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視頻簡介：

視頻標(biāo)簽：新教材人教A版

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：新教材人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊（省優(yōu)質(zhì)課）6.4.3.1余弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)

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新教材人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊（省優(yōu)質(zhì)課）6.4.3.1余弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)

余弦定理

一、教學(xué)目標(biāo)：
1. 發(fā)現(xiàn)并掌握余弦定理及其推論，利用余弦定理能夠解決一些與三角形邊角有關(guān)的計(jì)算問題。
2. 通過對三角形邊角關(guān)系的探索，發(fā)現(xiàn)并證明余弦定理，了解可以用向量、解析方法和三角方法等多種途徑證明余弦定理。
3. 通過經(jīng)歷完整的探究學(xué)習(xí)過程，使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的基本規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題的能力。培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運(yùn)算素養(yǎng)。
二、教學(xué)重難點(diǎn)：
1.教學(xué)重點(diǎn)：余弦定理的發(fā)現(xiàn)過程及定理的基本應(yīng)用。
2.教學(xué)難點(diǎn)：通過對三角形邊角關(guān)系的探索，發(fā)現(xiàn)和證明定理。
三、教學(xué)方法
擬定了“情境教學(xué)法”和“講練一體法”激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，使學(xué)生在自主學(xué)習(xí)、合作探究的過程中主動(dòng)獲取知識(shí)、發(fā)展能力、體驗(yàn)數(shù)學(xué)的精彩。
四、教學(xué)過程
（一）導(dǎo)入新課
我們在初中已經(jīng)定性地研究過三角形的邊、角關(guān)系，得到了SSS， SAS， ASA，AAS等判定三角形全等的方法.這些判定方法表明，給定三角形的三個(gè)角、三條邊這六個(gè)元素中的某些元素，這個(gè)三角形就是唯一確定的.那么三角形的其他元素與給定的某些元素有怎樣的數(shù)量關(guān)系？
例如：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等.這說明，給定兩邊及其夾角的三角形是唯一確定的.也就是說，三角形的其他邊、角都可以用這兩邊及其夾角來表示.

(二)新課講授

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由于已知的是三角形的兩邊長和它們的夾角，聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)和方法,可以考慮用向量的數(shù)量積來探究。
如圖：設(shè)

，

，那么

，則

同理可得：

于是得到以下定理:
1.余弦定理：三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即
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思考：這個(gè)式子中有幾個(gè)量？從方程的角度看已知其中三個(gè)量，可以求出第四個(gè)量，能否由三邊求出三角形的各角？
2.余弦定理的推論：從余弦定理，又可得到以下推論：

3.余弦定理與勾股定理的關(guān)系
思考：勾股定理揭示了直角三角形中三邊之間的關(guān)系，余弦定理則是三角形的三條邊與其中一個(gè)角之間的關(guān)系．你能說說這兩個(gè)定理之間的關(guān)系嗎？
在△ABC中，由余弦定理得

，若角

，則

，于是

，這便是勾股定理.
由此可見，余弦定理是勾股定理的推廣，而勾股定理是余弦定理的特例．
探究：當(dāng)角C為直角時(shí)，有

，當(dāng)角C為銳角時(shí)，這三者的關(guān)系是什么？鈍角呢？
4.解三角形的概念：一般地，三角形的三個(gè)角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過程叫做解三角形．
根據(jù)余弦定理及其推論可以解決：
①已知三角形

的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；
②已知三角形的三條邊就可以求出其它角。
(三)例題講解

解：由余弦定理得：

解：

(四)課堂練習(xí)
1.

解：由余弦定理，得

由余弦定理的推論得

2.　已知在△ABC中，

，求△ABC的各角度數(shù)．
解：設(shè)

由余弦定理的推論得：

同理

即：

五、小結(jié)：
通過向量法推導(dǎo)出余弦定理。利用余弦定理判斷三角形的形狀。余弦定理可以解決兩類問題：（1）已知兩邊及夾角求第三邊的問題。（2）已知三邊求角的問題。
六、作業(yè):1.課本

練習(xí)1（2），2
2.思考怎么坐標(biāo)法和幾何法推導(dǎo)余弦定理

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