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視頻標(biāo)簽：兩角和與差的余弦

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：高中數(shù)學(xué)人教A版版必修3.1.1兩角和與差的余弦_重慶市求精中學(xué)校

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兩角和與差的余弦 高中數(shù)學(xué)人教A版版必修3.1.1 兩角差的余弦公式_重慶市求精中學(xué)校

兩角和與差的余弦
教學(xué)目標(biāo)
經(jīng)歷兩角和與差余弦公式的推導(dǎo)過程，體會探究數(shù)學(xué)問題時猜想與證明的數(shù)學(xué)思想和方法。大膽的猜想和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明相結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生從已知知識出發(fā)主動探索未知世界的意識及對待新知識的良好情感態(tài)度。從公式的正用，逆用以及變形用三個層面去引導(dǎo)學(xué)生掌握兩角和與差的余弦公式。
教學(xué)重難點
     重點：兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)及公式的運用；
     難點：兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)過程
教材分析
兩角和與差的余弦位于人教版必修四第三章第一節(jié)，教材分別利用三角函數(shù)線和向量方法對兩角差的余弦公式進(jìn)行了推導(dǎo)。其中，利用三角函數(shù)線僅對為銳角的情況進(jìn)行了推導(dǎo)，而為任意角時教材指出公式的推導(dǎo)是復(fù)雜的，并沒有給出推導(dǎo)過程。利用向量方法推導(dǎo)兩角差的余弦公式簡潔明了，充分的體現(xiàn)出了向量的工具性作用。所以這也是教材在編排上的一個考慮：在學(xué)生學(xué)完第一章任意角的三角函數(shù)后沒能直接學(xué)習(xí)第三章三角恒等變換，而是先學(xué)習(xí)第二章平面向量。然而為了更好的構(gòu)建學(xué)生的知識體系，在學(xué)生學(xué)習(xí)完第一章后，能夠直接進(jìn)入第三章的學(xué)習(xí)，就必須給出另外一種推導(dǎo)兩角和與差的余弦公式的方法。因為該公式是全部和、差角公式，以及倍角、半角等公式的基礎(chǔ)，是本章公式推導(dǎo)的“源”。所以兩角和與差的余弦公式不僅起著承上啟下的核心作用，也是高考的重點考點。
學(xué)情分析
     數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模瑥牟孪腴_始證明一個數(shù)學(xué)公式，學(xué)生在情感上是不容易接受的。然而，猜想與證明卻是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的主要思想方法之一。所以培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的猜想能力是有必要的。學(xué)生主要的困難表現(xiàn)在：不敢猜，怕出錯。而不會猜，主要是缺乏數(shù)學(xué)意識。
教學(xué)設(shè)計
一、提出問題，引入課題
通過如何計算角的余弦值引出課題
設(shè)置情景：（1）讓學(xué)生舉手回答如何計算。
【設(shè)計意圖】雖然角不是特殊角，但是它很明顯可以寫成和角的和，于是學(xué)生非常想知道角的余弦值到底與和角的余弦值有什么關(guān)系呢？這樣引出課題很自然，也很清晰，簡潔。
   （2）在學(xué)生猜想如何計算角的同時教師接著問學(xué)生：如何計算兩個任意角的和或者差的余弦呢？引出課題--------探究兩角和與差的余弦。
【設(shè)計意圖】讓學(xué)生體會從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。
二、探究新知，講授新課
1、探究方法的猜想
教學(xué)內(nèi)容：教師提出探究的主導(dǎo)思想是猜想與證明
【設(shè)計意圖】因為高一學(xué)生的數(shù)學(xué)知識相對比較薄弱，在課堂40分鐘內(nèi)還達(dá)不到對一個新知識的探究方法做出科學(xué)合理的判斷。所以，此時教師可以直接告知學(xué)生可以通過先猜想再證明的數(shù)學(xué)思想方法來探究這個問題。
問題1 讓學(xué)生猜想  的公式里將會出現(xiàn)哪些角的三角函數(shù)值？
【設(shè)計意圖】這個問題雖簡單，意義卻不一般。首先，這個問題在探究的過程中確實很重要；其次，這個問題可以培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力。
問題2 通過引導(dǎo)學(xué)生回憶任意角的三角函數(shù)定義，三角函數(shù)線等知識再次回顧單位圓的作用與地位，于是成功引導(dǎo)學(xué)生借助單位圓來解決今天的問題。
【設(shè)計意圖】單位圓在三角函數(shù)的地位確實不一般，如果直接告訴學(xué)生借助單位圓，學(xué)生在情感上不會接受，同時也體會不到單位圓在三角函數(shù)中的作用與地位。這里教師的引導(dǎo)向?qū)W生滲透了類比與聯(lián)想的數(shù)學(xué)思想方法。
2、在單位圓中探究角所蘊含的等量關(guān)系
教學(xué)內(nèi)容：引導(dǎo)學(xué)生在單位圓中找角的終邊
設(shè)置情景：教師用課件出示單位圓，并標(biāo)出軸正半軸及角的終邊與單位圓的交點分別為
師生活動：
教師------請同學(xué)們思考如何找角的終邊？
學(xué)生------只需將角的終邊再逆時針旋轉(zhuǎn)角
教師------很好！剛才我們將角的終邊旋轉(zhuǎn)角得到角的終邊，并設(shè)其與單位圓的交點為，同學(xué)們， 是直角坐標(biāo)系中角的終邊嗎？
學(xué)生------不是，因為我們規(guī)定直角坐標(biāo)系中的角是始邊置于軸非負(fù)半軸的。
教師------非常好！現(xiàn)在我們從軸非負(fù)半軸開始旋轉(zhuǎn)角，得其終邊與單位圓的交點
【設(shè)計意圖】復(fù)習(xí)角的形成，強調(diào)直角坐標(biāo)系中角的規(guī)定，為下一步引導(dǎo)學(xué)生寫的坐標(biāo)做準(zhǔn)備。
教學(xué)內(nèi)容：請同學(xué)們寫出各終邊與單位圓的交點坐標(biāo)。
【設(shè)計意圖】由任意角三角函數(shù)的定義：各終邊與單位圓的交點坐標(biāo)可由各角的三角函數(shù)值表示，為下一步探究做準(zhǔn)備。
教學(xué)內(nèi)容：在單位圓中找相等弦
師生活動：
教師------請同學(xué)們在圖中找出與相等的角
學(xué)生------是，因為它們都等于角
教師------單位圓中，相等圓心角所對的弦有什么關(guān)系呢？請同學(xué)們找出一個等量關(guān)系。
學(xué)生------因為相等圓心角所對的弦長相等，所以
教師------非常好！同學(xué)們，你們還能找到另一組相等弦嗎？
學(xué)生------可以。因為，所以
教師------很好！同學(xué)們，回顧上節(jié)課我們學(xué)習(xí)的兩點間的距離公式，你們能從這兩個等式推導(dǎo)出什么結(jié)論嗎？請1-4小組的同學(xué)推導(dǎo)，5-8小組的同學(xué)推導(dǎo)。
【設(shè)計意圖】要求學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)利用弦相等來推導(dǎo)結(jié)果，是不現(xiàn)實的，因為思維的跨度太大，所以，此時教師的引導(dǎo)是必要的。由學(xué)生自己推導(dǎo)，讓他們熟悉推導(dǎo)過程，體會發(fā)現(xiàn)問題的艱辛與快樂。然而，由于此時推導(dǎo)的目標(biāo)不明確，所以對學(xué)生的觀察能力與分析能力的要求是很高的，同時也體現(xiàn)了問題探究的開放性本質(zhì)，這對學(xué)生思維品質(zhì)的要求是非常高的，所以教師要根據(jù)不同的情況隨時對學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)。
設(shè)置情景：請兩位同學(xué)上黑板展示他們所推導(dǎo)的結(jié)果


