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視頻簡(jiǎn)介：

視頻標(biāo)簽：平面

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：人教版高中數(shù)學(xué)必修《平面》鄒城市第一中學(xué)

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人教版高中數(shù)學(xué)必修《平面》鄒城市第一中學(xué)

《2.1.1平面》教學(xué)設(shè)計(jì)
教學(xué)分析
    平面是最基本的幾何概念,教科書以課桌面、黑板面、海平面等為例,對(duì)它只是加以描述而不定義.立體幾何中的平面又不同于上面的例子,是上面例子的抽象和概括,它的特征是無限延展性.為了更準(zhǔn)確地理解平面,教材重點(diǎn)介紹了平面的基本性質(zhì),即教科書中的三個(gè)公理,這也是本節(jié)的重點(diǎn).另外,本節(jié)還應(yīng)充分展現(xiàn)三種數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)換與翻譯,特別注意圖形語言與符號(hào)語言的轉(zhuǎn)換.
三維目標(biāo)
1.正確理解平面的幾何概念,掌握平面的基本性質(zhì).
2.熟練掌握三種數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)換與翻譯,結(jié)合三個(gè)公理的應(yīng)用會(huì)證明共點(diǎn)、共線、共面問題.
3.通過三種語言的學(xué)習(xí)讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)語言的美,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.
重點(diǎn)難點(diǎn)
    三種數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)換與翻譯,利用三個(gè)公理證明共點(diǎn)、共線、共面問題.
課時(shí)安排
    1課時(shí)
教學(xué)過程
一、導(dǎo)入新課
思路1.(事例導(dǎo)入)
觀察長(zhǎng)方體（圖1），你能發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)、棱所在的直線，以及側(cè)面、底面之間的關(guān)系嗎？

圖1
    長(zhǎng)方體由上、下、前、后、左、右六個(gè)面圍成.有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在的直線與面平行，有些棱所在的直線與面相交；每條棱所在的直線都可以看成是某個(gè)面內(nèi)的直線等等.空間中的點(diǎn)、直線、平面之間有哪些位置關(guān)系呢？本節(jié)我們將討論這個(gè)問題.
思路2.(情境導(dǎo)入)
    大家都看過電視劇《西游記》吧，如來佛對(duì)孫悟空說：“你一個(gè)跟頭雖有十萬八千里，但不會(huì)跑出我的手掌心”.結(jié)果孫悟空真沒有跑出如來佛的手掌心，孫悟空可以看作是一個(gè)點(diǎn)，他的運(yùn)動(dòng)成為一條直線，大家說如來佛的手掌像什么？對(duì)，像一個(gè)平面，今天我們開始認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)中的平面.
二、新知探究
探究一：平面的相關(guān)概念及性質(zhì)
提出問題
①怎樣理解平面這一最基本的幾何概念;
②平面的畫法與表示方法;
③如何描述點(diǎn)與直線、平面的位置關(guān)系？
④直線與平面有一個(gè)公共點(diǎn)，直線是否在平面內(nèi)？直線與平面至少有幾個(gè)公共點(diǎn)才能判斷直線在平面內(nèi)？
⑤根據(jù)自己的生活經(jīng)驗(yàn)，幾個(gè)點(diǎn)能確定一個(gè)平面？
⑥如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，它們的位置關(guān)系如何？請(qǐng)畫圖表示;
⑦描述點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系常用幾種語言？
⑧自己總結(jié)三個(gè)公理的有關(guān)內(nèi)容.
活動(dòng)：讓學(xué)生先思考或討論，然后再回答，經(jīng)教師提示、點(diǎn)撥，對(duì)回答正確的學(xué)生及時(shí)表?yè)P(yáng)，對(duì)回答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問題的思路.對(duì)有困難的學(xué)生可提示如下：
①回憶我們學(xué)過的最基本的概念（原始概念），如點(diǎn)、直線、集合等.
②我們的桌面看起來像什么圖形？表示平面和表示點(diǎn)、直線一樣，通常用英文字母或希臘字母表示.
③點(diǎn)在直線上和點(diǎn)在直線外；點(diǎn)在平面內(nèi)和點(diǎn)在平面外.
④確定一條直線需要幾個(gè)點(diǎn)？
⑤引導(dǎo)學(xué)生觀察教室的門由幾個(gè)點(diǎn)確定.
⑥兩個(gè)平面不可能僅有一個(gè)公共點(diǎn)，因?yàn)槠矫嬗袩o限延展性.
⑦文字語言、圖形語言、符號(hào)語言.
⑧平面的基本性質(zhì)小結(jié).
討論結(jié)果：①平面與我們學(xué)過的點(diǎn)、直線、集合等概念一樣都是最基本的概念（不加定義的原始概念），只能通過對(duì)它描述加以理解，可以用它定義其他概念，不能用其他概念來定義它，因?yàn)樗遣患佣x的.平面的基本特征是無限延展性，很像如來佛的手掌(吳承恩的立體幾何一定不錯(cuò)).
②我們的桌面看起來像平行四邊形，因此平面通常畫成平行四邊形，有些時(shí)候我們也可以用圓或三角形等圖形來表示平面，如圖2.平行四邊形的銳角通常畫成45°，且橫邊長(zhǎng)等于其鄰邊長(zhǎng)的2倍.如果一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮擋住，為了增強(qiáng)它的立體感，我們常把它遮擋的部分用虛線畫出來，如圖3.

