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視頻標簽：導數的概念
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：數學選修2-2第一章第一節1.1.2第一課時--導數的概念-云南省優課
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《1.1.2導數的概念（第一課時）》教學設計
一、教學內容解析
本節課是人教A版《普通高中課程標準實驗教科書--數學選修2-2》，第一章第一節1.1.2的第一課時--導數的概念.導數是微積分的核心概念之一，它是研究函數增減、變化快慢、最大（小）值等問題的最一般、最有效的工具.考慮到高中學生認知水平，沒有采用一般的：數列----數列的極限----函數的極限----導數這種建立概念的方式，而是從變化率入手，用形象直觀的“逼近”定義導數.這樣一來，一方面排除了因難以理解極限的形式化定義，而對導數本質理解的干擾，將更多的精力放在對導數本質與內涵的理解上；另一方面，學生對逼近的思想有了豐富的直觀基礎和一定理解，有利于大學學習嚴格的極限定義.本節課將導數概念的建立劃分為兩個階段：首先明確瞬時速度和切線斜率的含義，然后去掉物理背景和幾何背景，由兩個實例出發，抽象出一般函數的瞬時變化率的概念，給出導數的定義.借助信息技術，通過讓學生親自計算、幾何畫板展示等方法，讓學生體會逼近的思想和用已知探求未知的思考方法.基于以上分析，確定本節課教學重點為：建立導數概念及對導數思想和內涵的理解.
二、教學目標設置
本節的中心任務是形成導數概念.概念形成通過兩個實例抽象得出： （1）借助高臺跳水問題，明確瞬時速度的含義；
（2）借助拋物線的割線逼近切線的問題，明確切線斜率的含義；
（3）以速度模型為出發點，結合切線斜率抽象出導數概念，使學生認識到導數就是瞬時變化率，理解導數內涵.
（4）通過平均變化率的計算，讓學生切身體會逼近思想，滲透以已知探求未知的思考方法，提升數據處理和數學抽象的核心素養.
三、學生學情分析
1.重點中學的學生，思維活躍，善于動腦.在高一年級的物理課程中學習過瞬時速度；在之前函數零點的學習過程中，已有利用“二分法”逼近函數零點的經驗，“逼近”的思想對于學生而言，并不陌生.因此，學生已經具備了一定的認知基礎.
2.可能存在的問題：
（1）使學生能通過觀察發現：運動的物體在某一時刻附近的一段時間內的平均速度在
2
時間間隔越來越小時，逐漸趨于一個確定的值，而且這個確定值就是物體在該時刻的瞬時速度.這個過程學生難以想象，同時數值逼近的運算繁瑣，但又不能采取簡單的方式告知學生，而是要學生通過實際的計算，在計算過程中，充分感知當||t趨于0時，t
h
趨于一個定值，當||x趨于0時，
x
y
趨于一個定值. （2）在實際教學中，學生需要用到思想方法和表達形式的遷移，即把從平均速度到瞬時速度過渡中所運用的“逼近”的思想方法遷移到從平均變化率到瞬時變化率的過渡，從對一個具體函數在一個確定點的瞬時變化率的表達式遷移到任意一個函數在任意一點的瞬時變化率的表達，這樣的探究方法可能會導致學生的不適應而產生困難.
因此，如何引導學生根據生活中具體的實例，結合已有的知識經驗，通過“逼近”的方法，由特殊到一般，用類比的方法歸納探究出導數的概念是本節課的難點.
四、教學策略分析
基于以上分析，本節課決定采用復習上節課的探究問題----學生自己計算高臺跳水運動員在65
049
t
這段時間內的平均速度，發現平均速度不能準確反映運動員在這一時間段里任意時刻的運動狀態，從而，由平均速度的局限性，引出學習瞬時速度的必要性.引導學生思考，如何計算瞬時速度？前面學習的平均速度與要計算的瞬時速度有何關系？用生活中處理瞬時速度的方法----用極短時間內的平均速度近似刻畫這段時間內任一時刻的瞬時速度，給學生以啟發，可以用同樣的方法來探求運動員在某時刻的瞬時速度，注意用已知探求未知的思考方法.先讓學生計算1s附近的平均速度，注意當t趨于0時，
t
h
趨于一個定值；要求學生親自計算兩串平均速度，讓學生在計算的過程中感受逼近的趨勢.然后，再探求2s的瞬時速度，再由特殊到一般，得出任意時刻的瞬時速度；然后換個角度，割線逼近切線，從而割線斜率逼近切線斜率問題；最后舍棄這兩個問題的實際背景，抽象出一般函數的瞬時變化率的概念，并用數學語言準確表達.用直觀形象的逼近思想來刻畫導數概念.
