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視頻標簽：矩形中的,折疊問題
視頻課題：初中數(shù)學人教版八年級下冊第十八章《矩形中的折疊問題》湖北
教學設計、課堂實錄及教案：初中數(shù)學人教版八年級下冊第十八章《矩形中的折疊問題》湖北省 - 宜昌
課題：矩形中的折疊問題
【學習目標】
（1）使學生通過學習，掌握《矩形中的折疊問題》的解題規(guī)律。
（2）通過操作、觀察、試驗、猜想、類比等方法，解決問題，進一步提高綜合解決問題的能力。
（3）通過學習，學會如何把問題歸類，形成發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律的能力。
（4）通過綜合應用數(shù)學知識解決折疊問題，體會知識間的聯(lián)系，感受數(shù)學學習的樂趣. 【學習重點】
分析折疊過程中的數(shù)量關系、圖形位置關系。 【學習難點】
綜合運用知識挖掘矩形折疊問題中角度和線段的數(shù)量關系. 【教、學具準備】
教具：電子白板、多媒體課件等工具輔助教學。 學具：每位學生一張矩形紙片。 【教學過程】
【活動引入 揭示課題】 （一）憶一憶
經(jīng)過本章學習，你認識了哪些特殊的四邊形？出示一張矩形的紙片，這是什么圖形？ 對照圖形，說說矩形的有什么性質(zhì)。
設計意圖：引導學生有條理回顧概念及相關性質(zhì)，為后面研究學習做準備。 （二）折一折
活動規(guī)則：把手中的矩形紙片折疊一次。
①你能想一想相同的矩形紙片，都折疊了一次，為什么折疊成了不同的圖形？ （折痕） ②請你再試折幾次，從幾何學習的角度，你對折疊后的哪種圖形最感興趣？
設計意圖：通過對矩形紙片的折疊，引導同學們要有思考的習慣，同時感知矩形的折疊產(chǎn)生豐富的圖形，培養(yǎng)學生對幾何圖形的直觀感知，增強學生學習數(shù)學的興趣，調(diào)動學生學習的積極性和主動性。揭示課題——矩形中的折疊問題。 【自主學習 合作交流】
在學生有了圖形的動態(tài)變化直觀感知后，通過對矩形不同位置的折疊產(chǎn)生的三種基本圖形的研究，知曉折疊問題因為有了“折”就有了“形”----軸對稱圖形、全等形；有了“折”就有了“數(shù)”----線段之間、角與角之間的數(shù)量關系。“折”就為“數(shù)”與“形”之間的轉(zhuǎn)化搭起了橋梁，數(shù)形結(jié)合是解決這類問題的突破口。
三個問題的研究采用了“獨立思考”、“小組討論”、“合作探索”、“學生講解”的方式，
通過“找一找”、“猜一猜”、“練一練”、 “證一證” 、“理一理”等師生活動，鼓動學生主動觀察、實驗、猜測、驗證、推理和交流，形成有效的建構(gòu)性學習。 （三）找一找
問題1：如圖,矩形紙片ABCD. 若P是邊AB上一點，沿折痕PD折疊,使點A落在BC上的E處.
① 請你找一找圖中哪些相等的線段和相等的角。
設計意圖：對學生進行知識、方法、能力梳理，引導學生自己去發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，從而形成能力。 （四）理一理
在找圖中相等的線段和相等的角時，你關注了哪些方面的知識？
設計意圖：矩形折疊中會產(chǎn)生很多相等的線段和相等的角，難免同學們考慮不周全，這樣理一理，引導學生思考問題的有序性。分析圖中相等的線段和角我們要關注折疊產(chǎn)生的軸對稱性質(zhì)，又不忘背景圖形——矩形的性質(zhì)，還要考慮由折疊引起的新的數(shù)量關系。 （五）練一練
②若AB=6cm，BC=10cm，你能求出哪些線段的長？
設計意圖：學生通過多種方法經(jīng)歷解決折疊問題中具有代表性的問題，來構(gòu)建自己的知識結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)探究能力、合作能力。再次整理思路，總結(jié)規(guī)律。 （六）猜一猜
問題2：如圖，矩形紙片ABCD.沿折痕BD折疊, 使點A落在BC上的E處，BE與AD交于M點.
