZZ
1x為方程的近似解
求解結束
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與發(fā)現(xiàn)。
5．課堂小結
設問：本課我們主要學習了哪些內(nèi)容？應當注意些什么？ 1、理論知識點
（1）基本初等函數(shù)的導數(shù)公式； （2）導數(shù)的四則運算法則； （3）復合函數(shù)求導法則。 2、方法與技巧
（1）熟練掌握導數(shù)基本公式，仔細觀察和分析各函數(shù)的結構規(guī)律，選擇合適基本初等函數(shù)求導公式進行求導；
（2）不具備求導法則條件的，一般要遵循先化簡，再求導的原則，適當進行恒等變形，步步為營，使解決問題水到渠成。
（3）求復合函數(shù)的導數(shù)，一般是運用復合函數(shù)的求導法則，將問題轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)的導數(shù)來解決，其主要步驟為：
①分析清楚復合函數(shù)的復合關系是由哪些基本初等函數(shù)復合而成的，選定適當中間變量；
②分步計算中的每一步都要明確是對哪個變量求導，而其中特別要注意的是中間變量的關系；
③根據(jù)基本函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的運算法則，求出各函數(shù)的導數(shù)，并把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù)，堅持由外向內(nèi)，逐層求導，并保持各層之間不重復不遺漏。復合函數(shù)的求導熟練以后，中間步驟可以省略，不必再寫出函數(shù)的復合過程。
6．課后作業(yè)
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