視頻簡介：
視頻標(biāo)簽：必修第二冊(cè)
所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：新教材人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)（省優(yōu)質(zhì)課）6.3 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示單元設(shè)計(jì)
本視頻配套資料的教學(xué)設(shè)計(jì)、課件 /課堂實(shí)錄及教案下載可聯(lián)本站系客服
新教材人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)（省優(yōu)質(zhì)課）6.3 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示單元設(shè)計(jì)
6.3 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示單元設(shè)計(jì)
【內(nèi)容和內(nèi)容解析】
-
內(nèi)容
6.3.1 平面向量基本定理；6.3.2 平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示；6.3.3 平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示；6.3.4 平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示；6.3.5 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示.
本單元的知識(shí)框圖如下：
-
內(nèi)容解析
本單元通過力的分解引出平面向量基本定理，給出平面向量基本定理的證明，運(yùn)用平面向量基本定理解決簡單問題；然后，通過平面向量基本定理引出向量的正交分解，借助平面直角坐標(biāo)系，給出向量的坐標(biāo)表示；最后，介紹向量的加減運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算、數(shù)量積的坐標(biāo)表示，并用坐標(biāo)表示兩個(gè)向量共線、向量垂直的條件及兩個(gè)向量的夾角.平面向量基本定理表明任何一個(gè)平面向量
都可以唯一地表示成兩個(gè)不共線向量
的線性組合，即
，特殊地，當(dāng)
時(shí)，則為正交分解，進(jìn)而可以借助直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示向量
，建立平面向量與有序數(shù)對(duì)的對(duì)應(yīng)，引出平面向量的坐標(biāo)表示．進(jìn)一步地，考慮向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示，即設(shè)
，
，則
，可以將向量的運(yùn)算歸結(jié)為向量坐標(biāo)的運(yùn)算，從而實(shí)現(xiàn)向量運(yùn)算的完全數(shù)量化.
本單元蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法：
（1）數(shù)形結(jié)合的思想.體現(xiàn)在：
平面向量基本定理是對(duì)平面內(nèi)向量的一個(gè)基礎(chǔ)性、結(jié)構(gòu)性的認(rèn)識(shí)：給定一個(gè)點(diǎn)A，以及兩個(gè)不平行的向量
，則
可以刻畫平面上任意的點(diǎn)P，通過向量的運(yùn)算，平面上的點(diǎn)P就可以成為“可操縱”的對(duì)象．這是用“數(shù)”的運(yùn)算處理“形”的問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法．
（2）轉(zhuǎn)化與化歸的思想.體現(xiàn)在：
通過平面向量基本定理，平面內(nèi)的任一向量都可以用平面內(nèi)的一組基底表示，因而向量的運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)基向量的運(yùn)算，使問題得以程序化.
-
類比的思想.體現(xiàn)在：
類比共線向量定理，發(fā)現(xiàn)平面向量基本定理，類比平面向量加法的坐標(biāo)表示，探索平面向量減法、數(shù)乘、數(shù)量積的坐標(biāo)表示，體會(huì)類比思想在歸納、發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)研究對(duì)象中的作用.
（4）抽象概括的方法.具體說有以下兩點(diǎn)：
①定理得出的抽象過程：物理背景——圖形——文字——符號(hào)；
②定理應(yīng)用中的抽象過程：用向量表示幾何問題，結(jié)合向量運(yùn)算，最后將向量問題翻譯成幾何問題．
（5）以簡馭繁的方法.
平面向量基本定理的學(xué)習(xí)很好地示范了化繁為簡地思考問題的方法，實(shí)現(xiàn)了將無限多個(gè)平面向量有序表達(dá)的目的.