① 你能猜出重疊部分△MBD是什么形狀，說明理由。
設計意圖：讓學生經(jīng)歷幾何研究的“觀察——猜想——證明”的過程，引導學生認識相同矩形紙片不同位置的折疊，會產(chǎn)生不同的數(shù)量關系，這是在幾何學習中要用心體會的，此時圖中隱含著一個重要的基本幾何圖形， 即角平分線和平行線結(jié)合在了一起，這時會出現(xiàn)等腰三角形，這對于我們解題有很大幫助.
②若AB=6cm，BC=8cm，求重合部分△MBD的面積。
設計意圖：用前面研究學習的方法，自己獨立思考，嘗試解決問題，給學生創(chuàng)造體驗成功的機會。通過新位置新問題中尋找新的數(shù)量關系，以此培養(yǎng)學生的觀察能力和歸納能力，使學生感受到數(shù)學學習是有趣的、豐富的、有價值的.結(jié)合規(guī)范解題過程，對所學知識形成技能。
【合作交流 探究規(guī)律】 （七）證一證
問題3：如圖，矩形紙片ABCD，若AB=6cm，BC=10cm，.當點P是邊BC上一點，Q是AD上一點，沿折痕PQ折疊, 使點A落在BC上的E處. 連接AP,EQ.觀察并思考： ①證明四邊形APEQ是菱形.
②當點E與點C重合時，求出折痕PQ的長.
設計意圖：問題3的設置，既是前面知識與方法的運用，又可以是新問題中尋找新的數(shù)量關系的探究，解法很多，是學生展示自我的很好平臺，通過一題多解，開闊學生思路，訓練思維的發(fā)散性、靈活性，充分體現(xiàn)由未知轉(zhuǎn)化為已知的數(shù)學思想。
從知識，方法上引導學生發(fā)現(xiàn)此時的折疊，除了前面問題1，問題2中線段和角的對應相等，還應抓住圖中隱藏著PQ垂直平分AE，這是折疊的又一重要性質(zhì)。 【課堂小結(jié) 感悟反思 】
對照下面幾個問題談談你的想法： （1）這節(jié)課學到了什么？
（2）本節(jié)課的問題解決主要采用了什么方法？ （3）還有那些疑問？
由此我們可以總結(jié)矩形中的折疊問題的解題常規(guī)思路：
首先，我們應該從由折疊產(chǎn)生的軸對稱圖形和背景圖形的性質(zhì)入手，找出相等的線段、角，直角三角形等，這些是我們解決問題的基本條件.
其次，根據(jù)這些基本條件，再結(jié)合我們在幾何中已有的知識經(jīng)驗，挖掘常見的基本圖形，從而找到全等三角形、等腰三角形、菱形等特殊圖形，這些是解決問題的關鍵.
再有，在特殊圖形中運用方程思想，借助勾股定理，是計算邊長的常用的數(shù)學思想方法. 設計意圖：學生通過通過對矩形折疊問題產(chǎn)生的三種基本圖形的合作探究，解決折疊問題中具有代表性的問題，學會如何把問題歸類，形成發(fā)現(xiàn)規(guī)律的能力，進一步提高學生綜合解決數(shù)學問題的能力。
設計意圖：從相關知識點、圖中涉及的基本圖形、解題思想方法三個層面引導梳理學習內(nèi)容，幫助學生養(yǎng)成整理知識的習慣。同時養(yǎng)成反思學習過程的習慣，為后續(xù)的學習做好鋪墊。
【能力延伸 運用提高】
問題4：如圖，ABCD是一張矩形紙片，AD=BC=1，AB=CD=5.在矩形ABCD的邊AB上取一點M，在CD上取一點N，將紙片沿MN折疊，使MB與DN交于點K，得到△MNK.
(1)△MNK的面積能否小于2
1?若能，求出此時∠1的度數(shù)；若不能，試說明理由；
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