《直線與平面垂直》教學設計
壱、 學習內容分析
本節(jié)課內容選自《普通高中課程標準實驗教科書·數學必修 2（人教 A 版）》第二章 2.3.1
節(jié)。本節(jié)課主要學習直線與平面垂直的定義、判定定理及其初步運用。
 本節(jié)課中的線面垂直定義是探究線面垂直判定定理的基礎；線面垂直的判定定理充分體
現了線線垂直與線面垂直之間的轉化，它既是后面學習面面垂直的基礎，又是連接線線垂直
和面面垂直的紐帶。學好這部分內容，對于學生建立空間觀念，實現從認識平面圖形到認識
立體圖形的飛躍，是非常重要的。
二、學習者分析
認知分析：本節(jié)課是高一創(chuàng)新班的學生，學生成績較好。知識上，學生已經學習掌握了
線線垂直的證明，并且學習了空間中直線與平面的位置關系以及直線與平面平行。學生對于
學習線面垂直的判定定理具備了良好的學習基礎。
能力分析： 創(chuàng)新班的學生具備一定的直觀想象能力、自主探究能力以及歸納總結的能力，
但在邏輯推理能力方便稍有欠缺。
情感分析：學生通過自主探究動手操作，發(fā)現問題解決問題，體會了探索的愉悅感。在
探索線面垂直判定定理的過程中，學生又體會到了數學的嚴謹之美。
三、教學重點、難點
重點：直線與平面垂直的判定定理。
難點：探究得出出直線與平面垂直的判定定理及初步運用．
四、教學目標
（1）知識與技能目標：
1.描述直線與平面垂直的定義；
2.運用直線與平面垂直的判定定理證明簡單的的空間位置關系問題.
（2）過程與方法目標：
1.通過對實例、圖片的觀察，概括定義，正確理解定義，增強觀察能力；
2.在探索直線與平面垂直判定定理的過程中感悟和體驗“空間問題轉化為平面問題”、“線
面垂直轉化為線線垂直”、“無限轉化為有限”等數學思想.
（3）情感態(tài)度與價值觀目標：
1.通過對空間中直線與平面垂直定義的歸納，感受生活中的數學美；
2.通過經歷直線與平面垂直判定定理的探究，體驗探索的樂趣

五、教學過程
1．復習回顧，引入新課
問題：空間中直線與平面有哪幾種位置關系？
【師生活動】學生集體可能回答：線面平行、線面相交、線在面內
【設計意圖】通過復習提問直線與平面的位置關系，不僅完善了學生的知識體系，還較好地引
出了線面相交的一種特殊位置關系——線面垂直。
2．逐步探索，得出定義
請同學們觀看圖片，直觀感受線面垂直這種位置關系。
接著提出上節(jié)課留的探究題目：
以學習小組為單位
了解與線面垂直有關的數學文化，并探究以下問題：
1.如何定義一條直線與平面垂直？
2.類比線面平行，猜想判定線面垂直的方法，并驗證.
3.如何用較簡潔的方法證明線面垂直的判定定理？
問題：如何定義一條直線與平面垂直？
【師生活動】找一組同學到講臺上展示小組的探究結果及過程。學生通過實物模擬的方式探尋
線面垂直的定義。
本節(jié)課是基于數學文化視角下的探究課，我會給出同學們歐幾里得在《幾何原本》中提
出的線面垂直定義進行辨析。
歐幾里得《幾何原本》：若一條直線垂直于平面上與該直線所有相交的直線，則這條直
線與平面垂直。
【師生活動】引導學生發(fā)現，直線可以通過平移的方式，平移到過交點，進而實現了相交直線
到任意直線的擴充，也了解了最初數學家給出的線面垂直的定義。
【設計意圖】希望同學們可以借助于手中的實物，發(fā)現問題，進一步探究。立體幾何的學習，
就是要多看、多想。給出歐幾里得《幾何原本》中提出的線面垂直定義，是為了更好的激發(fā)學生
的學習興趣，并了解知識的生成過程。
讓學生學會運用三種語言描述線面垂直定義。
【師生活動】找同學完成屏幕的三道辨析題目，判斷過程中仍可借助身邊實物。
【設計意圖】一是通過概念辨析加深同學們對知識的理解，二是通過例題的方式給出線面垂直
的性質定理，可以讓同學們先主動思考在被動接受，比老師直接告訴學生的效果要好一些，