情感教育：學(xué)生經(jīng)過長時間的探索得出上面的結(jié)果，可是這并不是大家所需要的，學(xué)生難免有些恢心，此時教師抓住學(xué)生的這個心理及時的進(jìn)行情感教育，鼓勵他們要像數(shù)學(xué)家一樣有堅忍不拔的毅力，鍥而不舍的科學(xué)精神與態(tài)度，總結(jié)經(jīng)驗繼續(xù)探索！
【設(shè)計意圖】自然而及時的引入情感教育既可以緩解緊張的課堂氣氛又可以教育學(xué)生勇敢面對挫折。
3、在單位圓中探究角所蘊含的等量關(guān)系
教學(xué)內(nèi)容：總結(jié)剛才我們所得的探究結(jié)果我們發(fā)現(xiàn)：當(dāng)我們找圓心角大小為所對的兩條相等弦時，我們推導(dǎo)出的表達(dá)式，而當(dāng)我們找圓心角大小為所對的兩條相等弦時，我們推導(dǎo)出的表達(dá)式。那么，我們是否可以這樣猜想：當(dāng)我們找到兩條弦，它們所對的圓心角大小為時，我們就可以得出的表達(dá)式呢？
師生活動：
教師------前面我們將角的終邊逆時針旋轉(zhuǎn)了角，于是找到了圓心角大小為的，類比這種做法你們還能找到另外一個大小為的圓心角嗎？
學(xué)生------能，我們可以將角的始邊順時針旋轉(zhuǎn)角，構(gòu)造出另一個大小為的圓心角。
教師------非常好，其實我們將角的始邊順時針旋轉(zhuǎn)角得到的是直角坐標(biāo)系中的角，設(shè)角的終邊與單位圓交點為.
【設(shè)計意圖】是為了構(gòu)造另一個大小為的圓心角。如果直接告訴學(xué)生我們研究所蘊含的等量關(guān)系，學(xué)生覺得很突然，而我們在研究所蘊含的等量關(guān)系時所得出的結(jié)果并不理想，這時候?qū)W生迫切的希望找一個與相關(guān)，又能幫助解決問題的角，自然就想到了。這樣無論是在情感上還是思維的跨度上學(xué)生都更容易接受。讓學(xué)生有一種柳暗花明的感覺，在探索中獲得樂趣獲得自信。
設(shè)置情景：教師在課件上出示各角的終邊與單位圓的交點及坐標(biāo)
師生活動：
教師------請同學(xué)們在圖中找出圓心角大小為所對的一組相等弦
學(xué)生------
設(shè)置情景：類似于前面兩個等式的推導(dǎo)方法，教師在課件上給出演算過程及結(jié)果
 
