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視頻標簽：充分條件,必要條件
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：人教A版高中數學選修1-1第一章1.2.1充分條件與必要條件-重慶
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人教A版高中數學選修1-1第一章1.2.1充分條件與必要條件-重慶市璧山中學校
充分條件與必要條件教案
一、教學目標
（一）知識與技能
1.理解充分條件、必要條件的意義； 能正確判斷是否是充分條件或必要條件。
2. 通過對充分條件與必要條件的研究，使學生掌握有關的邏輯知識，以保證推理的合 理性和論證的嚴密性。
3. 從實例探究中感知概念；從原命題及逆否命題的對比分析中形成概念；從發散練習題的構造中理解概念；從集合的角度深化概念；提高數學語言的運用能力和邏輯推斷能力。
（二）情感、態度與價值觀
通過“pq”與“qp”的判斷，感受對立，統一的思想。通過對充分條件和必要條件與集合間的聯系的教學，建立概念間的多元聯系，培養同學們多角度審視問題的習慣.
二、教學重難點
1. 教學重點：充分條件與必要條件。 2. 教學難點：必要條件概念的理解。
三、學情分析
學生在初中階段已經接觸過命題、真假命題，高中教材在本節課教學之前安排了命題、命題的形式（若p則q）和四種命題的學習，以及學生日常生活中已有大量邏輯經驗的積累都為本節課“充分條件與必要條件”概念的學習奠定了良好的基礎。
璧山中學實驗班的學生基礎較好，數學思維活躍，具備一定的觀察、辨析、抽象概括和歸納類比等學習能力。
“充分條件與必要條件”是密不可分的、相對的兩個概念，以學生已有的知識基礎對“充分條件”的理解較為容易，但對“必要條件”概念的理解較為困難。
通過例題、學生活動舉例，積累足夠的充分條件、必要條件的邏輯體驗；層層遞進，從逆否命題與原命題同真假的角度理性認識“必要條件”的概念；再從充分條件、必要條件與集合間的聯系上，結合集合的韋恩圖直觀理解“充分條件與必要條件”，幫助學生準確而深刻的理解充分條件與必要條件的概念。
四、教學方法及教學準備
1. 學習充分條件、必要條件和充要條件知識，要注意與前面有關邏輯初步知識內容相聯系，充要條件中的p、q與四種命題中的p、q要求是一樣的，它們可以是簡單命題，也可以是不能判斷真假的語句，也可以是含有邏輯聯結詞或“若a，則b”形式的復合命題。
2. 激發學生的學習興趣是本節課的關鍵，教學中應始終注意以學生為主，讓學生在自我思考，相互交流中去給概念、“下定義”，去體會概念的本質屬性。
3. 教材中對“充分條件”、“必要條件”的定義沒作過多的解釋說明，為了能讓學生能理解定義的合理性，在教學過程中教師可以從簡單的命題的條件與結論之間的關系來講解“充分條件”的概念，從互為逆否命題的等價性來了解“必要條件”的概念。
4. 教學用具：多媒體
五、課堂內容 （一）課堂引入
師：上課！同學們好！ 學：老師好！ 師：請坐！
師：我想問一個問題，你們有誰知道剛才聽的首歌叫什么名字呢？有同學知道嗎？ 學：《我是一只魚》
師：哇，真厲害，有人聽出來這首老歌了！
師：問題1：魚離不開水，有水，魚就能生存嗎？
學：不夠，還需要空氣，食物等！
師：非常好！問題2：老師寫一個命題——“若p，則q”的形式，比如“若有水,則魚能生存”，你能寫出它的否命題，逆命題，逆否命題嗎？
學：①“若有水,則魚能生存”；②“若無水，則魚不能生存”； ③“若魚生存，則有水”；④“若魚不能生存，則無水”. 師：問題3：你能判斷①②③④的真假嗎？ 學：①④為假命題，②③為真命題.
