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視頻標簽：圓周角
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：人教版九年級上冊數學第24章《24.1.4 圓周角》寧夏
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人教版九年級上冊數學第24章《24.1.4 圓周角》寧 夏
《24.1.4 圓周角》教學設計
教學目標： 【知識與技能】
1.理解圓周角的概念.探索圓周角與同弧所對的圓心角之間的關系，并會用圓周角定理進行簡單的運用；
2.掌握圓周角定理的三個推論，并會熟練運用這些知識進行有關計算和證明。
【過程與方法】
經歷探索圓周角定理的過程，培養學生觀察、分析、想象、歸納和邏輯推理的能力；同時初步體會分類討論的數學思想，滲透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”的化歸思想。
【情感態度】
通過積極引導，幫助學生敢于面對數學活動中的困難，有意識地運用已有知識解決新問題，獲得成功的體驗。
【教學重點】
圓周角定理及其推論的探究與應用。 【教學難點】
圓周角定理的證明中由一般到特殊的數學思想方法以及圓周角定理及推論的應用。
教學過程： 一、創設情境：
情景:幾何畫板導入動畫效果，講故事引導學生回答下列問題： 問題1： 什么叫圓心角？指出圖中的圓心角？ 問題2： ∠BCA的頂點和邊有哪些特點? 問題3： ∠BCA與∠AOB有何異同？
問題4： 你能仿照圓心角的定義給∠ACB取一個名字并下定義嗎？ 由此導入課題.（板書課題）
二、探究新知
1.圓周角的定義
探究1 觀察下列各圖，圖（1）中∠APB的頂點P在圓心O的位置，此時∠APB叫做圓心角，這是我們上節所學的內容.圖（2）中∠APB的頂點P在⊙O上，角的兩邊都與⊙O相交，這樣的角叫圓周角.請同學們分析（3）、（4）、（5）、（6）是圓心角還是圓周角.
【教學說明】設計這樣的一個判斷角的問題，是再次強調圓周角的定義，讓學生深刻體會定義中的兩個條件缺一不可.
【歸納結論】圓周角必須具備兩個條件：①頂點在圓上；②角的兩邊都與圓相交.二者缺一不可.
2.圓周角定理
探究2如圖，（1）指出⊙O中所有的圓心角與圓周角，并指出這些角所對的是哪一條弧？
（2）量一量∠C、∠AOB的度數，看看它們之間有什么樣的關系？ （3）改變動點C在圓周上的位置，看看圓周角的度數有沒有變化？你發現其中有規律嗎？若有規律，請用語言敘述.
解：（1）圓心角有：∠AOB； 圓周角有：∠C；它所對的是弧AB （2）∠C=1/2∠AOB
（3）改變動點C在圓周上的位置，這些圓周角的度數沒有變化，并且圓周角的度數恰好等于同弧所對圓心角度數的一半.
思考：若改變弧AB的大小，圓周角∠C與圓心角∠AOB是否還有這樣的關系？
O
A
B
C
【教學說明】教師利用幾何畫板測量角的大小，移動點C，讓學生觀察當C點位置發生改變過程中，圖中有哪些不變，從而交流總結，找出規律，同時引導學生觀察圓心與圓周角的位置關系，為定理分情況證明作鋪墊.
為了進一步研究上面發現的結論，通過觀察動畫效果， 問題1：你發現圓心角與圓周角有幾種位置關系？分別是哪些？ （1）圓心O在∠BCA的一邊上（特殊情形） （2）圓心O在∠BCA的內部 （3）圓心O在∠BCA的外部
問題2：如何證明一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半？ 已知：在⊙O中，弧AB所對的圓周角是∠ACB，圓心角是∠AOB， 求證：∠ACB=1/2∠AOB.
（提示分析：我們可按上面三種圖形、三種情況進行證明。）
如圖（1），圓心O在∠ACB的邊上，∵OB=OC， ∴∠B=∠C，而∠BOA=∠B+∠C，∴∠B=∠C=1/2∠AOB.
