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視頻標簽：直線與平面,垂直的判定
所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：人教A版高中數(shù)學(xué)必修2“2.3.1直線與平面垂直的判定（第一課時）山東省 - 青島
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“直線與平面垂直的判定”教學(xué)設(shè)計
一、教材內(nèi)容及地位分析
本節(jié)課為人教A版《普通高中課程標準實驗教科書 數(shù)學(xué)》必修2“2.3.1直線與平面垂直的判定（第一課時）”，主要包括直線與平面垂直的定義、判定定理及初步運用，其中，如何讓學(xué)生理解線面垂直的判定定理是本節(jié)課的核心內(nèi)容.本節(jié)內(nèi)容是直線與直線垂直的延續(xù)，又是平面與平面垂直的基礎(chǔ)，在教材中起著承上啟下的作用.
二、課標分析
《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）》（以下簡稱《標準》）中與本課相關(guān)的要求是：通過直觀感知，了解空間中直線與平面的垂直關(guān)系，歸納出判定定理；用數(shù)學(xué)語言表述有關(guān)垂直的判定；對判定定理只要求直觀感知、操作確認，在選擇性必修課程中將用向量方法加以論證；能用已獲得的結(jié)論證明空間基本圖形位置關(guān)系的簡單命題；收集、閱讀幾何學(xué)發(fā)展的歷史資料；重點提升直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).
三、學(xué)情分析
授課對象為青島實驗高中數(shù)學(xué)最高層次教學(xué)班的學(xué)生（高一），學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好，數(shù)學(xué)思維能力較高，學(xué)習(xí)興趣濃厚.在學(xué)習(xí)本課之前，學(xué)生已學(xué)習(xí)過空間中點線面的位置關(guān)系，以及直線與平面平行的判定與性質(zhì)，這些知識和研究方法為本課提供了必要的學(xué)習(xí)基礎(chǔ).此外，學(xué)生能夠從實際生活中舉出豐富的線面垂直的例子，能夠直觀地感受到線面垂直的關(guān)系，這為本課提供了生活經(jīng)驗方面的基礎(chǔ).
四、教學(xué)目標
1.通過對實例的觀察，抽象概括出直線與平面垂直的定義.
2.通過類比聯(lián)想、直觀感知、操作確認，歸納出直線與平面垂直的判定定理.
3.滲透空間問題平面化、無限轉(zhuǎn)化為有限、線線垂直與線面垂直互相轉(zhuǎn)化等思想方法，培養(yǎng)學(xué)生探索新知識的能力.
4.滲透數(shù)學(xué)文化，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升學(xué)習(xí)信心. 五、教學(xué)重點與難點
重點：直線與平面垂直的定義和判定定理的探究. 難點：歸納出直線與平面垂直的判定定理. 六、教學(xué)實施 1.情境引入
如圖1，PPT展示青島海軍節(jié)的圖片.
2
問題1：從圖片中可以抽象出直線與平面的位置關(guān)系嗎？
讓學(xué)生回答，同時PPT演示在圖片中抽象出直線和平面.引導(dǎo)學(xué)生，前面兩種（線在面內(nèi)、線面平行）已經(jīng)學(xué)過，所以接下來要研究線面相交.而在線面相交的情況中，最特殊的情形是線面垂直，從而引出本節(jié)課的主題：直線與平面垂直的判定.
問題2：你還能舉出線面垂直的例子嗎？
讓學(xué)生舉例，并引導(dǎo)學(xué)生：線面垂直不僅是最特殊的線面相交，也是最常見的線面相交的情況.
【設(shè)計意圖】從學(xué)生熟悉的實際生活和學(xué)生已有的認知（直線與平面的位置關(guān)系）引入要研究的新知識，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)來源于生活，服務(wù)于生活，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的能力，同時將新知納入舊知的體系中，從“特殊”和“常見”兩個角度說明研究線面垂直關(guān)系的必要性，激發(fā)認知需求.
2.提煉定義
運用信息技術(shù)手段，依次演示可操作的三維立體模型：路由器、木桿、圓錐. 問題3：路由器的天線與路由器表面垂直嗎？
讓學(xué)生發(fā)表看法.如圖2，初始界面兩根天線都垂直于路由器表面，可以調(diào)節(jié)天線的角度，呈現(xiàn)斜交的情況，從正反兩方面讓學(xué)生直觀地感知直線與平面的垂直關(guān)系.展示18世紀法國數(shù)學(xué)家克萊羅在《幾何基礎(chǔ)》中對線面垂直的解釋“一條直線不向平面的任何一面傾斜”.