師：問題4： 你能再舉一個“若p,則q”的例子嗎？ （根據學生情況分析）
師：問題5 請寫出它的逆命題、否命題、逆否命題并判斷真假. 【設計意圖】通過一首歌《我是一只魚》的引入，引起學生注意，為引入命題的逆命題，否命題，逆否命題做鋪墊。讓學生舉例命題，鞏固讓學生回憶之前講過的內容，學生的開放性思維。
（二）概念形成
師：命題有真有假，“若p，則q”為真命題，是指由p經過推理可以得到q.我們如何用符號語言描述它呢？
學：記作qp. 師：好的，說明大家已經掌握了它的符號語言了，這樣就建立了條件和結論之間的關系。你還能用其他的描述形式描述一下“若p，則q”為真命題的邏輯關系嗎？
學：p是q的充分條件，q是p的必要條件。
師：很好！誰能完整的定義一下命題的充分條件和必要條件呢？
生：如果命題“若p，則q”為真，則記作qp，并且說p是q的充分條件，q是p的必要條件。
師：你們認為在這個定義中最關鍵的因素是什么呢？ 生：“若p，則q”為真命題。
師：如果你覺得誰是誰的充分條件，必要條件不好記，我教個訣竅，就是qp,看箭頭所指方向，p沖向q，p是q的充分條件，q作為p的必要結論出現，則q是p的必要條件。
師：好的，那么q的充分條件是p,請問這句話說明什么？和p是q的充分條件是一樣的嗎？
學：是的
師：也就是說p是q的充分條件和q的充分條件是p都是指qp。
師：很好，請問“p q”與“p是q的充分條件”，“q是p的必要條 件”是 一個意思嗎？
生：是的，它是對一個命題的三種不同的表述，是一個意思。 師：非常好！
師：p是q的充分條件，是p能充分推導出q，我們可以通俗地說“有p 就行”。而怎
么理解q是p的必要條件呢？在 pq 中，q 有什么作用？如果q 成立，一定能得到p
成立嗎？那么是不是說 q 對于 p 來說是可有可無的呢？（小組合作學習）
生： 的等價命題是 ,如果q不成立則能推導p不成立，若p成立，則q必須成立，我們可以通俗地說“沒q不行”。所以，q成立是必要的。要理解“pq”，需注意研究的并不是獨立的p和q是否為真，而是p和q之間是否具有因果關系是否為真。當 p發生可以獨自引發q發生時，我們稱p是q的充分條件；如果沒有q就不會發生p，則我們稱 q是p的必要條件。
師：比如說有水是魚生存的必要條件。
師：說明你們已經掌握了充分條件和必要條件了。 【設計意圖】讓學生完整敘述命題的充分條件和必要條件的概念，加深學生對概念的印象。對已有的命題知識進行重新建構。小組合作學習探討如何理解必要條件，作為本節課的難點，激發學生學習的熱情。
師：那如果“若p，則q”為假，我們記作pq，我們怎么文字語言敘述呢？ 生：我們就說我們就說p不是q的充分條件，q不是p的必要條件.
師：好了，我們學習成分條件和必要條件的概念的關鍵是判斷 或者 ，也就是小范圍推導大范圍，大范圍不能推導小范圍。
（三）鞏固新知
師：我們進行鞏固學習，先看例1。
【例1】下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的p是q的充分條件？ （合作學習，完成這個題） (1)若 ，則 ; (2)若x=1,則x2-4x+3=0;
(3)在ABC中，若BA,則BA2sin2sin。
解：上述三個命題都是真命題，所以p都是q的充分條件。 問題1 對于以上命題，我們可不可以稱q是p的必要條件？ 答：可以
(變式)在ABC中，若BA2sin2sin,則BA
問題2：命題(3)，我們改變條件和結論后，是否還有p是q的充分條件？ 答：此時不能說p是q的充分條件，而是p是q的必要條件
【設計意圖】鞏固命題的充分條件與必要條件的定義在實際的應用，對新知提升高度，變式的部分讓學生回憶基本知識，也是解三角形部分比較容易出錯的地方。
【例2】回顧課堂引入部分的《我是一只魚》中的①②③④，哪些命題中的p是q的充分條件，哪些命題中的p是q的必要條件？
(獨立思考)
①若有水,則魚能生存”； ②“若無水，則魚不能生存”； ③“若魚生存，則有水”； ④“若魚不能生存，則無水”.