通過“學生親自計算，讓學生充分感知平均速度到瞬時速度的數值逼近”；采用學生熟悉的物理背景平均速度到瞬時速度、割線斜率到切線斜率；以及先由特殊到特殊的類比，再由特殊到一般的歸納，思維難度逐層遞進的策略來突破難點。
基本流程： 提出問題，激發求知欲
3
↓
明確解決問題的想法及途徑
↓
組織學生小組合作、自主探索，建立導數概念
↓
通過用導數概念求解例題和練習，進一步理解導數概念
五、教學過程設計
（一）復習回顧
回顧探究：在一次跳水運動中，某高臺跳水運動員相對于水面的高度(m)h單位：與起跳后的時間(s)t單位：存在函數關系：2()4.96.510httt.
計算運動員在65
049
t
這段時間里的平均速度，并思考下面的問題： （1）運動員在這段時間內是靜止的嗎？
（2）你認為用平均速度描述運動員的運動狀態有什么問題嗎？ 回顧上節課計算、交流的結果，明確研究課題.
問題1. 在一次跳水運動中，某高臺跳水運動員相對于水面的高度(m)h單位：與起跳后的時間(s)t單位：存在函數關系：2
()4.96.510httt.
計算運動員在1t的瞬時速度. 【設計意圖】
讓學生認識到平均速度只能粗略地描述某段時間內的運動狀態，并不能精確刻畫運動員在每一時刻的運動狀態；而高臺跳水運動員需要在跳水過程中做出各種不同的動作，為了設計不同時刻的不同動作，需要準確把握運動員在每一時刻的瞬時速度.引發學生的認知沖突，明確本節課學習的必要性.
（二）問題探究：
如何求運動員的瞬時速度？與平均速度有什么關系？引起學生思考！
數學源于生活，用于生活.用測速現場的小視頻引起學生思考：高速公路上測速儀，如何在汽車通過的瞬間，測出其瞬時速度呢？
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講解激光測速儀的原理，利用激光反射，測出汽車在給定時間內的移動距離，從而得出這段時間的平均速度.設汽車在0t時刻附近某一時間段內的平均速度是錯誤！未找到引用源。，可以想象，如果不斷縮短這一時間段的長度，那么錯誤！未找到引用源。將越來越趨近于汽車在0t時刻的瞬時速度.
同樣的方法，我們可以用來研究高臺跳水運動員在某時刻的瞬時速度. 師生共同確定想法：計算1t附近的平均速度，細致地觀察它的變化情況. 【設計意圖】
（1）由生活實例中的測速原理，引導學生“以已知探求未知”，即從平均速度入手，尋求解決瞬時速度的思路，明確研究方法的合理性.
（2）問題具體化，即求運動員在1ts時的瞬時速度.
（三）自己動手，解決問題
1. 當t取不同值時，計算平均速度(1)(1)hthvt
的值.
下表是計算問題1中當1t秒處附近時間段內平均速度的表格，請分組合作完成此表，猜想在1t秒處的瞬時速度，并說明理由.
01,1+(1)(1)=4.93.3
(1)1
tththvtt當時，在內，
01+,1(1)(1)
=4.93.3
1(1)
tthhtvtt當時，在內，
t
v
t
v
0.01 3.349 0.01 3.251 0.001 3.3049 0.001 3.2951 0.0001 3.30049
0.0001
3.29951
0.00001 3.300049
0.00001
3.299951
0.000001
3.3000049 0.000001 3.2999951
為便于觀察變化趨勢，要計算一組平均速度，引導學生采用數學符號將想法具體化，明確計算公式.要求學生分組合作，通過學生親自計算引導他們發現平均速度的變化趨勢.
【設計意圖】熟悉符號.讓學生在親自計算（數學實驗操作）的過程中感受逼近的趨勢. 2.當t趨近于0時，平均速度v有什么樣的變化趨勢？
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結合學生的計算結果，組織學生觀察、討論平均速度的變化趨勢，引導學生說出“當t趨近于0時，平均速度趨近于一個確定的值-3.3”.
另一方面，根據物理知識，當t趨近于0時，平均速度趨近于瞬時速度.從而得出，當
=1tt，趨近于0時，平均速度v趨于的定值，就是=1t時的瞬時速度.
3.借助幾何畫板，讓學生更直觀的感受逼近的趨勢.觀察動畫，可以看到更多的t和v的值，并且隨著t逐漸趨近于0，平均速度更加趨近=1t時刻的瞬時速度.盡管如此，通過有限具體的數據只能近似刻畫，不能滿足我們數學上想要表達的準確刻畫瞬時速度的要求.要想準確刻畫瞬時速度，需要有限上升到無限，理想狀態下的t無限趨近于0時，平均速度趨于的定值就是=1t的瞬時速度.