問題4：直立于地面的木桿與它在地面的影子垂直嗎？
讓學(xué)生發(fā)表看法.如圖3，調(diào)整光源的位置，隨著光源的移動，界面中出現(xiàn)不同位置的
圖2
圖1
3
影子，可觀察到木桿與影子始終垂直.此例體現(xiàn)了如果線面垂直，則線線應(yīng)該要垂直.
問題5：圓錐是如何形成的？在旋轉(zhuǎn)過程中，什么量或者關(guān)系沒有發(fā)生改變？圓錐的軸與底面垂直嗎？
讓學(xué)生發(fā)表看法.如圖4，在旋轉(zhuǎn)過程中，直角三角形的兩條直角邊的垂直關(guān)系始終沒有改變，所以圓錐的軸垂直于每一條半徑，即直線垂直于平面內(nèi)所有與它相交的直線，所以從任何一個方向上看，直線都是不傾斜的，從而導(dǎo)致線面垂直.此例體現(xiàn)了如果線線垂直，則線面垂直.
讓學(xué)生嘗試給線面垂直下一個定義.展示歐幾里得《幾何原本》中線面垂直的定義“若一條直線垂直于平面上與該直線相交的所有直線，則該直線與平面垂直”.引導(dǎo)學(xué)生，用線線垂直去定義線面垂直，體現(xiàn)了“平面化”、“降維”的數(shù)學(xué)思想.
引導(dǎo)學(xué)生，平面內(nèi)不過線面交點的直線也與該直線垂直（異面垂直），所以定義中“與該直線相交”可以去掉，實際上該直線垂直于平面內(nèi)的“任意一條”直線.
讓學(xué)生在學(xué)案上用文字語言、符號語言、圖形語言來表述直線與平面的垂直關(guān)系，并思考定義的作用.將學(xué)生填寫的內(nèi)容拍照，同步傳到大屏幕上，對比顯示學(xué)生之間不同的答案，對有關(guān)概念、記法、畫法進行有針對性的點撥，強調(diào)定義既是判定，又是性質(zhì)，滲透線線垂直與線面垂直的相互轉(zhuǎn)化的思想.
【設(shè)計意圖】讓學(xué)生像數(shù)學(xué)家一樣經(jīng)歷探索定義的過程，從最初的直觀感受“不歪”，一步步歸結(jié)到線線的位置關(guān)系，體會空間問題平面化、降維、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，體會定義的雙向性.
3.探索定理
問題6：用定義判定線面垂直，方便嗎？ 問題7：你認為可以如何判定？
圖4
圖3
4
引導(dǎo)學(xué)生，定義是“無限驗證”，可否轉(zhuǎn)化為“有限驗證”.類比線面平行的判定定理，提出猜想.
針對直線垂直于平面內(nèi)的“一條”直線即判定線面垂直的猜想，由學(xué)生舉出反例，讓學(xué)生用教學(xué)用具大三角板或大圓規(guī)上臺操作演示.如，讓大圓規(guī)的兩條腿成直角，代表兩條垂直的直線，讓其中一條在桌面內(nèi)，另一條可以呈現(xiàn)與桌面的斜交或在面內(nèi)的情況.
如圖5，PPT上呈現(xiàn)三角板的長直角邊垂直于短直角邊（在平面內(nèi)），而長直角邊所在直線與平面不垂直的反例，在此基礎(chǔ)上，推翻“兩條”、“三條”至“無數(shù)條”的猜想.引導(dǎo)學(xué)生，無數(shù)條平行線其實等效于同一個方向，顯然直線垂直于這一個方向的直線保證不了垂直于平面，所以需要增加方向（變平行為相交）.
如圖6，PPT演示增加一個方向后，三角板的長直角邊所在直線與平面的關(guān)系從斜交變?yōu)榇怪保俳Y(jié)合長方體中的反例（線在面內(nèi)、線面平行）和正例（線面垂直），如圖7所示，從而提出猜想：如果一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，則該直線與此平面垂直.
