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視頻標簽：根號2,不是有理數
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：人教版初中數學七年級下冊根號2為什么不是有理數教學河北省 - 滄州
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教學目標：
（一）教學知識點
1、通過拼圖活動得出2，讓學生感受無理數產生的實際背景和引入的必要性.
2、能夠判斷2不是有理數，并說明理由. 3、進一步認識無理數的概念. （二）能力訓練要求
1、讓學生親自動手做拼圖活動得出2，感受無理數產生必要性，培養大家的動手能力和合作精神.
2、通過回顧有理數的有關知識，能夠正確的推理和判斷，識別一些數據是否
為有理數，訓練他們的思維判斷能力. （三）情感與價值觀要求
1、激勵學生積極參與教學活動，提高大家學習數學的熱情.
2、引導學生充分進行交流、討論與探索等教學活動，培養他們的合作與鉆研
精神.
3、了解有關無理數發現的知識，鼓勵學生大膽質疑，培養他們為真理而奮斗的獻身精神. 教學重點
1、讓學生經歷2的發現過程，感受生活中確實存在著不同于有理數的數. 2、會判斷2不是有理數. 3、了解2是怎樣一個無理數. 教學難點
1、通過拼圖發現2的過程.
2、用反證法判斷2不是有理數的代數證法. 3、判斷2不是有理數的幾何證法. 教具準備
兩個邊長為1的正方形，四個腰長為1的等腰直角三角形，剪刀. 教學過程
（一）、創設問題情境，引入問題
師：本章《實數》的學習中我們接觸到了一種數—開方開不盡的數.這節課我們
就對其中一個數2來進行研究.請問同學們，2是有理數還是無理數？ 生：無理數
師：為什么2不是有理數？ 生：因為它是無限不循環小數.
師：在很早的時候，偉大的希臘數學家畢達哥拉斯曾經說過“萬物皆數”，意思是說，一切量都可以用整數或分數來表示.今天，我們就追隨前人的腳步，來證明為什么2不是有理數. （二）、回顧舊知，直奔主題 1、回顧舊知
師：有理數是怎樣定義的？ 生：整數和分數統稱為有理數.
2、兵分兩路，證明2既不是整數，又不是分數 活動1: 證明2不是整數
教師拿出教具——四個腰長為1個單位長度的等腰直角三角形拼成兩個正方形，貼在黑板上，學生在草稿紙上畫腰長為1分米的等腰直角三角形. 師：誰能告訴我你們所畫的等腰直角三角形斜邊是幾呢？ 生：2
師：誰能證明一下它的長度？ （小組交流，動手裁紙，動手拼圖） 師：哪個組已經得出結論？
學生踴躍的到講臺上展示自己的成果，證明由四個腰長為1個單位長度的等腰直角三角形拼成的一個大正方形邊長為2,即腰長為1分米的等腰直角三角形的斜邊為2.
1
1 1
1
師：趕緊動手量一量吧，2大約是多少？ 生：1.4分米，1.5分米
師：總而言之，2的值在1和2之間，所以它不是整數. 活動2: 證明2不是分數
師：2是分數嗎？由于這個問題證法比較抽象，所以它的證明過程我們引入一種新的方法—反證法.也就是說我們可以先假設2是分數，然后再推出矛盾，從而宣布它不是分數.
追問：假設2是分數，那么它就可以寫作q
p
=2（qp,是兩個互質的正整數），哪位同學可以推出其中的矛盾.
學生獨立思考，動筆計算.教師派代表說說自己的感悟. 教師引導學生從代數和幾何兩個角度突出矛盾. 師：(提問并板演) q
p
=
2，即qp2=，222qp=.這說明什么？ 生：2p是偶數,因為p為正整數，則p也是偶數. 師：那q呢？
自己分析后，小組討論. 生：2
2
2
pq=
，p是偶數，則2q是偶數，從而得出q也是偶數，這與qp,是兩
個互質的正整數相矛盾，所以2不是分數.
師：這一組說的非常棒！這個證法更側重于邏輯推理，如果能像剛才測量2的長度那樣，我們能把222qp=這種抽象的式子用圖形來表示豈不是不是更好？如果對這個式子賦予一個實際意義，可以用它來表示什么呢？ 生：一個大正方形的面積等于兩個小正方形的面積之和.
師：（展示幻燈片）我把一個邊長為p的正方形和兩個邊長為q的正方形按屏幕上這種方式擺放. 你有什么發現？
經過觀察及老師的引導之后，學生會逐漸發現 兩個邊長為q的正方形的重疊部分的面積等于大正方形和小正方形不重疊部分的兩個小正方形面積之和. （教師把這三個新的正方形打上陰影）
生：藍色正方形的面積等于兩個黃色的正方形面積之和.
師：如果我把這三個正方形的邊長也分別設為qp,呢？那它們能否再拼成剛開始那三個正方形擺放的樣式？ 生：可以.
師：那它們的邊長是否還滿足222qp=呢？ 生：滿足.
師：那它們重疊部分的大正方形的面積和不重疊部分的兩個小正方形面積之和還想等嗎？ 生：可以.
師：如果我把新的正方形的邊長也分別設為qp,呢？還滿足222qp=嗎？ 生：滿足.
師：而且我們可以發現這些qp,的值和我們最初設的那組qp,的值相比較，有什么變化？ 生：逐漸變小.
師：這些qp,的值可能一直是正整數嗎？ 生：不可能. 師：這說明什么？
生：這與qp,是兩個互質的正整數相矛盾，所以2不是分數. 師：綜上可知？
生：2既不是整數，又不是分數，所以他不是有理數. （三）揭開迷霧，還原真相
p
q
q
師：2到底是怎樣一個數呢？其實是我們可以借用現代科技，利用科學計算器來驗證一下.
（教師用科學計算器演示，讓孩子們2對有一個更直接的認識.）
2
=1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907324784621070388503875343276415727350138462309122970249248360558507372126441214970999358314132226659275055927557999505011527820605714701095599716059702745345968620147285174186408891986095523292304843087143214508397626036279952514079896872533965463318088296406206152583523950547457502877599617298355752203375318570113543746034084988471603868999706990048150305440277903164542478230684929369186215805784631115966687130130156185689872372
師：大家猜一猜，如若屏幕足夠大，2（最后一位）后面還有數字嗎？ 生：有.
師：那就要靠你們好好學習，將來學習條件允許了，接觸到更高級的計算器才可以驗證.事實上它的小數位共有多少位？ 生：有無數位.
師：可以看出是2一個什么小數？ 生：無限不循環小數.所以它是無理數. （四）課堂小結，布置任務 師：這節課你有哪些收獲？
生：（2是無限不循環小數，是無理數， 如何證明2不是有理數
……）
師：通過這節課的學習，我們可以感受到，一個我們已經認定的事實，聽起來是那么的簡單，可是它們證明過程卻是有一群熱愛數學的“瘋子”大膽猜想，小心求證，一點一滴的驗證出來的.所以大家既要站在巨人的肩膀上記住他們的經驗，又要學習他們的敢于質疑、勇于挑戰的數學精神.
師：所以我們課下的任務是，請大家類比證明2不是有理數的過程，去證明33為什么不是有理數？
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