答：①中p是q的必要條件；②中p是q的充分條件；③中p是q的充分條件；④中p是q的必要條件.
【設計意圖】對于原命題不好判斷是否為真時，我們可以選擇它的等價命題即逆否命題來判斷。讓學生對p是q的充分條件，p是q的必要條件進行辨析，有助于加深學生對定義的理解。
師：問題1 你能總結出充分條件與必要條件的判斷方法嗎？ 學：（1）直接利用定義判斷，即判斷“若p,則q”是否為真命題； （2）利用等價命題判斷：“p q”等價命題是 “ ” 【設計意圖】讓學生歸納總結判斷命題的充分條件與必要條件的方法，有助于學生對數學思想方法的掌握。
師：那我們思考一下，例1中的若 ，則 時，怎么判斷的 呢？
生： 的范圍小， 范圍大，小推大。
師：很好！我們能否探究一下充分條件和必要條件與集合之間聯系呢？
BxqAxp:,:,且qp，則集合A與B有怎樣的關系？
(大家合作學習)
任意Ax,則Bx，即：BA
BxqAxp:,:,且qp，則BA
【設計意圖】總結充分條件與必要條件和集合之間的關系，借助集合的知識解決命題的 充分條件與必要條件的題目，也有助于讓學生理解小范圍能推導大范圍，大范圍不能推導小范圍，讓學生的思維具有連貫性，促進學生思考問題的嚴密性和合理性。
（四）總結歸納
(一)知識內容歸納：
①充分條件與必要條件的概念； ②充分條件與必要條件的判斷；
③充分條件和必要條件與集合的聯系； （2）過程方法：
學會觀察、歸納、總結，進行探索發現，注意邏輯推理的合理性和嚴密性。
（五）作業
1.課本P10 練習1，2，3; 2.判斷下列命題真假:
(1)“a>b”是“a2>b2”的充分條件； (2)“|a|>|b|”是“a2>b2”的必要條件； (3)“a>b”是“ac>bc”的充分條件條件.
（六）板書設計
充分條件與必要條件
①概念：如果命題“若p，則q”為真，則記作qp，并且說p是q的充分條件，
q是p的必要條件。 ②判斷：（1）直接利用定義判斷，即判斷“若p,則q”是否為真命題；
（2）利用等價命題判斷：“p q”等價命題是 “ ”
③與集合的聯系：BxqAxp:,:,且qp，則BA
A B
A、B
A B
（七）課后反思
這節課主要講了充分條件與必要條件的概念、判斷及與與集合的聯系，是在學生已學命題的逆命題，否命題和逆否命題的基礎上定義命題的充分條件與必要條件。在剛開始的舉例“若p，則q”例子時，對于學生來說有難度，那么老師應該舉數學上的例子進行示范，再來激發學生的發散思維會更好。因為必要條件是本節課的難點，所以，應多給學生時間進行合作學習探究，加深學生的印象，啟發式引導學生從逆否命題上進行解釋。在例題的選擇上可以舉一個這樣的例子：“ab=0” 的一個充分條件是 ”，讓學生自己填空，提升學生逆向思維。
總體來看，學生對充分條件和必要條件的理解還是不夠到位，小范圍能推導大范圍，大范圍不能推導小范圍的結論依然不能很好地掌握，在后面加強“若p，則q”為真命題和假命題的判斷。
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