本單元知識(shí)結(jié)構(gòu)：
推廣
“平面向量基本定理”的內(nèi)容和應(yīng)用，是研究向量的正交分解和向量的坐標(biāo)運(yùn)算的基礎(chǔ)；向量的幾何表示與運(yùn)算是向量的坐標(biāo)表示與運(yùn)算的平行概念.因此，本單元的上位知識(shí)是平面向量的概念、表示與運(yùn)算法則，下位知識(shí)是平面向量基本定理，平面向量的坐標(biāo)表示，平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示.本單元上承：平面向量的運(yùn)算及共線向量定理；下啟：用向量方法解決數(shù)學(xué)和實(shí)際問題，空間向量基本定理及坐標(biāo)表示.
育人價(jià)值：
本單元是學(xué)生第一次經(jīng)歷系統(tǒng)地進(jìn)行理論知識(shí)的探究，發(fā)現(xiàn)和歸納平面向量基本定理，實(shí)現(xiàn)向量運(yùn)算完全數(shù)量化，是對(duì)第二單元共線向量定理的深化，也為研究空間向量基本定理及坐標(biāo)表示鋪平了道路.平面向量基本定理實(shí)現(xiàn)了將無數(shù)個(gè)向量有序表達(dá)的目的，有助于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)地思考問題，能抓住紛繁復(fù)雜事物中的關(guān)鍵要素，善于發(fā)現(xiàn)事物的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律，精中求簡、以簡馭繁，能在一般觀念指導(dǎo)下思考和解決問題，發(fā)揮數(shù)學(xué)在形成人的理性思維、科學(xué)精神和促進(jìn)人的智力發(fā)展中的獨(dú)特作用.
基于以上分析，可以確定本單元的教學(xué)重點(diǎn)：平面向量基本定理；平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示．
【目標(biāo)和目標(biāo)解析】
1.單元目標(biāo)
（1）理解平面向量基本定理及其意義．
（2）掌握平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示．
（3）理解平面向量線性運(yùn)算與數(shù)量積的坐標(biāo)表示．
（4）理解平面向量的夾角．
（5）理解平面向量共線、垂直的條件.
2.目標(biāo)解析
（1）類比力的合成與分解，探索平面向量基本定理，能解釋定理的條件與結(jié)論的關(guān)系、定理的存在性和唯一性以及基底的不唯一性；能用兩個(gè)不共線的向量表示一個(gè)向量，或?qū)⒁粋�(gè)向量分解為兩個(gè)向量；能應(yīng)用平面向量基本定理解決一些簡單問題．
（2）能分析平面向量的正交分解與平面向量基本定理的內(nèi)在聯(lián)系，能熟練地選擇正交基底，通過建立直角坐標(biāo)系，將向量進(jìn)行坐標(biāo)表示．
（3）能在平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)上，得出坐標(biāo)表示的平面向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算，會(huì)進(jìn)行坐標(biāo)表示的平面向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算．
（4）能描述兩個(gè)平面向量的夾角的含義，能用平面向量的數(shù)量積表示兩個(gè)平面向量的夾角公式，會(huì)求兩個(gè)平面向量的夾角．
（5）能用坐標(biāo)表示的平面向量的數(shù)乘運(yùn)算解釋向量共線的條件，并會(huì)用其判斷兩個(gè)向量是否共線；能用坐標(biāo)表示的平面向量的數(shù)量積解釋向量垂直的條件，并會(huì)用其判斷兩個(gè)向量是否垂直；體會(huì)數(shù)與形的完美結(jié)合．
【教學(xué)問題診斷分析】
在本單元之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了向量的概念以及向量的運(yùn)算，但在學(xué)習(xí)平面向量基本定理時(shí)仍然會(huì)遇到很大的困難，主要體現(xiàn)在三方面：
其一，位于同一直線上的向量可以由位于這條直線上的一個(gè)非零向量表示．類似地，平面內(nèi)任一向量是否可以由同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量表示呢？這是學(xué)習(xí)障礙之一，首先，這個(gè)問題的提出就不容易，其次，從一維數(shù)軸到二維坐標(biāo)平面，是思維的一個(gè)跨越，解決這個(gè)問題，可以借助物理中力的分解與合成．
