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視頻標簽：兩角差的余弦公式
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學人教A版版必修3.1.1 兩角差的余弦公式_甘肅省 - 武威
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高中數學人教A版版必修3.1.1 兩角差的余弦公式_甘肅省 - 武威
《兩角差的余弦公式》教學設計
一、 學情分析
本課時面對的學生是高一年級的學生，數學表達能力和邏輯推理能力正處于高度發展的時期，學生對探索未知世界有主動意識，對新知識充滿探求的渴望。在學習本節課之前，學生已經學習了任意角三角函數的概念、平面向量的坐標表示以及向量數量積的坐標表示，這為他們探究兩角差的余弦公式建立了良好的知識基礎。
二、 教學內容分析
本節內容是教材必修4第三章《三角恒等變換》第一節，推導得到兩角差的余弦公式是本章所涉及的所有公式的源頭。
過去教材曾用余弦定理證明兩角和的余弦公式，雖能對學生進行思維訓練，但過程繁瑣，不易被學生接受。由于向量工具的引入，新教材選擇了兩角差的余弦公式作為基礎，這樣處理使得公式的得出成為一個純粹的代數運算，大大地降低了思考的難度，也更易于學生接受。
從知識產生的角度來看，在學習了《三角函數》及《平面向量》后再學習由這些知識推導出的新知識也更符合知識產生的規律，符合人們認知的規律。從知識的應用價值來看，重視數學知識的應用，是新教材的顯著特點，課本中豐富的生活實例為學生用數學的眼光看待生活、體驗生活即數學理念，體驗用數學知識解決實際問題，有助于增強學生的數學應用意識。
基于上述分析，本節課的教學重點是引導學生通過合作、交流，探索兩角差的余弦公式，為后續簡單的恒等變換的學習打好基礎。
2
三、 教學目標
1、知識目標
通過兩角差的余弦公式的探究，讓學生在初步理解公式的結構及其功能的基礎上記憶公式，并用之解決簡單的數學問題，為后面推導其他和（差）角公式打好基礎。 2、能力目標
通過利用同角三角函數變換及向量推導兩角差的余弦公式，讓學生體會利用聯系的觀點來分析問題，解決問題，提高學生邏輯推理能力和合作學習能力 3、情感目標
使學生經歷數學知識的發現、創造的過程，體驗成功探索新知的樂趣，獲得對數學應用價值的認識，激發學生提出問題的意識以及努力分析問題、解決問題的激情。
四、 教學重點、難點
重點：通過探索得到兩角差的余弦公式。 難點：探索過程的組織和適當引導。
五、 教學基本流程
引入問題，提出探究
明確途徑，組織和引導學生自主探索 例題、練習講解，深化公式的理解與運用
小 結 作 業
3
六、 教學過程
(一) 問題引入
我們在初中時就知道 一些特殊角的三角函數值，例如2cos452
，3
cos302
，而)3045cos(15cos，那么大家猜想一下，15cos等于多少呢？是不是等于cos45cos30呢？
根據我們在第一章所學的知識可知我們的猜想是錯誤的！也就是)cos(一般不等于coscos，下面我們就一起探究兩角差的余弦公式。 （設計意圖：教科書以一個實際問題（求電視發射塔的高度）作為引子，目的在于提出問題，引入研究課題。同時幫助學生認識到數學與實際生活有關，體會數學的應用價值。解決這個實際應用問題需要用方程的思想分析問題，考慮到我班學生的實際情況，這樣做一定程度會搶去這節課主要研究內容的風頭。而且，在這個問題中要解決的)45tan(0與這節課要研究的)cos(的聯系不夠直接。用15cos來引入，一來可以節省時間，二來引出課題更加直接，更加自然。）
(二) 公式探究
第一步，明確探究途徑與目的
提示學生聯系與角的余弦相關的知識點，明確以向量運算中的數量積與三角函數線作為研究途徑。
如右圖，在單位圓中作出角,，它們的終邊與單位圓分 別交于A、B兩點，先假設π,0,，且，提出以下問題：
（1） 此時的取值范圍是多少？ （2） 圖中哪個角可以表示？
（3） 可以看作是哪兩個向量的夾角？
（問題設計目的：在探究公式的過程中，教材不要求學生做到一步到位。首先對角選擇較為特殊的范圍來進行探究，能讓學生從整體上感知本節課所要探究的途徑與目的，讓大部分學生都參與到探究中來，避免部分學生一開始就感覺到困難，
y
O
x
A
B
α
β
4
提不起向下探究的興趣。）
第二步，復習相關知識
（1）向量的數量積運算（強調向量夾角的范圍）
),(),,(2211yxOByxOA 2121,cosyyxxOBOABOAOBOAO
