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視頻標簽：正多邊形和圓
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：人教版九年級上冊數學第24章《24.3正多邊形和圓》重慶
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人教版九年級上冊數學第24章《24.3正多邊形和圓》重慶
教學目標
1、通過等分圓周的方法,探索正多邊形和圓的關系
2、了解正多邊形的相關概念
3、通過動手操作,體會正多邊形的對稱性,明確正n邊形有n個內角、n個中心角、n條邊、n條半徑、n條邊心距及它們之間的相互聯系,從而進行正多邊形的相關計算
4、感受解決生活中的實際問題可建立數學模型,體現數學建模思想和數形結合思想
2學情分析
我所任教的是本校九年級小班數學教學工作。小班的學生思維能力、學習能力較強,他們更希望自己動手,發現新知識、探索新知識,有較強的表現欲;但受年齡等因素的影響,注意力不持久,對枯燥的數學問題缺乏興趣,缺乏追求成功的韌性,這需要教師創設生動的問題情境,激起學生的探究欲望,在遇到困難時,引導學生團結協作,充分發揮集體智慧。輔之以現代教學手段的音、畫效果,激發學習積極性。及時發現學生在學習中的不同進步,正確評價,充分發揮評價的激勵性,幫助他們建立自信,提高學習的興趣。
3重點難點
正n邊形的相關計算是本節課的重難點,與角有關的計算比較容易推導和理解,與邊有關的計算是難點,往往要找中心角的一半,部分學生在實際解題過程中往往忽略通過角得到各邊之間的關系,所以需要加強練習,并讓學生有所感悟邊角之間的聯系,教學過程中要加以引導,及時鞏固和運用。
4教學過程
4.1《正多邊形和圓》課堂實錄 情景引入 學生分享： 師：“老師讓你們課前準備的正三角形和正多邊形都準備了嗎？” 生：“準備了！” 師：“那你能和我們分享一下是怎么做的嗎？” 生1：“我做的是正三角形，我先做了一條線段的中垂線，然后再取中垂線上的一點連接兩個端點就得到了。 師：“這一定是正三角形嗎？還需要滿足什么嗎？你只能得到等腰三角形吧？” 生1：“哦，還要取一個角為60°” 生2：“我直接做了一個角為60°的等腰三角形。” 生3：“我做的是三個角都是60°的三角形。” 生4：“我做的是正方形，用一張長方形紙對折，再減去多余部分。” 生5：“我取了四個角都是直角并保證四條邊相等。” 教師分享： 師：“老師也做了，請看——” （播放視頻）“通過剛才的作圖可以看出，就是把圓周分別三等分、四等分、六等分，那你知道怎么做正五邊形嗎？對了，就是把圓周五等分，那怎樣才能把圓周五等分呢？等分圓周可以得到正多邊形，是不是表明正多邊形和圓有關呢？我們一同走進今天的學習：正多邊形和圓 探索新知 理論依據 師：“看來正多邊形和圓關系真是密切。只要把一個圓分成相等的一些弧，就可以作出這個圓的內接正多邊形，而這個圓就是這個正多邊形的外接圓。”（課件演示） 師：“那這是為什么呢？理論依據在哪？我們以正五邊形為例，小組交流：為什么把一個圓分成相等的5段弧，依次連接各分點就可以得到正五邊形？ 抽生上臺講解，師利用交互白板板書：弧等→弦等，即正多邊形的邊等 3倍弧等→圓周角等，即正多邊形的角等 正多邊形的定義 師：“那你知道正多邊形的定義了嗎？” 由生自己總結得出：各邊相等,各角也相等的多邊形是正多邊形. 師：“矩形是正多邊形嗎？（生：不是）為什么不是？（生：邊不相等），那菱形呢？（生：也不是，角不相等） 師給出正n邊形定義：“如果一個正多邊形有n 條邊，那么這個正多邊形叫做正n 邊形。 生勾畫教材P105定義 自主學習各部分名稱P105 請生上臺介紹，師補充：“半徑”不變，其他名稱都是“一字之差”，“圓心”→“中心”；“圓心角”→“中心角”；“弦心距”→“邊心距”；“弦”→“邊” 探究正多邊形的對稱性 師：請同學們拿出每組的正n邊形觀察，它是軸對稱圖形嗎？如果是，動手折出它的對稱軸，你能折出幾條？小組能得出什么結論？ 學生活動 師：“折正三角形的同學，大聲地告訴老師，你折了幾條？” 生：“三條。” 師：“正方形呢？（四條）六邊形呢？（六條）八邊形（八條）” 生齊答：“正n邊形都是軸對稱圖形，有n條對稱軸。” 師：“把你手中的正n邊形旋轉180°，你又有何發現？” 生動手操作后匯報：“有些能和原圖重合，有些不能。” 師：“那哪些能，哪些不能，你們能總結一下嗎？” 生在追問下，思考得出：“奇數邊的不能和原圖重合，偶數邊的可以和原圖重合。” 師：“旋轉180°后和原圖能重合的叫什么圖形？” 生：“中心對稱圖形。” 