其二，任何一個(gè)向量都可以唯一表示成
，這涉及對(duì)“存在性和唯一性”的認(rèn)識(shí)，對(duì)思維要求較高．解決這個(gè)問題，可以從兩方面入手，一是借助信息技術(shù)，動(dòng)態(tài)表示
；另一方面需對(duì)唯一性給出嚴(yán)格的證明．
其三，用向量方法解決幾何問題時(shí)，先要用基底表示其他相關(guān)向量，進(jìn)而通過向量運(yùn)算解決問題，這是一個(gè)全新的方法．解決這個(gè)問題，需多加練習(xí)，做到熟能生巧．
由此，可以確定本單元的教學(xué)難點(diǎn)是：平面向量基本定理，用平面向量基本定理解決有關(guān)問題．
【教學(xué)支持條件分析】
為更好地理解平面向量基本定理，特別是對(duì)定理的存在性與唯一性的認(rèn)識(shí)以及基底的不唯一性，可以借助信息技術(shù)工具GeoGebra軟件動(dòng)態(tài)演示向量
的分解過程
，幫助學(xué)生深入理解概念．在學(xué)生自主探究平面向量模長、夾角、垂直的公式的過程中，借助實(shí)物投影儀展示學(xué)生的討論結(jié)果，提高課堂學(xué)習(xí)效率.
6.3.1平面向量基本定理
安慶市石化第一中學(xué) 何巧連
【內(nèi)容和內(nèi)容解析】
-
內(nèi)容
平面向量基本定理.
-
內(nèi)容解析
本節(jié)內(nèi)容選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書》（人教A版）必修第二冊(cè)第六章《平面向量及其應(yīng)用》第三節(jié)的第一課時(shí).是在學(xué)生學(xué)習(xí)了平面向量的概念、運(yùn)算、共線向量定理之后的又一重點(diǎn)內(nèi)容,它既是共線向量定理的推廣，也是平面向量正交分解、將向量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算的基礎(chǔ)，同時(shí)還為今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)空間向量基本定理積累了經(jīng)驗(yàn)，具有承前啟后的作用.
知識(shí)技能方面，它揭示了平面向量之間的基本關(guān)系，是利用向量解決問題的基本手段，有著廣泛的應(yīng)用.由平面向量基本定理，可以進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)向量的坐標(biāo)表示，即實(shí)現(xiàn)向量的代數(shù)表示，從而實(shí)現(xiàn)向量運(yùn)算完全代數(shù)化，進(jìn)而體現(xiàn)向量的工具作用.
思想方法方面，平面向量基本定理的探索過程中蘊(yùn)含著轉(zhuǎn)化化歸和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.本節(jié)課的學(xué)習(xí)很好地示范了以簡馭繁思考問題的方法，實(shí)現(xiàn)了將無限多個(gè)平面向量有序表達(dá)的目的，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).
基于以上分析，可以確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)：平面向量基本定理，定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程.
【目標(biāo)和目標(biāo)解析】
1.目標(biāo)
（1）理解平面向量基本定理及其意義；
（2）會(huì)用平面向量基本定理解決簡單平面幾何問題，掌握用基向量表示平面上的任一向量.
2.目標(biāo)解析
達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志：
（1）經(jīng)歷平面向量基本定理的探索過程，體會(huì)由力的分解到向量的分解的過程，感悟數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等數(shù)學(xué)思想的作用；通過證明平面向量基本定理理解定理，體會(huì)定理的重要性及其意義，增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)思維方法的理解.
（2）通過選擇基底表示平面內(nèi)的一些向量，解決簡單的平面幾何問題，體會(huì)向量法在解決平面幾何問題中的作用和基本步驟.