【設計意圖】讓學生經歷觀察、分析、歸納、發現規律的過程，體會瞬時速度的含義. 4.總結規律
運動員在某一時刻0t的瞬時速度怎樣表示？已知其他路程和時間函數的解析式，求瞬時速度都是這樣嗎？
帶領學生回顧探求=1t時瞬時速度的全過程，引導學生從特殊到一般，獲得0=tt時瞬時速度的形式化表示. 教師介紹符號，并解釋符號含義.
【設計意圖】從特殊到一般，即從特殊點=1=2tt,上升到任意點0=tt瞬時速度的表示.在從特殊到一般的過程中，讓學生體會到數學研究同一類問題的思想方法是相同的，獲得更一般的形式化表示.
（四）學習遷移
1.幾何學中也有類似的情況需要無限逼近的思想，例如拋物線的割線和切線的位置關系.
借助幾何畫板，讓學生觀察，割線BA，逼近拋物線在點A處切線的過程，再一次直觀體會無限逼近的思想.
問題2.曲線2
()4.96.510fxxx在1x處切線斜率是多少？
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伴隨割線逼近切線的過程，割線斜率逼近切線斜率.仿照求平均速度的方法可以求得拋物線2()4.96.510fxxx在任一點處的切線斜率.
【設計意圖】借助幾何畫板，讓學生直觀感知逼近思想，將瞬時速度的形式化遷移到切線斜率上，讓學生體會其中的共同點.
2.上節課，老師布置了課前作業，請同學們以學習小組為單位，每個小組寫出一個與“變化率”有關的實例，課前，教師收上七個小組的“變化率”實例，篩選出“非同質性”的實例有三個，教師提前將小組作業拍照，用PPT播放如下，學生利用所學當堂求解這三個問題：
【設計意圖】讓學生搜集“變化率”實例，利用課堂所學寫出完整的解答過程，能夠較好地反饋學生對平均變化率和瞬時變化率的掌握與理解.學生課前搜集，教師提前篩選，提高課堂效率的同時，使得實例涉及不同領域，對數學共性的說明更具說服力，為引出導數概念做好充分鋪墊.
（五）抽象概念，數學表達
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1.雖然上面的五個實例涉及不同領域，但從數學的角度思考上述五個實例，在“過程與方法”、“結果的形式”上有哪些共性？
【師生活動】教師要著重引導學生從“數學的角度”觀察問題的一致性，從“過程與方法”和“結果的形式”進行歸納小結.學生小組合作探究，教師巡視，深入小組活動，傾聽學生交流.教師請小組代表分享交流，其他組進行補充.教師用PPT展示“數學共性”，如下：
【設計意圖】培養學生的觀察、概括能力.讓學生體會微積分的重要思想——用運動變化的觀點研究問題.體會極限思想.感受用“平均變化率”趨近“瞬時變化率”的研究方法.關注結果形式的一致性——都是一個確定的數值.引導學生用數學的眼光觀察世界，用數學的思維思考世界，用數學的語言表達世界.
2.如果研究更一般的問題，對于函數()yfx在0xx處的瞬時變化率如何表示？ 【師生活動】教師提問，學生回答. 教師要關注學生的數學表達，讓學生感受從具體到一般的抽象過程和研究方法. 教師板書，如下：
【設計意圖】讓學生深刻體會概念的建構過程.
教師引言：其實函數()yfx在0xx處的瞬時變化率就稱為函數()yfx在0xx處的導數，這就是導數的概念. 【師生活動】教師板書，如下：
對于函數()yfx在0xx處的瞬時變化率為：
00
()()
limlimxxyfxxfxxx 1. 導數的概念
對于函數()yfx在0xx處的瞬時變化率為：
0''
000
()()
()limlimxxxxyfxxfxfxyxx 叫函數()yfx在0xx處的導數.
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（六）例題講解 例1.求
2()=fxx在=2x處的導數.
22200(2)(2)
(2)2()44
(2)(2)
(2)limlim(4)4.
xxfxfx
xxxxxx
fxffxx解：因為平均變化率
所以
2
()3.fxxx練習：求在處的導數 【設計意圖】熟悉導數定義，掌握求導步驟，了解導數內涵.
例2. 將原油精煉為汽油.柴油.塑膠等各種不同產品，需要對原油進行冷卻和加熱.已
知在第xh時，原油的溫度（單位：C。
）為2()715(08)yfxxxx.計算第2h、
第3.5h和第6h時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義.