師板書：n為偶數的正n邊形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形 n為奇數的正n邊形僅是軸對稱圖形 與角有關的計算 （一）推導 師：“觀察每個正n邊形角的個數，你能推出每個內角、每個外角的度數嗎？說給組內成員聽一聽。” 生交流后抽生匯報：“利用多邊形的內角和除以個數就可以知道每個內角的度數，因為正n邊形每個內角相等。” 師板書： 每個內角= 師：“那每個外角呢？” 生1：“用180°—每個內角” 師：“還有其他簡便點的嗎？，既然求每個內角用到了多邊形的內角和，那求每個外角就可以用……” 生齊答：“外角和” 生2：“每個外角= 請生用筆作出正n邊形的中心（即對稱軸的交點）并作出所有半徑，有何發現？ 抽生演示，得出：正n邊形被n條半徑分成了n個全等的等腰三角形 師：“正n邊形有n條半徑，那有多少個中心角呢？每個中心角多少度？” 生齊答：“n個中心角， 師：“所以以后你想要作正幾邊形就可以把360°幾等分；并且我們還知道了，中心角=外角= （二）運用： （1）正八邊形的每個內角是______度. （2）一個中心角等于36°的正多邊形的邊數為__________； 一個外角等于30°的正多邊形的邊數為__________． （3）如圖，正六邊形ABCDEF內接于⊙O，則∠CFD的度數是（ ） A. 60 B. 45° C. 30° D. 22.5° 6、與邊有關的計算 （一）推導 師：“剛才是角的關系，接下來我們來看邊的關系。 圖中有圓的什么定理？” 生：“垂徑定理” 師：“即CM=1／2 CD,我們的計算往往是在（生答：直角）三角形中進行，所以我們連接OC，作出半徑，就構造了直角三角形，得出數量關 系（生答：OM2+CM2=OC2）設正多邊形的邊長為a,半徑為r,邊心距為d，則有 生答： 師：“那你知道∠COM=？ 生：“30°” 師：“為什么呢？” 生：“因為圖中的中心角60°，等腰三角形三線合一，所以∠ COM等于60°的一半。” 師：“那其他的正n邊形這樣的角等于多少度呢？有一般性嗎？請敘述理由” 生：“中心角360／n,那這個角就是它的一半，180／n” 師：“有了這個角，如果還是30°、45°、60°的特殊度數的角，在直角三角形中的計算就更加方便。那如果用a表示正n邊形的邊長， d表示邊心距，如何表示正n邊形的周長和面積呢？小組交流” 生匯報：①正n邊形有n條邊，每條邊相等，都為a，所以周長C=na ②（師提示三角形是我們的基本圖形）先求一個三角形的面積，正n邊形里有n個全等的三角形，所以 （二）運用 （1）例題學習：例. 有一個亭子,它的地基是半徑為4 m的正六邊形,求地基的周長和面積(精確到0.1）. 師：“運用數學知識解決實際問題，我們往往先建立數學模型，這就是數學建模思想，那數學模型在哪呢？” 生：“正六邊形” 師利用HitePanel Pro軟件里的學科工具迅速拖出正六邊形，請生回 答如何解決問題，說出思路。 生1：“連接OB，作OM⊥BC于M，得到∠ BOM=30°，OB=4，則BM=2，BC=4，即邊長為4，所以周長為4╳6=24m” 生2：“連接OB、OC可以得到△OBC為正三角形，所以邊長等于半徑4，就得出周長四六24m” 師：“對了，這也就解釋了為什么在視頻中老師取一段等于半徑的長度就可以作出正六邊形。那面積呢？” 生3：“要求面積就要先求邊心距OM=2√3，先求一個三角形的面積，再乘以6” 生4：“也可用周長乘以邊心距，再乘以1／2” （2）課堂練習 ①已知正六邊形的邊心距為√3 ，則它的周長是_____. ②如圖，要擰開一個邊長a=12mm 的六角形螺帽，扳手張 開的開口 d至少為___________mm ③如圖，正六邊形ABCDEF在平面直角坐標系中，以中心為原 點，頂點A，D在x軸上，且OA＝4，則點A的坐標為__________ ， 點E的坐標為____________ ④邊長為6的正三角形的半徑是________. 抽生答，其中①④數形結合，②建立數學模型，④利用HitePanel Pro軟件迅速作出正三角形講解 課堂總結 生總結 生1：“知道了正n邊形的對稱性，奇數邊的只是軸對稱圖形。” 生2：“學會了正n邊形每個內角，外角，中心角，周長，面積的計算。” 生3：“我覺得計算中往往要算中心角的一半。” 生4：“我了解了數學建模思想。” 教師總結 這節課我們通過等分圓周的方法，探索了正多邊形和圓的關系，了解了正多邊形的有關概念；通過動手操作，體會了正n邊形的對稱性，明確了正n邊形有n個內角、n個中心角，n條邊，n條半徑，n條邊心距以及它們之間的相互聯系，從而進行正n邊形的相關計算；感受了解決生活中的實際問題可建立數學模型，體現了數學建模思想和數形結合思想；我們甚至還通過視頻學到了利用直尺和圓規作出一些特殊的正多邊形的方法。
4.1.1教學活動
活動1【講授】教學過程
一、情景引入
學生分享:
“那你能和我們分享一下是怎么做的嗎?”