問題8：（操作實驗）如圖8，過 的頂點 翻折紙片，得到折痕 ，將翻折后的紙片豎起放置在桌面（ 、 與桌面接觸）.如何翻折才能使折痕 與桌面所在的平面垂直？
讓學(xué)生用教師課前準備好的標記了頂點 、 、 的三角形卡片進行操作實驗，教師實時錄像學(xué)生活動，同步顯示到大屏幕上，讓學(xué)生可以看見其他組同學(xué)的活動.
讓學(xué)生展示自己的模型（折痕與桌面垂直的和不垂直的兩種），并引導(dǎo)學(xué)生利用剛學(xué)習(xí)的定義去分析，不沿著高線折的模型不符合線面垂直的定義，那么，沿著高線折的模型是否符合定義，從而引出問題9.
問題9：如何操作能夠驗證 與平面內(nèi)的所有直線都垂直？
先讓學(xué)生上臺操作演示（旋轉(zhuǎn)模型），然后運用信息技術(shù)手段動態(tài)演示，如圖9所示：將 、 在平面內(nèi)繞 點旋轉(zhuǎn)，顯示轉(zhuǎn)過的痕跡.引導(dǎo)學(xué)生，旋轉(zhuǎn)過程中 與 、 的垂直關(guān)系始終沒變，每一條轉(zhuǎn)過的痕跡就代表了平面內(nèi)的一條直線，而 始終沒動，說明 垂直于每一條痕跡，符合線面垂直的定義（歐幾里得定義），可見 垂直于桌面.
圖8
圖7
圖6
圖5
5
引導(dǎo)學(xué)生，兩條直線相交即可，至于過不過線面的交點是無關(guān)緊要的.讓學(xué)生在學(xué)案上用文字語言、符號語言、圖形語言來表述直線與平面垂直的判定定理，并思考定理的作用.將學(xué)生填寫的內(nèi)容拍照，同步傳到大屏幕上，對比顯示學(xué)生之間不同的答案，有針對性地進行點撥，強調(diào)五個條件缺一不可.
問題10：定義與判定定理的聯(lián)系和區(qū)別？
引導(dǎo)學(xué)生，二者都體現(xiàn)了線線垂直與線面垂直的轉(zhuǎn)化，區(qū)別在于，定義中的“線”是任意一條，而定理中的“線”的相交的兩條.
問題11：為什么兩條相交直線可以“代表”平面內(nèi)的所有直線？ 引導(dǎo)學(xué)生回憶向量的知識，從而想到基底的概念.
【設(shè)計意圖】通過對用定義判定線面垂直的思考，引發(fā)“無限驗證”向“有限驗證”的轉(zhuǎn)化.通過類比線面平行的判定定理，提出猜想，并最終歸結(jié)到兩條相交直線的猜想上.通過折紙試驗，對猜想進行直觀的驗證.通過旋轉(zhuǎn)，將靜態(tài)的試驗動態(tài)化，直觀地驗證了符合定義.通過對定義和定理的比較，引導(dǎo)學(xué)生思考為什么兩條相交直線可以“代表”平面內(nèi)的所有直線.
4.應(yīng)用鞏固
如圖10，運用信息技術(shù)手段，演示可操作的三維立體模型：門.
問題12：門軸與地面垂直嗎？
轉(zhuǎn)動門即可驗證（動態(tài)演示），體現(xiàn)定義或判定定理的簡單運用.
問題13：與門軸平行的另一條邊與地面垂直嗎？由此你可以得出什么猜想？ 如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面.
讓學(xué)生寫出已知、求證（符號語言），畫出圖形（圖形語言），并給出證明.將學(xué)生的解答過程拍照，同步傳到大屏幕上，對比顯示學(xué)生之間不同的解法（定義法和定理法），引
圖10
圖9
6
導(dǎo)學(xué)生要交代輔助線的作法，注意步驟的嚴謹性，滲透線線垂直與線面垂直互相轉(zhuǎn)化的思想方法.
【設(shè)計意圖】通過演示門的模型，既對剛剛學(xué)習(xí)的線面垂直的定義和判定定理進行了一個簡單的應(yīng)用，又引出了推論.在證明過程中，讓學(xué)生練習(xí)將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言和圖形語言，注意證明過程的規(guī)范性，體會轉(zhuǎn)化的思想方法.
