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視頻標簽：兩角和與差,三角公式,余弦公式
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：人教B版高中數學必修四第三章3.1.1兩角和與差的三角公式（一）正、余弦公式-山西省 - 忻州
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3.1.1 兩角和與差的正、余弦公式
整體設計
一、教學分析
本節用一個實際問題做引入，從中提出了兩個問題:①實際問題中存在研究像sin(45°+α)這樣的包含兩個角的三角函數的需要;②實際問題中存在研究像sin(45°+α)與cos(45°+α)這樣的包含兩角和的三角函數與α、45°單角的三角函數的關系的需要。以實例引入課題也有利于體現數學與實際問題的聯系,增強學生的應用意識,激發學生學習的積極性,同時也讓學生體會數學知識產生、發展的過程.
利用向量知識探索兩角差的余弦公式時,要注意推導的層次性:①在回顧求角的余弦有哪些方法時,聯系向量知識,體會向量方法的作用;②結合有關圖形,完成運用向量方法推導公式的必要準備;③探索過程不應追求一步到位,應先不去理會其中的細節,抓住主要問題及其線索進行探索,然后再反思,予以完善;④補充完善的過程,既要運用分類討論的思想,又要用到誘導公式.
本節是數學公式的教學,教師要遵循公式教學的規律,應注意以下幾方面:①要使學生了解公式的由來;②使學生認識公式的結構特征,加以記憶;③使學生掌握公式的推導和證明;④通過例子使學生熟悉公式的應用,靈活運用公式進行解答有關問題.
二、三維目標 1、知識與技能
（1）能利用向量有關知識建立兩角差的余弦公式; （2）推導并記憶兩角和與差的正、余弦公式; （3）兩角和與差正、余弦公式的簡單應用。 2、過程與方法
師生合作利用向量方法建立兩角差的余弦公式，通過余弦公式和誘導公式導出兩角和與差的正、余弦公式。通過典型例題進行公式的簡單應用。
3、情感、態度、價值觀
體會兩角差公式在三角運算中所起的基礎作用，以及其它公式的推導方
法，讓學生感受數學知識間的相互關系。
三、課標解讀：
教學重點:通過探究得到兩角差的余弦公式. 教學難點:探索過程的組織和適當引導. 四、教學方法：大三步。 五、問題反饋：
1、兩角差余弦公式的推導？ 5、8組 2、如何推導并記憶這些公式？ 8、9、10組 3、公式的正逆應用？化簡、計算問題？ 簡案26課時的例1？
給函數值求函數值的問題如何解決？ 1、5、6、11組 六、教學設想 （一）導入新課
(問題導入)播放多媒體,出示問題,讓學生認真閱讀課本引例.在用方程的思想分析題意,用解直角三角形的知識列方程的過程中,提出了兩個問題:實際問題中存在研究像sin(45°+α)這樣的包含兩個角的三角函數的需要;②實際問題中存在研究像sin(45°+α)與cos(45°+α)這樣的包含兩角和的三角函數與α、45°單角的三角函數的關系的需要。在此基礎上,再一般化而提出本節的研究課題進入新課.
（二）新知探究
問題反饋1：如何利用向量方法推導兩角差的余弦公式
圖1
教師引導學生,可否利用剛學過的向量知識來探究這個問題呢?如圖1,在平面直角坐標系xOy內作單位圓O,以Ox為始邊作角α、β,它們的終邊與單位圓O的交點分別為A、B,則OA=(cosα,sinα),OB=(cosβ,sinβ),∠AOB=α-β.
由向量數量積的定義有OA·OB=|OA||OB|·cos(α-β)=cos(α-β), 由向量數量積的坐標表示有
OA·OB=(cosα,sinα)(cosβ,sinβ)=cosαcosβ+sinαsinβ, 于是,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.
我們發現,運用向量工具進行探究推導,過程相當簡潔,但在向量數量積的概念中,角α-β必須符合條件0≤α-β≤π,以上結論才正確,由于α、β都是任意角,α-β也是任意角,因此就是研究當α-β是任意角時,以上公式是否正確的問題.當α-β是任意角時,由誘導公式,總可以找到一個角θ∈［0,2π),使cosθ=cos(α-β),若θ∈［0,π］,則OA·OB=cosθ=cos(α-β).若θ∈［π,2π］,則2π-θ∈［0,π］,且OA·OB=cos(2π-θ)=cosθ=cos(α-β).
由此可知,對于任意角α、β都有： cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(C(α-β))
此公式給出了任意角α、β的正弦、余弦值與其差角α-β的余弦值之間的關系,稱為差角的余弦公式,簡記為C(α-β).有了公式C(α-β)以后,我們只要知道cosα、cosβ、sinα、sinβ的值,就可以求得cos(α-β)的值了.