三是辨析線線垂直、線面垂直的“穩(wěn)定性”，不僅體現了知識的聯系性，還幫助同學們做好區(qū)分，
更能交代垂線段以及線到面的距離這個概念。
3. 動手操作，猜想定理
問題：類比線面平行，猜想判定線面垂直的方法，并驗證.
【師生活動】繼續(xù)找一個小組的同學到講臺展示自己的探究結果及過程。探究方法依然是借助
手中的實物。
【設計意圖】： 培養(yǎng)學生自主探究的能力。創(chuàng)新班的孩子具備一定的自主探究能力，大膽放手
讓孩子們去探究，一定會有不一樣的收獲。
環(huán)節(jié)一：在孩子們展示的過程中，重點引導觀察一條直線是與平面內的兩條相交直線
垂直，并思考：為什么兩條相交直線就可以，兩條平行直線不可以？再通過 PPT 的
展示，加深學生的直觀感知。
環(huán)節(jié)二：讓學生通過動手操作驗證自己的猜想。
18 世紀法國數學家克萊羅通過矩形紙片折痕給出了定理的直觀解釋，由此稱贊同學
們的探究能力。
問題：你能用準確的語言給出線面垂直的判定定理嗎？
【設計意圖】讓學生明白要判定一條已知直線和一個平面是否垂直，取決于在這個平面內能否
 找出兩條相交直線和已知直線垂直，至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點，這是無
 關緊要的。
【師生活動】教師引導學生根據試驗給出直線與平面垂直的判定方法。引導學生從文字語言、符
號語言、圖形語言三個方面表述直線和平面垂直的判定定理．
文字語言：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直．
強調：兩條相交直線，必須滿足，不可忽略.
圖形語言：

m ,n ,m  n 
B
符號語言：  l  a

l  m,l  n

【 教師歸納】“空間問題轉化為平面問題”、“線面垂直轉化為線線垂直”、“無限轉化為有限”等數學
思想.
4.邏輯推理，證明定理
問題：通過你們查閱資料，了解到了哪些證明判定定理的方法，從中學到了什么？你
們又有什么簡潔的方法呢？
【設計意圖】創(chuàng)新班的學生，就要不僅知道知識是這樣，還要知道為什么是這樣。要對追根溯
 源。并且通過同學們自主查閱資料，可以對解決任意性的幾何法有更多的了解，幫助孩子么
 了解線面垂直判定定理證明的全過程，提高學生對知識的學習興趣。然而西方幾何學記載的
 方法，大多冗雜繁長，可以借助向量的知識以數代證，引發(fā)學生多角度思考，培養(yǎng)學生的發(fā)
 散思維。
從最初定義的不完善，到定理證明過程的不斷被優(yōu)化，展現了整個線面垂直的發(fā)展過程，讓
學生很好的了解了線面垂直的數學史。
5.運用定理，證明問題
例題 1.如圖，在四棱錐 P-ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，底面 ABCD 為菱
P
形．
A D

證明：BD⊥平面 PAC；

B C

【師生活動】引導學生用直線與平面的性質定理，判定定理證明，并形成完整規(guī)范的證明步驟。
【設計意圖】通過教師板書證明過程，讓學生能有一個嚴謹的答題思路，注意答題的規(guī)范性。
例 2.如圖，在三棱錐 P-ABC 中，AB＝BC，PA＝PC，O 為 AC 的中點．
證明:AC⊥平面 POB.
P
C A O
B

【師生活動】有了例 1 的例子，這道題目選擇讓同學們獨立完成，并找學生爬黑板，已做糾正。
例 3：求證：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個
平面。
【師生活動】引導學生先將其轉化為符號語言，然后分別用直線與平面垂直的判定定理、直線
與平面垂直的定義證明。
【教師歸納】：這個問題給出了判斷直線和平面垂直的又一個方法，間接判定直線與平面垂直．
 這個命題體現了平行關系與垂直關系之間的聯系．
思考：垂直于同一直線的兩平面是否平行?
既然線面垂直繞道而行換線可以，換面是否可以呢？留一道思考題，讓同學們課下思考。 深入思考： A'
D'
B' 1 A B C D - ABCD
.如圖，直四棱柱中，底面四邊形
' ' ' '
C'
滿足什么條件時， A
AC ^B D ?
' ' '
 D
B
C
【設計意圖】不良結構題目，受到新高考的青睞。一方面契合高考，另一方面檢驗學生的轉化
問題的能力。
6.回顧總結 ，作業(yè)布置
【師生活動】教師引導學生從知識和方法兩個方面進行總結．
知識方面：線面垂直的定義、線面垂直的判定定理．
方法方面：轉化思想．
 總之，素質教育的課堂關鍵在于教師能否根據學科特點和學生的心理特征，以恰當的教學
方法誘發(fā)學生學習；以生動的直觀形象推動學生學習；以融洽的情感和氛圍掀起學生學習；
以巧妙的語言去激發(fā)學生學習；以豐富的數學美刺激學生學習；以人性解放式的教學組織形
式和多媒體現代技術在課堂上的運用實施學生學習。只有把這些課前、課上和課后的工作做扎
實了，才能使課堂教學高潮迭起、效率倍增。