【設(shè)計意圖】由于學(xué)生經(jīng)過前面的學(xué)習(xí)對推導(dǎo)過程已經(jīng)很熟悉了，為了避免重復(fù)，所以由教師直接展示演算過程。
師生活動：
教師------是任意角，同學(xué)們你們可以由上面的公式得到嗎？
學(xué)生------用代上面公式里的可得

教師------非常好，這兩個公式就是我們今天所要探究的結(jié)果--------兩角和與差的余弦公式。
【設(shè)計意圖】讓學(xué)生體會由代的整體代換思想，為以后的變角思想做鋪墊。同時讓學(xué)生體會公式中角的任意性。
4、公式的記憶
教學(xué)內(nèi)容：先由學(xué)生總結(jié)公式的特點，教師及時的進(jìn)行補充，然后課件出示公式的結(jié)構(gòu)特點的總結(jié)，讓學(xué)生大聲朗讀公式，記憶公式。
【設(shè)計意圖】公式的記憶很重要，是今后靈活運用公式解題的關(guān)鍵，所以此時要強調(diào)。
5、例題精講
例題1、利用公式計算
【設(shè)計意圖】掌握公式的簡單應(yīng)用，與課題的引入形成呼應(yīng)。通過將角轉(zhuǎn)化為和的和再利用公式計算，讓學(xué)生體會轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法。
課堂練習(xí)


【設(shè)計意圖】體會公式的逆用和變形用
例題2、已知，求
【設(shè)計意圖】綜合運用所學(xué)知識解題
變式題：已知，求
【設(shè)計意圖】通過由已知角的和或者差表示未知角，讓學(xué)生體會變角的思想，同時也進(jìn)一步理解兩角和差的余弦公式中角的任意性。
三、課堂小結(jié)
1、這節(jié)課我們學(xué)到哪些知識？
2、我們是怎么獲得這些知識的？
3、你有什么感悟與體會？
【設(shè)計意圖】讓學(xué)生回顧本節(jié)課主要內(nèi)容，完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，體會數(shù)學(xué)思想方法。
四、布置作業(yè)
教學(xué)反思
    這是一堂數(shù)學(xué)味道很濃的課，既有深度又有廣度。教師在教學(xué)中不斷的向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想和方法。有猜想與證明，數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化與化歸，從特殊到一般，類比，聯(lián)想，整體代換等數(shù)學(xué)思想與方法。同時還有數(shù)學(xué)情感教育的滲透，并取得一定的效果。例題的設(shè)置也很典型，知識涵蓋全面而豐富。然而通過反思，我覺得這堂課的容量較大，而學(xué)生練習(xí)時間較少，所以在接下來的習(xí)題課中教師要有意識的去強化學(xué)生的動手能力。

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