圖（2）（3）的證明方法與圖（1）不同，但可以轉化成（1）的基本圖形進行證明，引導提示學生輔助線的添加技巧，證明過程請學生們小組討論完成，并派代表講解小組結論。
得出圓周角定理：
在同圓或等圓中，一條弧所對的圓周角等于這條弧所對圓心角的一半. 【教學說明】在定理的證明過程中，要使學生明確，要不要分情況來證明.若要分情況證明，必須要明白按什么標準來分情況，然后針對各種不同的情況逐個進行證明.在證明過程中，第（1）種情況是特殊情況，是比較容易證明的，經過添加直徑這條輔助線將（2）、（3）種情況轉化為第（1）種情況，體現由一般到特殊的思想方法。對于后面要學生注意的兩個問題，是為了加強學生對圓周角定理的理解，使學生能準確的掌握好圓周角定理。
3.圓周角定理的推論
推論1：同弧所對的圓周角相等。
題短情長
1.如圖，點A、B、C、D在☉O上，點A與點D在點B、C所在直線的同側，∠BAC=35º.
(1)∠BOC= º，理由是 ； (2)∠BDC= º，理由是 。
2.如圖，點A、B、C、D在同一個圓上， AC、BD為四邊形ABCD的對角線. (1)完成下列填空：
∠1= . ∠2= .∠3= .∠5= . （2）若弧AB=弧AD，則∠1與∠2是否相等，為什么？ 推論2：等弧所對的圓周角相等
注意：定理應用的條件是“同圓或等圓中”，而且必須是“同弧或等弧”。
（3）若弧AC（弦AC）是半圓（直徑）， 則∠ADC= ，∠ABC= 。
推論3：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，
反之，90°的圓周角所對的弦是直徑.
【教學說明】這個推論是圓中很重要的性質，為在圓中確定直角，構成垂直關系創造了條件.同時這一結論為在圓中證明直徑提供了重要依據.
三、典例精析，獲取新知
例1如圖，⊙O的直徑AB為10cm，弦AC為6cm，∠ACB的平分線交⊙O于D。求BC、AD、BD的長。
分析：由直徑AB可知△ACB和△ADB為直角三角形，進而可用勾股定理求BC，又由CD平分∠ACB可知∠1=∠2，從而得到AD、BD.再次用勾股定理求出AD、BD的長。
A1 A
2
A
3
解：∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=∠ADB=90°， ∴△ACB和△ADB為直角三角形. 在Rt△ABC中，BC=
=8（cm）.
∵CD平分∠ACB，∴∠1=∠2，∴ 弧AD=弧BD， ∴AD=BD .又在Rt△ABD中，AD=BD=2/2 AB=52（cm）
【教學說明】利用圓周角定理及其推論，將求線段長的問題轉化到解直角三角形的問題上來。
四、課堂檢測
1.如圖,BD是⊙O的直徑,∠CBD=30°,則∠A的度數為 。
2.如圖，AB是⊙O的直徑, C 、D是圓上的兩點，∠CAB=40°,則∠ADC= . 3.如圖，在⊙O中，點A，B，C在圓上，若OA＝AB，則∠ACB=（ ）
A、15° B、30° C、45 °D、60°
4.已知△ABC的三個頂點在⊙O上,∠BAC=50°,∠ABC=60°,則∠AOB= ．
【教學說明】讓學生通過習題鞏固本節知識點，同時體會這節常見題型及常見輔助線的作法.在解題過程中，教師要對沒有找到方法的學生進行點撥.
五、課堂小結
師生共同回顧本節所學的知識點有哪些？常見的輔助線有哪些？ 微視頻展示本節課的主要內容。
【教學說明】學生自主交流小結，教師用微視頻加以補充和點評，營造輕松愉悅的氛圍.
六、布置作業：1.課本88頁 第3題.
2.完成練習冊中本課時學習之友.
七、板書設計
第1題
第2題
第
八、教學反思
本節課首先設計了一個問題情境，展示了圓心角與圓周角的位置關系，引出圓周角的概念.然后通過測量、猜想，得出同弧所對的圓周角等于圓心角的一半的結論.接著通過讓學生折紙，觀察與思考，利用分類討論的思想方法，分三種情況給出系統的證明及思維過程.至此我們利用遷移、轉化的思想方法化未知為已知，將圓周角的問題轉化為圓心角來求解.其后為進一步探索圓周角的其他性質，我們又以設置的問題為導線，將學生帶入到教學活動中，同時再次通過交流、討論、合作、歸納出圓周角定理的三個推論，并運用它們進行解題，實現從認識到應用的轉化.
視頻來源：優質課網 www.jixiangsibao.com