（2）三角函數線（結合圖形，特別要強調方向問題）
第三步，推導公式
在證明公式之前先引導學生結合三角函數知識寫出點A、點B的坐標。 證明：在平面直角坐標系xOy內作單位圓O，以Ox為 始邊作角,，其中π,0,，且，它們的終邊與單位圓O的交點分別為A，B，則 )sin,(cos),sin,(cosOBOA 由向量數量積的坐標表示，有：
sinsincoscos)sin,(cos)sin,(cosOBOA
由π,0,，且知,0，那么向量OBOA,的夾角就是
，由數量積的定義，有
)cos()cos(OBOAOBOA
于是 sinsincoscos)cos( （1） 由于我們前面的推導均是在π,0,，且的條件下進行的，因此（1）式還不具備一般性。事實上，只要,0，所表示的就是向量OBOA,的夾角。（這一點可以結合圖形作出說明。）
但是，若,0，（1）式是否依然成立呢？ 當,0時，設OA與OB的夾角為，則
coscosOBOAOBOAsinsincoscos
另一方面，k2，于是,,2Zkk所以
cos
)cos(
5
也有 sinsincoscos)cos(
綜上所述，得出公式： 對任意的,，
sinsincoscos)cos(
（說明：公式的推導遵循由淺入深，由特殊到一般，逐層深入的規律，這樣安排，能讓更多學生參與到探究當中。教材當中對公式給出了兩種證明方法，一是幾何方法，一是向量方法。幾何方法的推導過程較為繁難，教材僅僅對特殊情況作了分析，而向量方法則顯得更加直觀和簡潔。為了讓學生體驗向量工具的優點，可以布置學生在預習時按照教材的思路采取幾何方法進行證明。）
第四步，公式的記憶
讓學生自己總結公式的特點，便于記憶。
注： 1.公式中兩邊的符號正好相反（一正一負）；
2.式子右邊同名三角函數相乘再加減，且余弦在前正弦在后； 3.式子中α、β是任意的。
(三) 例題講解
例1 利用差角余弦公式求15cos。 解：
方法一：
42
630sin45sin30cos45cos)3045cos(15cos 方法二：4
6
245sin60sin45cos60cos)4560cos(15cos
（設計意圖：此題是對公式的直接應用，體現了角的拆分的思想。拆分的多樣性，體現了變換的多樣性。求解的過程可以完全由學生獨立完成。） 思考：如何求75sin？
（設計意圖：由15cos的值求75sin的值，為后面變換函數種類的思考作出鋪墊。）
的值是第三象限角，求：已知例)cos(,13
5
cos),,2(,54sin2
6
解題思路： 求解最后代入公式再求先求)cos(,sin,cos 解：由
,2,54sin，得53sin1cos2
又由,135cos是第三象限角，得13
12
sin1cos2 所以
sinsincoscos)cos(
=653313125413553
（設計意圖：此題是應用、理解公式的基礎練習，解此題需要思考使用公式前
應作出的必要準備，要作出這些必要的準備，需要運用到同角三角函數的知識。解題時必須強調解決三角變換問題的基本要求：思維的有序性和表述的條理性。）
思考：如果去掉條件中的
,2，對題目和結果有沒有影響？
（設計意圖：讓學生學習分類討論的思想，提高表達能力。） 例3 化簡求值
xxxxxxsin2
3cos21)4(167cos32sin77cos32cos)3()15sin(sin)15cos(cos)2(105sin15sin105cos15cos)1( （設計意圖：此題是對公式的逆用，目的是加強學生對公式的理解與應用。）
例4已知,都是銳角，14
11
)cos(,71cos，求 cos的值。
（設計意圖：此題是對公式的活用，由學生討論解決。此題一般有兩種方法可以求解。一種方法是把)cos(分解，此公式還沒推導，但部分學生可能會把
看作)(，然后用兩角差的余弦公式分解，再結合同角三角函數的基本關系求解。這種方法雖然較繁，但卻讓學生在無意當中發現了兩角和的余弦公式。另一種方法是把看做兩角差，即)(，這種方法顯然計算要簡單得多。通過不同方法的講解，鼓勵學生從不同的角度思考問題，并指引學生在考試中選擇較為簡便的方法解題。）
7
七、 小結
1.兩角差的余弦公式的推導（注意向量法的應用）。 2.兩角差的余弦公式及其特點：
3.利用兩角差的余弦公式解決簡單的求值和證明問題。
4.三角函數解題的基本要求: 思維的有序性和表述的條理性。 八、 作業
P137第2題，第3題，第13題（1）、（3）、（5） 九、 板書設計
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