1:“我做的是正三角形,我先做了一條線段的中垂線,然后再取中垂線上的一點連接兩個端點就得到了。
“這一定是正三角形嗎?還需要滿足什么嗎?你只能得到等腰三角形吧?”
1:“哦,還要取一個角為60°”
2:“我直接做了一個角為60°的等腰三角形。”
3:“我做的是三個角都是60°的三角形。”
4:“我做的是正方形,用一張長方形紙對折,再減去多余部分。”
5:“我取了四個角都是直角并保證四條邊相等。”
教師分享:
“老師也做了,請看——”
“通過剛才的作圖可以看出,就是把圓周分別三等分、四等分、六等分,那你知道怎么做正五邊形嗎?對了,就是把圓周五等分,那怎樣才能把圓周五等分呢?等分圓周可以得到正多邊形,是不是表明正多邊形和圓有關呢?我們一同走進今天的學習:正多邊形和圓
探索新知
理論依據
“看來正多邊形和圓關系真是密切。只要把一個圓分成相等的一些弧,就可以作出這個圓的內接正多邊形,而這個圓就是這個正多邊形的外接圓。”(課件演示)
“那這是為什么呢?理論依據在哪?我們以正五邊形為例,小組交流:為什么把一個圓分成相等的5段弧,依次連接各分點就可以得到正五邊形?
→弦等,即正多邊形的邊等
3倍弧等→圓周角等,即正多邊形的角等
正多邊形的定義
師:“那你知道正多邊形的定義了嗎?”
由生自己總結得出:各邊相等,各角也相等的多邊形是正多邊形.
“矩形是正多邊形嗎?(生:不是)為什么不是?(生:邊不相等),那菱形呢?(生:也不是,角不相等)
師給出正n邊形定義:“如果一個正多邊形有n 條邊,那么這個正多邊形叫做正n 邊形。
生勾畫教材P105定義
自主學習各部分名稱P105
“半徑”不變,其他名稱都是“一字之差”,“圓心”→“中心”;“圓心角”→“中心角”;“弦心距”→“邊心距”;“弦”→“邊”
探究正多邊形的對稱性
n邊形觀察,它是軸對稱圖形嗎?如果是,動手折出它的對稱軸,你能折出幾條?小組能得出什么結論?
“折正三角形的同學,大聲地告訴老師,你折了幾條?”
“三條。”
“正方形呢?(四條)六邊形呢?(六條)八邊形(八條)”
“正n邊形都是軸對稱圖形,有n條對稱軸。”
“把你手中的正n邊形旋轉180°,你又有何發現?”
“有些能和原圖重合,有些不能。”
“那哪些能,哪些不能,你們能總結一下嗎?”
“奇數邊的不能和原圖重合,偶數邊的可以和原圖重合。”
“旋轉180°后和原圖能重合的叫什么圖形?”
“中心對稱圖形。”
n為偶數的正n邊形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形
n為奇數的正n邊形僅是軸對稱圖形
與角有關的計算
“觀察每個正n邊形角的個數,你能推出每個內角、每個外角的度數嗎?說給組內成員聽一聽。”
“利用多邊形的內角和除以個數就可以知道每個內角的度數,因為正n邊形每個內角相等。”
每個內角=
“那每個外角呢?”