【教學(xué)問題診斷分析】
雖然本節(jié)課之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面向量的基本概念、基本運(yùn)算及共線向量定理，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)奠定了知識(shí)基礎(chǔ)，但，學(xué)生對(duì)向量之間關(guān)系的認(rèn)識(shí)還只是停留在“一維”層面，包括“相等向量”“相反向量”“共線向量”等，而平面向量基本定理揭示的是“二維”層面的平面內(nèi)向量之間的關(guān)系，要實(shí)現(xiàn)這種認(rèn)識(shí)層級(jí)的躍遷，對(duì)學(xué)生有一定難度.另外，如果說由力的分解的物理模型想到向量的分解是第一次抽象，那么，由向量的分解想到任意一個(gè)向量都可以用一對(duì)不共線的向量，經(jīng)過線性運(yùn)算加以表示是第二次抽象，也是認(rèn)識(shí)上的一種飛躍，這都會(huì)給學(xué)生造成認(rèn)知上的困難.再有，平面向量基本定理中的“不共線”“任一”“有且只有”等數(shù)學(xué)專用語對(duì)一些學(xué)生會(huì)構(gòu)成理解障礙.由此可以確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是平面向量基本定理的發(fā)現(xiàn)過程和對(duì)定理的證明.
平面向量基本定理的發(fā)現(xiàn)過程的教學(xué)，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)至關(guān)重要.為克服以上教學(xué)難點(diǎn)，教學(xué)過程中要注意引導(dǎo)學(xué)生積極參與定理形成的探索過程，通過多舉實(shí)例，從力的分解等學(xué)生熟悉的背景，帶領(lǐng)學(xué)生去歸納、發(fā)現(xiàn)定理；利用信息技術(shù)工具等具體形象的教學(xué)手段進(jìn)行直觀闡釋、辨析，幫助學(xué)生理解定理.引導(dǎo)學(xué)生從事觀察、思考、歸納、類比、交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)，經(jīng)歷從具體到抽象，從特殊到一般的思維過程，獲得數(shù)學(xué)思考的方式與方法.
【教學(xué)支持條件分析】
在平面向量基本定理的發(fā)現(xiàn)過程中，利用GeoGebra軟件展示向量分解的動(dòng)態(tài)過程，在此基礎(chǔ)上，首先固定基底，改變要表示的向量，觀察系數(shù)的變化及取值的確定性，幫助學(xué)生理解定理的存在性和唯一性，然后移動(dòng)基底，觀察同一個(gè)向量分解過程的變化，幫助學(xué)生理解定理中基底所需滿足的條件及基底的不唯一性.
【教學(xué)過程設(shè)計(jì)】
|
教學(xué)流程 |
教師活動(dòng) |
學(xué)生活動(dòng) |
設(shè)計(jì)意圖 |
|
（一）直面問題，引入新課 |
平面內(nèi)，因大小或方向不同，產(chǎn)生了無數(shù)個(gè)向量，能不能通過對(duì)有限個(gè)向量的討論來表達(dá)平面內(nèi)所有向量之間的關(guān)系和運(yùn)算呢？這就是我們本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容-----平面向量基本定理. |
思考頓悟 |
闡明意圖，引入新課 |
（二）合作探究，發(fā)現(xiàn)定理 |
問題1：求作力 的合力.
問題2：求作力F在水平方向和豎直方向的分力.
問題3：如圖，向量 與 不共線，能否在直線OA、OB上分別找一點(diǎn)M、N，使 ？
問題4：在上圖中，設(shè)
，則向量 分別與 ， 的關(guān)系如何？從而向量 與向量,的關(guān)系式如何？
問題5：如圖，向量 也能由向量,
表示出來嗎？請(qǐng)動(dòng)手作圖試試，并填空.
問題6:平面內(nèi)任一向量，是否都可以用平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量,表示？又如何表示？你能受剛剛的啟發(fā)分析一下嗎？
動(dòng)畫演示：利用多媒體動(dòng)畫演示向量的分解過程. |
動(dòng)手操作
師生合作
直觀感知
討論探究 |
問題1和問題2由熟悉的力的合成和力的分解過程的回顧啟發(fā)學(xué)生得到問題3中向量的分解的思路.
問題4繼續(xù)追問，引導(dǎo)學(xué)生得出定理的一般形式.
