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視頻標簽：橢圓的幾何性質
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：人教B版高中數學選修1-1第二章2.1.2 橢圓的幾何性質-廣東省優課
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橢圓的幾何性質及應用（第二課時）
授課班級：高三（13）班 授課時間：2018年11月26日第三節
課前預習案
考綱要求
1、了解橢圓的實際背景，了解橢圓在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用. 2、掌握橢圓的定義、幾何圖形、標準方程及簡單幾何性質. 3、了解橢圓的簡單應用.
4、理解數形結合的思想.
知識梳理
1、 橢圓的定義：平面內到兩個定點F1,F2的距離的和 (大于|F1F2|)的點的
軌跡叫做橢圓.這兩個定點F1,F2叫做橢圓的 .
注:若點M滿足|MF1|+|MF2|=2a, |F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c為常數. (1)當 時,點M的軌跡是橢圓; (2)當 時,點M的軌跡是線段; (3)當 時,點M的軌跡不存在.
注意：橢圓中涉及焦點時，注意運用橢圓的定義來解題。 2、 橢圓的方程
(1)標準方程： 當焦點在x軸上時，橢圓方程為 ，
當焦點在y軸上時，橢圓方程為 .
(2)一般方程： 焦點位置不確定時，橢圓方程為 . (3)參數方程： 當焦點在x軸上時, 參數方程為 .
(4)與)0(12
2
22babyax共焦點的橢圓系方程為 .
注意：求橢圓的方程，用待定系數法，先定位，后定量。 3、 橢圓的離心率：橢圓的焦距與長軸長的比叫做橢圓的離心率。
1） 離心率的取值范圍：
2） 離心率對橢圓形狀的影響：離心率e 越大，橢圓就越扁；離心率e 越小，橢圓
就越圓。
4、 橢圓的簡單幾何性質 焦點位置 焦點在x軸上 焦點在y軸上
標準方程
)0(122
22bab
yax )0(122
22bab
xay 圖
形
焦點坐標 （±c, 0）
（0, ±c）
對稱性 關于x,y軸成軸對稱，關于原點成中心對稱.
頂點坐標 （±a, 0）(0, ±b) （±b, 0）(0, ±a) 范圍
||,||yax
||,||ybx
2
長軸、短
軸、焦距 長軸A1A2的長為 ，短軸B1B2的長為 ，焦距F1F2的長為
離心率 橢圓的焦距與長軸長的比e＝ （0<e<1）
a,b,c關系
5、 性質拓展：
(1) 橢圓上的點與焦點距離的最大值為ac，最小值為ac；橢圓上的點與原點距離的最大值為a，最小值為b.
(2)通徑：過橢圓的焦點且垂直于長軸的直線被橢圓截得的弦稱為橢圓的通徑，其長度為2
2a
b.
(3)焦點三角形：橢圓上任意一點P(y≠0)與兩焦點構成的三角形稱為焦點三角形。 常用的結論有： （其中焦點三角形21FPF中,21PFF請將證明過程寫在筆記本上）
① 周長為2a+2c. ② 2
tan
2
21
bSPFF. ③ .21cos2e
④當P為短軸端點時，最大，此時21MFMF最大，面積也最大。
課堂探究案
典型例題
考點1 根據定義或幾何性質求方程
【例1】（1）【2017全國I卷，20】已知橢圓C：22
221(0)xyabab
，四點1(1,1)P，
2(0,1)P， 33(1,)2P，43
(1,)2
P中恰有三點在橢圓C上．求C的方程；
（2）【2016全國I卷，20】設圓01522
2xyx的圓心為A，直線l過點)0,1(B且與
x軸不重合，l交圓A于DC,兩點，過B作AC的平行線交AD于點E．證明EBEA為定值，并寫出點E的軌跡方程；
【變式1】（1）【2014全國I卷，20】)已知點A(0,2)，橢圓E：22
221(0)
xyabab
的離心率為32，F是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為23
3
，O為坐標原點．求橢圓
E的方程。
（2）【2013全國I卷，20】已知圓M：(x＋1)2＋y2＝1，圓N：(x－1)2＋y2＝9，動圓P與圓
M外切并且與圓N內切，圓心P的軌跡為曲線C．求C的方程. （改編教材選修2-1 P50 B組第2題）
3
考點2 橢圓中的離心率問題
【例2】(1)【2012全國I卷】設1F、2F是橢圓22
22:1(0)xyEabab
的左、右焦點，P
為直線32a
x上一點，12PFF是底角為30的等腰三角形，則E的離心率為（ ）
A.12 B .23 C. D.