問題反饋2：公式的記憶
教師引導學生細心觀察公式C(α-β)的結構特征,讓學生自己發現公式左邊是“兩角差的余弦”,右邊是“這兩角的余弦積與正弦積的和”,可讓學生結合推導過程及結構特征進行記憶,特別是運算符號,左“-”右“+”.或讓學生進行簡單填空,因此,只要知道了sinα、cosα、sinβ、cosβ的值就可以求得cos(α-β)的值了.
類比推出其它公式，學生回答：
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ(C(α+β)) sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ(C(α-β)) sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ(C(α+β)) （三）應用示例
問題反饋3：公式的正逆應用？化簡、計算問題？ 例1(課前的實際問題)利用差角余弦公式求cos15°的值.
活動:先讓學生自己探究,對有困難的學生教師可點撥學生思考題目中的角15°,它可以拆分為哪些特殊角的差,如15°=45°-30°或者15°=60°-45°,從而就可以直接套用公式C(α-β)計算求值.教師不要包辦,充分讓學生自己獨立完成,在學生的具體操作下,體會公式的結構,公式的用法以及把未知轉化為已知的數學思想方法.對于很快就完成的同學,教師鼓勵其換個角度繼續探究.
學生解:方法一:cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°＋sin45°sin30 =
.4
2621222322 方法二:cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°＋sin60°sin45° =
21×.4
2
62
32222 點評:本題是指定方法求cos15°的值,屬于套用公式型的,這樣可以使學生把注意力集中到使用公式求值上.但是仍然需要學生將這個非特殊角拆分成兩個特殊角的差的形式,靈活運用公式求值.本例也說明了差角余弦公式也適用于形式上不是差角,但可以拆分成兩角差的情形.至于如何拆分,讓學生在應用中仔細體會.
變式訓練
1.求sin75°,sin15°的值.
學生解:
sin75°=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°＋sin45°sin30° =
.4
2621322322 sin15°=15cos12=2)426(
1=.4
2
6162628 點評:本題是例題的變式,比例題有一定的難度,但學生只要細心分析,利用相關的誘導公式,不難得到上面的解答方法.
2. 【簡案例1】求值:sin163°sin223°＋sin259°sin313°. 解:原式=cos(223°-163°)=cos60°=
2
1
.
點評:此題學生一看就有似曾相識而又無從下手的感覺,需要教師加以引導,
讓學生細心觀察,先化簡，再結合公式C(α-β)的右邊的特征,逆用公式便可得到cos(223°-163°).這就是公式逆用的典例,從而培養了學生思維的靈活性.
例2 已知sinα=54,α∈(2,π),cosβ=13
5
,β是第三象限角,求cos(α-β)的值.
本例由學生自己獨立完成. 解:由sinα=
54,α∈(2
,π),得 cosα=.53
)54(1sin122a
又由cosβ=13
5
,β是第三象限角,得 sinβ=.13
12)135(1cos122
所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
=.65
33
)1312(54)135()53(
點評:本題是直接運用公式C(α-β)求值的基礎練習,但必須思考使用公式前應作出的必要準備.特別是運用同角三角函數平方關系式求值時,一定要弄清角的范圍,準確判斷三角函數值的符號.教師可提醒學生注意這點,養成良好的學習習慣.
變式訓練（1） 已知sinα=54,α∈(0,π),cosβ=13
5
,β是第三象限角,求cos(α-β)的值.
解:①當α∈［
2,π)時,且sinα=5
4
,得 cosα=53
)54(1sin122a,
又由cosβ=13
5
,β是第三象限角,得 sinβ=2
2)13
5(1cos1
=1312.
所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
=.
6533)1312(54)135()53(.
②當α∈(0,2)時,且sinα=5
4
,得
cosα=53
)54(1sin122a,
又由cosβ=13
5
,β是第三象限角,得 sinβ=.13
12)135(1cos122
所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
=.65
63
)1312(54)135(53 點評:本題與例2的顯著的不同點就是角α的范圍不同.由于α∈(0,π),這樣cosα的符號可正、可負,需討論,教師引導學生運用分類討論的思想,對角α進行分類討論,從而培養學生思維的嚴密性和邏輯的條理性.教師強調分類時要不重不漏.
變式訓練（2）已知sin(α+
4)=53,且α∈(4, 4
3
),求sinα的值. 活動:教師引導學生觀察題目中的條件與所求,讓學生探究α、α+4
之間的
關系,也就是尋找已知條件中的角與所求角的關系.學生通過探究、討論不難得到
α=(α+
4)-4
的關系式,然后利用公式C(α-β)求值即可.但還應提醒學生注意由α的取值范圍求出α+4
的取值范圍,這是很關鍵的一點,進而求出sinα.
學生解:∵α=(α+4)-4
∴sinα=sin[(α+4)-4]=sin(α+4)cos4-cos(α+4)sin4
∵sin(α+4)=53,且α∈(4, 43
)
∴α+4∈(2
, )
∴cos(α+4)=54
-
∴sinα=10
2
722542253
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