1:“用180°—每個內角”
“還有其他簡便點的嗎?,既然求每個內角用到了多邊形的內角和,那求每個外角就可以用……”
“外角和”
2:“每個外角=
請生用筆作出正n邊形的中心(即對稱軸的交點)并作出所有半徑,有何發現?
抽生演示,得出:正n邊形被n條半徑分成了n個全等的等腰三角形
“正n邊形有n條半徑,那有多少個中心角呢?每個中心角多少度?”
“n個中心角,
“所以以后你想要作正幾邊形就可以把360°幾等分;并且我們還知道了,中心角=外角=
(二)運用:
(1)正八邊形的每個內角是______度.
(2)一個中心角等于36°的正多邊形的邊數為__________;
一個外角等于30°的正多邊形的邊數為__________.
(3)如圖,正六邊形ABCDEF內接于⊙O,則∠CFD的度數是( )
A. 60 B. 45° C. 30° D. 22.5°
6、與邊有關的計算
(一)推導
師:“剛才是角的關系,接下來我們來看邊的關系。
圖中有圓的什么定理?”
生:“垂徑定理”
師:“即 我們的計算往往是在(生答:直角)三角形中進行,所以我們連接OC,作出半徑,就構造了直角三角形,得出數量關
系(生答:OM2+CM2=OC2)設正多邊形的邊長為a,半徑為r,邊心距為d,則有
生答:
師:“那你知道∠COM=?
生:“30°”
師:“為什么呢?”
生:“因為圖中的中心角60°,等腰三角形三線合一,所以∠ COM等于60°的一半。”
師:“那其他的正n邊形這樣的角等于多少度呢?有一般性嗎?請敘述理由”
生:“中心角 ,那這個角就是它的一半, ”
師:“有了這個角,如果還是30°、45°、60°的特殊度數的角,在直角三角形中的計算就更加方便。那如果用a表示正n邊形的邊長, d表示邊心距,如何表示正n邊形的周長和面積呢?小組交流”
生匯報:①正n邊形有n條邊,每條邊相等,都為a,所以周長C=na
②(師提示三角形是我們的基本圖形)先求一個三角形的面積,正n邊形里有n個全等的三角形,所以
(二)運用
(1)例題學習:例. 有一個亭子,它的地基是半徑為4 m的正六邊形,求地基的周長和面積(精確到0.1).
師:“運用數學知識解決實際問題,我們往往先建立數學模型,這就是數學建模思想,那數學模型在哪呢?”
生:“正六邊形”
師利用HitePanel Pro軟件里的學科工具迅速拖出正六邊形,請生回 答如何解決問題,說出思路。
生1:“連接OB,作OM⊥BC于M,得到∠ BOM=30°,OB=4,則BM=2,BC=4,即邊長為4,所以周長為4╳6=24m”
生2:“連接OB、OC可以得到△OBC為正三角形,所以邊長等于半徑4,就得出周長四六24m”
師:“對了,這也就解釋了為什么在視頻中老師取一段等于半徑的長度就可以作出正六邊形。那面積呢?”
生3:“要求面積就要先求邊心距OM= ,先求一個三角形的面積,再乘以6”
生4:“也可用周長乘以邊心距,再乘以 ”
(2)課堂練習
①已知正六邊形的邊心距為 ,則它的周長是_____.
②如圖,要擰開一個邊長a=12mm 的六角形螺帽,扳手張
開的開口 d至少為___________mm
③如圖,正六邊形ABCDEF在平面直角坐標系中,以中心為原
點,頂點A,D在x軸上,且OA=4,則點A的坐標為__________ ,
點E的坐標為____________
④邊長為6的正三角形的半徑是________.
抽生答,其中①④數形結合,②建立數學模型,④利用HitePanel
Pro軟件迅速作出正三角形講解
課堂總結
生總結
1:“知道了正n邊形的對稱性,奇數邊的只是軸對稱圖形。”
2:“學會了正n邊形每個內角,外角,中心角,周長,面積的計算。”
3:“我覺得計算中往往要算中心角的一半。”
4:“我了解了數學建模思想。”
教師總結
n邊形的對稱性,明確了正n邊形有n個內角、n個中心角,n條邊,n條半徑,n條邊心距以及它們之間的相互聯系,從而進行正n邊形的相關計算;感受了解決生活中的實際問題可建立數學模型,體現了數學建模思想和數形結合思想;我們甚至還通過視頻學到了利用直尺和圓規作出一些特殊的正多邊形的方法。
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