(2)【2014江西卷】設橢圓C: 22
221(0)xyabab
的左、右焦點為F1,F2,過F2作x
軸的垂線與C相交于A,B兩點,F1B與y軸相交于點D,若AD⊥F1B,則橢圓C的離心率等
于 . 【優化設計P156 典例2】
X*K]
【變式2】(1)【2018全國Ⅱ卷】已知1F，2F是橢圓22
221(0)：xyCabab的左，右
焦點，A是C的左頂點，點P在過A且斜率為3
6
的直線上，12△PFF為等腰三角形，
12120FFP，則C的離心率為( )
A． 23 B．12 C．13 D．14
(2)【2016·全國III卷】已知O為坐標原點，F是橢圓C：x2a2＋y2
b
2＝1(a＞b＞0)的左焦點，
A，B分別為橢圓C的左，右頂點．P為C上一點，且PF⊥x軸．過點A的直線l與線段PF交于點M，與y軸交于點E.若直線BM經過OE的中點，則C的離心率為( )
A.13 B.12 C.23 D.34
[來源學*科*網Z*X*
【優化設計P155 對點訓練2】
解題心得： 1.對于橢圓標準方程的求解,首先要明確參數a,b,c,其次要熟練掌握其內在關系,最后對于橢圓上的已知點要有代入的意識.（基本量的計算） 2.若涉及求軌跡方程，多聯系橢圓的定義。在利用橢圓定義解題的時候,一方面要注意到常數2a>|F1F2|這個條件;另一方面要熟練掌握由橢圓上任一點與兩個焦點所組成的焦點三角形中的數量關系. 特別注意是否有要排除的點。 解題心得：
離心率是橢圓的重要幾何性質之一,是高考中常考的問題.
此類問題要么直接求出參數a和c,進而通過公式e＝
c
a
求離心率;要么先列出參數a,b,c的關系式,再轉化為只含有a和c的關系,進而得出離心率.求解離心率的取值范圍除了借助橢圓本身的屬性,有時還要借助不等式知識及橢圓的范圍等幾何特點. 注意盡量數形結合，通過幾何關系解題，避免用代數法的計算繁雜。
4
考點3 橢圓中的焦點三角形問題
【例3】(1)已知F1,F2是橢圓C: x2a2＋y2
b
2＝1(a＞b＞0)的兩個焦點,P為橢圓C上的一點
且 .若△PF1F2的面積為9,則b= . 【優化設計P154 例1（1）】
(2)已知橢圓)0(122
22babyax的兩焦點分別為,,21FF若橢圓上存在一點,P使得
,1200
21PFF則橢圓的離心率e的取值范圍為 .
*K]
【變式3】(1)已知P是橢圓
19
252
2yx上的點，21,FF分別是橢圓的左、右焦點，若12121
2
PFPFPFPF，則21FPF的面積為
]
(2) 橢圓C: x2a2＋y2
b
2＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1,F2,若橢圓C上恰好有6個不同
的點P,使得△F1F2P為等腰三角形,則橢圓C的離心率的取值范圍是 ( )
A.12(,)33
B. 1(,1)2 C.11(,)32
D.111
(,)
(,1)322
【優化設計P156 典例1】
課后小結 談談收獲
通過本節課的學習，同學們應明確以下幾點：
(1)掌握橢圓的定義、幾何圖形、標準方程及簡單幾何性質。
(2)解題時注重“三個充分”，即充分利用橢圓定義，充分利用幾何性質，充分利用圖形。 (3)解題時注重數形結合思想的應用。 課后作業 鞏固升華
1.配套練習：考點規范練49（橢圓）中的小題以及大題的第1 小問。 2.教材人教A版選修2-1 p50 B組
3.知識拓展：閱讀教材人教A版選修2-1 P50-51，了解橢圓的準線，第二定義，結合P47 例6理解。
視頻來源：優質課網 www.jixiangsibao.com
