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視頻標簽：線段垂直,平分線的作圖
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：人教版初中數學八年級上冊《線段垂直平分線的作圖》云南省優課
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線段垂直平分線的作圖
人教版八年級上冊
一．內容分析
1. 課標要求
（1）理解線段垂直平分線的概念，探索并證明線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等；反之，到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線上。
（2）尺規作圖：①能夠利用尺規完成作一條線段的垂直平分線，過一點作已知直線的垂線。 ②在尺規作圖中，了解作圖道理，保留作圖的痕跡，不要求寫作法。
2. 教材分析
知識層面：本節課在引入線段的垂直平分線時，是從軸對稱圖形入手，從軸對稱的角度發現線段的垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，本節課是在學習了“過直線上一點作已知直線的垂線”之后學習的，但是是從“作平角的角平分線”入手的，本節課從作“線段的垂直平分線”出發，利用今天所學過的知識再作“過直線上一點作已知直線的垂線”和“過直線外一點作已知直線的的垂線”，反映了數學中“一般與特殊”之間的研究視角，同時，作線段的垂直平分線不僅僅是作“對稱軸”，通過線段的垂直平分線可以得到線段的中點、四等分點等和線段、直線的垂線。
能力層面：作線段的垂直平分線的思路是自然的、合理產生的。在復習線段垂直平分線的性質和判定時，找到得到作出在垂直平分線上的點的方法，最關鍵的是要作出與線段兩端點距離相等的兩個點，作出兩點所在直線。并以該問題作為突破口，讓學生自主討論“過平面內一點作已知直線的垂線”，它和作“線段的垂直平分線”的區別是什么。在適當的訓練、相互交流的過程中，體會數學從定理到作圖的延伸。通過對知識的講解，把問題放到實際生活中，使作圖從操作的層面提升到應用的層面，發展學生的實際應用能力。
思想層面：點動成線，即線是點動而成的。而前面的學習中，角平分線可以看作是到角兩邊距離相等的點的集合。那么對于線段的垂直平分線，是不是也可以從點的集合角度出發呢？在同一平面內，過一點有無數條直線，而作垂直平分線的作圖必須有與線段兩個端點的距離相等的兩個端點得到，學會把學過的知識利用到新知識。學習“垂直平分線的作圖”就學會了作線段的中點、四等分點、過一點作已知直線的垂線等一系列方法。在教學中，要重視性質和判定的應用，而不是簡單的教步驟，教操作，“思想”、“方法”是數學的精髓，教師應該引導學生在解決問題中，培養探究意識，讓積極參與數學學習活動，體驗數學活動充滿著探索，從而獲得成功的體驗，充滿對數學學
習的好奇心和求知欲。 二．教學目標
1. 能夠利用尺規作圖做一條已知線段的垂直平分線，并能證明它的正確性。 2. 經歷探索證明線段垂直平分線的性質定理的過程，進一步發展推理能力。
3. 會利用定理解決問題，在問題的探究和解決中，培養探究意識，激發學習興趣，滲透歸納、分類轉換等思想方法，滲透特殊到一般的思想。 三．教學重難點
教學重點：線段垂直平分線的做法
教學難點：線段垂直平分線尺規做法正確性的證明 四．教學方法
講授法輔之以自主探究等方法 五．教學過程
（一）溫故知新，感悟定 1.線段垂直平分線的定義
2.線段垂直平分線的性質和幾何語言 3.線段垂直平分線的判定和幾何語言
【設計意圖】本節課是基于“線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等”和“與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上”這兩個知識進行尺規作圖的，對概念理解的透徹影響到新知識的產生。 （二）自主學習
閱讀課本P62—63頁思考后的內容，完成以下問題。
（1）如果兩個圖形能夠成軸對稱，其對稱軸就是任何一對 所連線段的 ； （2）對于軸對稱圖形，只要找到任意一組 ，作出對應點所連線段的 ，就得到此圖形的對稱軸.