問題5通過學(xué)生反復(fù)動(dòng)手作圖感悟不同方向的向量的分解過程，為問題6中一般向量的分解埋下伏筆，利用圖形培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng).
問題6引導(dǎo)學(xué)生由特殊到一般，抽象歸納出一般向量的分解，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng).
六個(gè)問題題環(huán)環(huán)相扣，逐步遞進(jìn)，不斷分解難點(diǎn)，一步步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“定理”.
動(dòng)畫演示向量的分解過程，引導(dǎo)學(xué)生“感悟”定理. |
（三）歸納總結(jié)，形成規(guī)律
|
問題7：若上述向量，，都為給定向量，則系數(shù) 唯一確定？請(qǐng)證明你的結(jié)論.
問題8：你能由此得出什么結(jié)論呢？請(qǐng)歸納總結(jié).
平面向量基本定理：
如果 是平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于同一平面內(nèi)的任一向量 ，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) ，使得
基底：這里不共線的向量叫做這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.
問題9：基底有什么要求？同一平面內(nèi)，基底唯一嗎？
|
討論交流
推理證明
|
問題7鞏固反證法的證明思想，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng).
問題8將直觀感受轉(zhuǎn)化為文本知識(shí)，突出定理的“存在性”和“唯一性”，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).
經(jīng)歷定理的發(fā)現(xiàn)、證明的全過程，引導(dǎo)學(xué)生感悟聯(lián)想、類比、抽象、概括等重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式. |
（四）學(xué)以致用，鞏固新知
|
例1:在 中， 
,點(diǎn) 分別是 的中點(diǎn)，連接 并延長到點(diǎn) ，使得 .設(shè) .
(1)用 表示 ；
(2)判斷 有什么關(guān)系，并用向量方法證明；
(3)求 . |
討論交流
師生合作 |
例題教學(xué)，鞏固平面向量基本定理,引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)定理的基礎(chǔ)性地位，感悟從無序到有序、化繁為簡的思考問題的方法. |
（五）總結(jié)整理，
提高認(rèn)識(shí) |
本節(jié)課你學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？又掌握了哪些思想方法？ |
回顧小結(jié) |
從知識(shí)要點(diǎn)和思想方法兩方面對(duì)課堂教學(xué)進(jìn)行小結(jié)，將課堂所學(xué)知識(shí)內(nèi)化為學(xué)生的基本素養(yǎng). |
|
（六）布置作業(yè) |
鞏固作業(yè)：習(xí)題6.3:第1題,第11題
拓展作業(yè)：已知 是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)D,E分別是AB,BC的中點(diǎn)，連接DE并延長到點(diǎn)F，使得DE=3EF.
（1）用 表示 ；
（2）求 . |
課后鞏固 |
布置作業(yè)，鞏固所學(xué)知識(shí)。 |
視頻來源：優(yōu)質(zhì)課網(wǎng) www.jixiangsibao.com
| -----更多視頻請(qǐng)?jiān)诒卷撁骓敳克阉鳈谳斎搿氨匦薜诙䞍?cè)”其中的單個(gè)詞或詞組，搜索以字?jǐn)?shù)為3-6之間的關(guān)鍵詞為宜，切記！注意不要輸入“科目或年級(jí)等文字”。本視頻標(biāo)題為“新教材人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)（省優(yōu)質(zhì)課）6.3 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示單元設(shè)計(jì)”，所屬分類為“高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻”，如果喜歡或者認(rèn)為本視頻“新教材人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)（省優(yōu)質(zhì)課）6.3 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示單元設(shè)計(jì)”很給力，您可以一鍵點(diǎn)擊視頻下方的百度分享按鈕，以分享給更多的人觀看。優(yōu)質(zhì)課網(wǎng) 的成長和發(fā)展，離不開您的支持，感謝您的關(guān)注和支持！有問題請(qǐng)【點(diǎn)此聯(lián)系客服QQ：9899267】 ----- |