圖2                           圖3
    平面的表示法有如下幾種：（1）在一個(gè)希臘字母α、β、γ的前面加“平面”二字，如平面α、平面β、平面γ等，且字母通常寫在平行四邊形的一個(gè)銳角內(nèi)(圖4)；（2）用平行四邊形的四個(gè)字母表示，如平面ABCD（圖5）；（3）用表示平行四邊形的兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)的字母來表示，如平面AC（圖5）.

圖4                       圖5
③下面我們總結(jié)點(diǎn)與直線、平面的位置關(guān)系如下表：

點(diǎn)A在直線a上（或直線a經(jīng)過點(diǎn)A）	A∈a	元素與集合間的關(guān)系
點(diǎn)A在直線a外（或直線a不經(jīng)過點(diǎn)A）	Aa
點(diǎn)A在平面α內(nèi)（或平面α經(jīng)過點(diǎn)A）	A∈α
點(diǎn)A在平面α外（或平面α不經(jīng)過點(diǎn)A）	Aα

【跟蹤練習(xí)】已知命題： ①10個(gè)平面重疊起來，要比5個(gè)平面重疊起來厚 ②有一個(gè)平面的長(zhǎng)是50m，寬是20m ③黑板面是平面； ④平面是絕對(duì)的平，沒有大小、沒有厚度，可以無限延展的抽象的數(shù)學(xué) 概念. 其中正確的命題是__________.(通過做此練習(xí)加深對(duì)平面的理解)

探究二：三個(gè)公理：
討論：直線上有一個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)，直線沒有全部落在平面內(nèi)(圖7)，直線上有兩個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)，則直線全部落在平面內(nèi).例如用直尺緊貼著玻璃黑板，則直尺落在平面內(nèi).
公理1：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).
這是用文字語言描述，我們也可以用符號(hào)語言和圖形語言（圖6）描述.
空間圖形的基本元素是點(diǎn)、直線、平面.從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看，點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，從而可以把直線、平面看成是點(diǎn)的集合，因此它們之間的關(guān)系除了用文字和圖形表示外，還可借用集合中的符號(hào)語言來表示.規(guī)定直線用兩個(gè)大寫的英文字母或一個(gè)小寫的英文字母表示，點(diǎn)用一個(gè)大寫的英文字母表示，而平面則用一個(gè)小寫的希臘字母表示.公理1也可以用符號(hào)語言表示：
若A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,則a

α.

圖6 圖7
請(qǐng)同學(xué)們用符號(hào)語言和圖形語言描述直線與平面相交.
若A∈a,B∈a,且A

α,B∈α,則a

α.如圖（圖7）.
⑤在生活中，我們常常可以看到這樣的現(xiàn)象：三腳架可以牢固地支撐照相機(jī)或測(cè)量用的平板儀等等.
上述事實(shí)和類似的經(jīng)驗(yàn)可以歸納為下面的公理.
公理2：經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.
如圖（圖8）.

圖8
公理2刻畫了平面特有的性質(zhì)，它是確定一個(gè)平面位置的依據(jù)之一.
⑥我們用平行四邊形來表示平面，那么平面是不是只有平行四邊形這么個(gè)范圍呢？
不是，因?yàn)槠矫媸菬o限延展的.直線是可以落在平面內(nèi)的，因?yàn)橹本€是無限延伸的，如果平面是有限的，那么無限延伸的直線又怎么能在有限的平面內(nèi)呢？所以平面具有無限延展的特征.
現(xiàn)在我們根據(jù)平面的無限延展性來觀察一個(gè)現(xiàn)象（課件演示給學(xué)生看）.
問：兩個(gè)平面會(huì)不會(huì)只有一個(gè)公共點(diǎn)？不會(huì)，因?yàn)槠矫媸菬o限延展的，應(yīng)當(dāng)有很多公共點(diǎn).正因?yàn)槠矫媸菬o限延展的，所以有一個(gè)公共點(diǎn)，必有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn).那么這無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)在什么位置呢？可見，這無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)在一條直線上.
這說明，如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過這個(gè)點(diǎn)的公共直線.此時(shí)，就說兩平面相交，交線就是公共點(diǎn)的集合，這就是公理3.如圖（圖9），用符號(hào)語言表示為：P∈α,且P∈β

α∩β=l,且P∈l.