教師引言：原油溫度在第2h、第3.5h和第6h時的瞬時變化率，從數學角度，求的是什么？
【師生活動】教師要引導學生體會原油溫度在第2h、第3.5h和第6h時的瞬時變化率就是函數2
()715(08)yfxxxx在2,3.5,6x處的導數，即：
'''(2),(3.5),(6)fff.引導學生將實際問題抽象成數學問題，用導數的定義解決問題，注意
結果的形式是一個確定的數值. 引導學生將導數值放回情境，就表示原油溫度的瞬時變化率，深刻體會導數的本質. 教師提問，學生先獨立思考，然后作答在學案上，組內互評，教師巡視，將學生答案同屏在大屏幕上分享.
【設計意圖】經歷用導數的概念解決實際問題，讓學生感受數學源于生活，更能用于生活.教師巡視時，要關注學生導數符號的書寫，解題格式的完整，要關注學生對實際意義的表達.三個計算結果分別為正數、負數、零，讓學生感受導數值的多樣性，體會瞬時變化率的實際意義，為下一個單元分講——應用導數探究函數的單調性埋下伏筆. 教師引言：將原油溫度問題一般化，那么'0()fx表示什么意義？
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【師生活動】教師引導學生說出'0()fx表示原油溫度在0tx時刻的瞬時變化率.深刻體會導數的數學表達和本質. 教師提問，學生獨立思考、回答問題.
【設計意圖】引導學生用數學的思維解決問題，將實際問題抽象為數學問題.深化對導數概念的理解.理解導數的本質就是瞬時變化率.
教師引言：可見，導數可以描述任何運動變化事物的瞬時變化率.
（七）課堂小結
教師引導學生從以下兩個方面進行小結：
知識方面：瞬時速度，切線斜率，瞬時變化率，即導數的定義.
思想方法：思考方法--以已知探求未知，特殊到一般，具體到抽象，逼近思想.
（八）布置作業
1. 請大家查閱相關資料，了解導數概念產生的背景與過程.
2. 結合上節課平均變化率的幾何意義，請大家思考，導數的幾何意義是什么？這是我們下一節要探究的問題.
六、課堂教學目標檢測
通過練習題和本節課小結，檢測目標情況發現，圓滿完成教學目標1,2,3,4.
七、板書設計
導數的概念
1. 瞬時變化率：
2. 導數的概念：
1. 平均速度：
2. 瞬時速度：
3. 割線斜率：
4. 切線斜率：
例.解：
練習：
八．課后反思
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本節課老師通過層層設問，步步引導，對導數概念引入的必要性和合理性進行了自然的、清楚的深入剖析。
首先，借助學生熟悉的高臺跳水的實例，從平均速度開始，利用平均速度探求瞬時速度。學生在高一年級的物理課程中學習過瞬時速度，已經具備了一定的認知基礎，充分利用這一認知基礎，用形象直觀的“逼近”定義瞬時速度。然后，從數轉向形，借助函數圖象、幾何畫板直觀的動態演示，探求割線無限“逼近”切線的過程。上述過程研究了兩類變化率問題：一類是物理學中的問題，涉及平均速度和瞬時速度；另一類是幾何學中的問題，涉及割線斜率和切線斜率。 這兩類問題雖然來自不同的學科領域，但在解決問題時，都采用了由“平均變化率”逼近“瞬時變化率”的思想方法。接著借助學生自己搜集的生活中變化率的例子，引導學生利用所學解決，使得實例涉及不同領域，對數學共性的說明更具說服力，為引出導數概念做好充分鋪墊.最后，引導學生從“數學的角度”觀察問題的一致性，從“過程與方法”和“結果的形式”進行歸納小結，抽象得到導數定義。
本堂課抓住“逼近”的思想，由平均速度到瞬時速度，割線斜率到切線斜率，再到導數，由淺入深、由易到難、由特殊到一般，展現了一個完整的數學探究過程，幫助學生完成了思維的飛躍，順利突破本節課的教學難點。一方面排除了因難以理解極限的形式化定義，而對導數本質理解的干擾，將更多的精力放在對導數本質與內涵的理解上；另一方面，使學生對逼近的思想有了豐富的直觀基礎和一定理解，有利于后續高水平的學習；同時提及導數產生的時代背景，讓學生感受數學文化的熏陶，感受數學源于生活，又服務于生活。
整個教學過程，水到渠成。就是在這樣的課堂教學中，教會學生如何用數學的眼光觀察世界，用數學的思維分析世界，用數學的語言表達世界，從而順利提升學生的數學學科核心素養。
當然，這堂課肯定還存在著這樣那樣的問題，特別是時間的把控上，教師對學生的計算能力過高估計導致一開始的計算探究環節時間耽誤略長，課堂顯得前松后緊，另外，由于過多強調了知識的生成和數學思維的養成，在錄播課有限的時間里還沒有來得及對知識進行充分應用，即沒有來得及講解例題，教師應在接下來的教學中對本節知識重點進行應用。
視頻來源：優質課網 www.jixiangsibao.com