歸納：對稱軸就是任何一對對應點所連線段的垂直平分線。
【設計意圖】“對稱軸”是得出線段垂直平分線的重點方法，通過自主學習，激發學生的自主學習意識。
（三）新課講解
問題1：用尺規作線段的垂直平分線 已知線段AB，求作線段AB的垂直
作法：（1）分別以A，B為圓心，大于
2
1
AB的長為半徑作弧,兩弧相交于點C，D兩點. （2）作直線CD CD就是所求作的直線 證明：ABAC
的垂直平分線上在線段點ABC
BDAD
的垂直平分線上在線段點ABD 的垂直平分線是線段直線ABCD
注意：我們可以用這種方法確定線段的中點。 【師生活動】
師：在作線段的垂直平分線上不是“畫圖”而是“作圖”，那么“作圖”要用哪些工具呢？ 生：無刻度的直尺和圓規
師：我們知道“點動成線”，怎么找到垂直平分線上的點呢?
生：根據與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上，可以用圓規找到這樣的點？ 師：我們知道過一個點有無數條直線，一個點夠嗎？為什么？ 生：不夠，因為兩點確定一條直線
（教師帶同學作畫出線段AB的垂直平分線并歸納做法并證明）
【設計意圖】①主要訓練線段垂直平分線的尺規作圖。②訓練線段垂直平分線的幾何證明，并利用“與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上”轉換問題。③訓練線段的垂直平分線的判定，又將問題設計在直角三角形這一載體上。隱含著直角三角形三邊的垂直平分線的交點恰在斜邊的中點處，同時也為后續學習等腰三角形的性質與判定做鋪墊。 （四）討論探究
如何過一點C作已知直線 l 的垂線呢？
做法：
①在直線l 上點C的兩旁分別截取線段AC， BC，使AC= BC； ②分別以A，B 為圓心 以大于
2
1
AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點P； ③過點C，P作直線CP，則直線CP為所求作的直線.
做法：
①以點C 為圓心， 以大于點C到直線l的距離的線段長為半徑畫弧， 交直線l于點A，B；
②分別以A，B 為圓心 以大于
2
1
AB 的長為半徑畫弧，兩弧相交于點C； ③過點C,P作直線CP，則直線CP為所求作的直線.
【師生活動】
師：你能根據垂直平分線的作圖的方法得到過一點作已知直線的垂線嗎？
師：我們知道點和直線的位置關系有兩種：點在直線上，點在直線外。兩種圖形你能想到如何操作嗎？ 生：（學生獨立思考，與小組交流） 生：學生展示討論結果
【設計意圖】在教學過程中，本節內容既有知識層面的的關聯，又有研究方法的“基本套路”的一致。靈活掌握了“線段垂直平分線”的這一基本作圖，為學習“過一點作已知直線的垂線”提供了一個知識生長點，反映了數學中的“一般與特殊”之間的研究視角。學生在小組討論中學習，激發了學生的積極性，活躍課堂，學生講解，增加學生的自信心與競爭意識。 （五）課堂訓練
1. 如圖，某地由于居民增多，要在公路l上增加一個公共汽車站，A，B是路邊兩個新建小區，這個公共汽車站建在什么位置，能使兩個校區到車站的路程一樣長？
2. 把線段AB四等分。
【師生活動】提問學生分析題目，引導學生找到問題中的關鍵點，帶領學生完成實際問題中的作圖
A
B
題，并教會他們解題格式
【設計意圖】題目選擇教科書1題和教輔書1題，題目難度不大，考察學生對線段垂直平分線的作圖的應用能力，審清題目是要找到直線上的一個點到點A和點B的距離相等，通過今天學習的知識畫出兩個點連線的線段的垂直平分線，得到兩條線的交點，交點就是問題中的答案。讓學生體會知識靈活應用的樂趣。 （六）思考探究
A、B、C三工廠共同協商修建一個供水站，要求到三廠距離相等，請你幫忙設計水廠建在什么地方？畫圖說明。
（七）課堂小結： 這節課有哪些收獲？
（八）作業布置：課時刷：49，50頁
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