圖9
公理3告訴我們，如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面一定相交，且其交線一定過這個(gè)公共點(diǎn).也就是說，如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們必定還有另外一個(gè)公共點(diǎn)，只要找出這兩個(gè)平面的兩個(gè)公共點(diǎn)，就找出了它們的交線.
由此看出公理3不僅給出了兩個(gè)平面相交的依據(jù)，還告訴我們所有交點(diǎn)在同一條直線上，并給出了找這條交線的方法.
⑦描述點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系常用3種語言:文字語言、圖形語言、符號(hào)語言.
⑧“平面的基本性質(zhì)”小結(jié)：

名稱	作用
公理1	判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)
公理2	確定一個(gè)平面的依據(jù)
公理3	兩平面相交的依據(jù)

應(yīng)用示例
例1 如圖10，用符號(hào)語言表示下列圖形中點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系.

圖10
活動(dòng)：學(xué)生自己思考或討論，再寫出（最好用實(shí)物投影儀展示寫的正確的答案）.教師在學(xué)生中巡視，發(fā)現(xiàn)問題及時(shí)糾正，并及時(shí)評(píng)價(jià).
解：在（1）中，α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.
在（2）中，α∩β=l,a

α,b

β,a∩l=P,b∩l=P.
變式訓(xùn)練
1.畫圖表示下列由集合符號(hào)給出的關(guān)系：
(1)A∈α,B

α,A∈l,B∈l;
(2)a

α,b

β,a∥c,b∩c=P,α∩β=c.
解：如圖11.

圖11
2.根據(jù)下列條件，畫出圖形.
（1）平面α∩平面β=l，直線AB

α，AB∥l，E∈AB，直線EF∩β=F，F(xiàn)

l;
（2）平面α∩平面β=a，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)滿足條件:A∈a，B∈α，B

a，C∈β，C

a.
答案：如圖12.

圖12
點(diǎn)評(píng)：圖形語言與符號(hào)語言的轉(zhuǎn)換是本節(jié)的重點(diǎn)，主要有兩種題型：
(1)根據(jù)圖形，先判斷點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系，然后用符號(hào)表示出來.
(2)根據(jù)符號(hào)，想象出點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系，然后用圖形表示出來.
例2 已知直線a和直線b相交于點(diǎn)A.求證：過直線a和直線b有且只有一個(gè)平面.

圖13
證明：如圖13,點(diǎn)A是直線a和直線b的交點(diǎn),在a上取一點(diǎn)B，b上取一點(diǎn)C，
根據(jù)公理2經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)A、B、C有一個(gè)平面α，
因?yàn)锳、B在平面α內(nèi)，根據(jù)公理1，直線a在平面α內(nèi),
同理直線b在平面α內(nèi)，即平面α是經(jīng)過直線a和直線b的平面.
又因?yàn)锳、B在a上，A、C在b上，所以經(jīng)過直線a和直線b的平面一定經(jīng)過點(diǎn)A、B、C.
于是根據(jù)公理2，經(jīng)過不共線的三點(diǎn)A、B、C的平面有且只有一個(gè)，
所以經(jīng)過直線a和直線b的平面有且只有一個(gè).
變式訓(xùn)練
求證：兩兩相交且不共點(diǎn)的四條直線在同一平面內(nèi).
證明：如圖14，直線a、b、c、d兩兩相交，交點(diǎn)分別為A、B、C、D、E、F,

圖14
∵直線a∩直線b=A,∴直線a和直線b確定平面設(shè)為α，即a,b

α.
∵B、C∈a，E、F∈b,∴B、C、E、F∈α.
而B、F∈c，C、E∈d,∴c、d

α,
即a、b、c、d在同一平面內(nèi).
點(diǎn)評(píng)：在今后的學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到證明點(diǎn)和直線共面問題，除公理2外，確定平面的依據(jù)還有：
(1)直線與直線外一點(diǎn).(2)兩條相交直線.(3)兩條平行直線.
拓展提升
O₁是正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁的上底面的中心，過D₁、B₁、A作一個(gè)截面，求證：此截面與對(duì)角線A₁C的交點(diǎn)P一定在AO₁上.
解：如圖22,連接A₁C₁、AC，

圖22
因AA₁∥CC₁，則AA₁與CC₁可確定一個(gè)平面AC₁，
易知截面AD₁B₁與平面AC₁有公共點(diǎn)A、O₁，
所以截面AD₁B₁與平面AC₁的交線為AO₁.
又P∈A₁C，得P∈平面AC₁，而P∈截面AB₁D₁，
故P在兩平面的交線上，即P∈AO₁.
點(diǎn)評(píng)：證明共點(diǎn)、共線問題關(guān)鍵是利用兩平面的交點(diǎn)必在交線上.
課堂小結(jié)
1.平面是一個(gè)不加定義的原始概念，其基本特征是無限延展性.
2.通過三個(gè)公理介紹了平面的基本性質(zhì)，及作用.

名稱	作用
公理1	判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)
公理2	確定一個(gè)平面的依據(jù)
公理3	兩平面相交的依據(jù)

3.利用三個(gè)公理證明共面、共線、共點(diǎn)問題.
作業(yè)
課本習(xí)題2.1 A組5、6.

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