5.自我評價
問題14：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？
問題15：你認為本節(jié)課你的學(xué)習(xí)目標完成的（A.很好 B.一般 C.不好） 【設(shè)計意圖】通過讓學(xué)生總結(jié)反思，檢驗教學(xué)的效果. 6.課后作業(yè)
(1)課本67頁第1題.
(2)查閱資料，了解歐幾里得與《幾何原本》.
【設(shè)計意圖】第一項作業(yè)為鞏固性作業(yè)，讓學(xué)生體會用線面垂直的判定定理和定義去解決問題的一般方法.第二項作業(yè)為研究性作業(yè)，呼應(yīng)課堂上呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)史，滲透數(shù)學(xué)文化.
七、教學(xué)評價
課堂上教師隨時對學(xué)生的表現(xiàn)進行評價，學(xué)生總結(jié)收獲、對照學(xué)習(xí)目標進行自我評價，課后再通過作業(yè)反饋、測試、訪談等形式進行評價.
八、教學(xué)反思
數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展只有符合邏輯、符合認知規(guī)律，才是自然的、科學(xué)的.對于直線與平面垂直關(guān)系的認知，應(yīng)該是從直觀感受到數(shù)學(xué)本質(zhì)，從無限驗證到有限驗證的過程.在教學(xué)設(shè)計時，力圖做到立足于學(xué)生已有的認知基礎(chǔ)，立足于學(xué)生的認知需求和認知特點，結(jié)合數(shù)學(xué)史，結(jié)合生活實際，讓學(xué)生經(jīng)歷與數(shù)學(xué)家相似的探究過程，讓數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展更加的自然，回歸數(shù)學(xué)理解的本質(zhì).在判定定理不加證明的情況下，力圖讓折紙試驗的作用發(fā)揮到極致，動態(tài)地、直觀地驗證符合定義.
信息技術(shù)的創(chuàng)新使用是本課得以完成以上設(shè)想的最重要的保障.本課共設(shè)計了五個三維立體模型，在課堂上進行動態(tài)的操作演示，為學(xué)生理解直線與平面的垂直關(guān)系提供直觀，提高了學(xué)生的觀察能力和空間想象能力.路由器、木桿、圓錐的模型，從直觀感受到數(shù)學(xué)本質(zhì)，讓“直觀感知”的過程更加全面、有效；折紙的模型，將靜態(tài)的折紙試驗動態(tài)化，讓“操作確認”的過程更加符合邏輯；門的模型，承上啟下，讓學(xué)生自然而然地提出數(shù)學(xué)結(jié)論.
定義、判定定理的三種語言表述，以及例1的解答，都完全交給學(xué)生自主完成，學(xué)生的答案不一定是標準答案，但這恰恰是課堂上寶貴的教學(xué)資源，而利用手機與大屏的同屏功能可以充分地暴露學(xué)生的思維，并進行對比講解，便捷高效.實時錄像也引起學(xué)生的興趣，能夠展示全班同學(xué)的實驗過程.
但是，本課也有很多遺憾.雖然課堂上力圖做到充分尊重學(xué)生的主體地位，也讓學(xué)生進
7
行了操作演示、動手實驗等活動，但是缺乏需要學(xué)生深度思考的問題和深度探究的活動，所以今后的教學(xué)中可以再大膽一些，問題再開放一些，提示性再少一些，讓學(xué)生的探究活動更獨立完整一些.在對學(xué)生的作答情況進行點評時，應(yīng)該先讓學(xué)生說說他的想法，做到更加尊重和信任學(xué)生，給學(xué)生更多的展示機會.教學(xué)語言還可以更加精煉，教學(xué)方式還可以更加多樣化，信息化手段還可以更加豐富，今后應(yīng)更加注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合.
總之，教學(xué)中需要反思的地方還有很多，教學(xué)是一門遺憾的藝術(shù)，這些遺憾只能在以后的教學(xué)中多加注意，不斷反思、不斷總結(jié)、不斷改進、不斷提升，這樣教育教學(xué)理念和教學(xué)能力才能與時俱進.
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視頻來源：優(yōu)質(zhì)課網(wǎng) www.jixiangsibao.com
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