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視頻標(biāo)簽：菱形的性質(zhì)與判定
所屬欄目：初中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：北師大版初中數(shù)學(xué)九年級上冊《菱形的性質(zhì)與判定》重慶
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北師大版初中數(shù)學(xué)九年級上冊《菱形的性質(zhì)與判定》重慶市珊瑚初級中學(xué)
§1.1 菱形的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用
教材來源：初中九年級《數(shù)學(xué)》（上冊） 北師大2011課標(biāo)版 內(nèi)容來源：第一章 特殊的平行四邊形->1 菱形的性質(zhì)與判定 主 題：菱形的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用 課 時：第3課時（共3課時） 授課對象：九年級學(xué)生
設(shè) 計 者：閔沙，重慶市珊瑚初級中學(xué)校 目標(biāo)確定的依據(jù) 1. 課程標(biāo)準(zhǔn)
探索并證明菱形的性質(zhì)定理：菱形的四條邊相等，對角線垂直；以及它們的判定定理：四邊相等的四邊形是菱形，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形. 2．教材分析
本課時是在學(xué)生理解菱形的概念、菱形與平行四邊形之間的關(guān)系，探索并證明了菱形的性質(zhì)定理及判定定理的基礎(chǔ)上，運(yùn)用菱形的性質(zhì)定理和判定定理解決一些問題，一方面可以鞏固對菱形的性質(zhì)定理與判定定理的理解，另一方面在解決問題的過程中使學(xué)生認(rèn)識性質(zhì)定理與判定定理的區(qū)別，正確應(yīng)用有關(guān)定理. 3. 學(xué)情分析
學(xué)生的知識技能基礎(chǔ)：學(xué)生前兩課時經(jīng)歷了對菱形的性質(zhì)定理及判定定理的探究及驗證過程，理解了菱形的性質(zhì)定理及判定定理；八年級下冊學(xué)習(xí)了平行四邊形的性質(zhì)與判定，能根據(jù)實際問題運(yùn)用性質(zhì)定理和判定定理解決數(shù)學(xué)問題，這些都為本課時學(xué)習(xí)提供了知識技能基礎(chǔ).
學(xué)生的活動經(jīng)驗基礎(chǔ)：學(xué)生在探索圖形性質(zhì)和判定時，經(jīng)歷“觀察—操作—猜想—驗證”等數(shù)學(xué)活動，積累了數(shù)學(xué)的活動經(jīng)驗；在活動過程中，學(xué)生能夠進(jìn)行自主探究并與小組成員合作交流. 4. 學(xué)習(xí)目標(biāo)
（1）經(jīng)歷探索利用對角線長乘積求菱形面積的計算公式，提升探究幾何結(jié)論的能力.
（2）會運(yùn)用菱形的性質(zhì)定理，計算菱形中相關(guān)的線段長度和菱形面積，掌握運(yùn)用菱形性質(zhì)定理解決幾何問題的方法.
（3）通過拼擺紙條、折紙活動，經(jīng)歷“探索—發(fā)現(xiàn)—猜想—證明”的過程，了解制作菱形的方法，感受數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力，合情推理能力與演繹推理能力.
2
教學(xué)重點： 靈活運(yùn)用菱形的性質(zhì)與判定定理進(jìn)行計算或推理. 教學(xué)難點： 通過紙條的拼、折得到菱形，并推理驗證. 5. 學(xué)法分析 自主探究、合作學(xué)習(xí) 6. 教學(xué)資源準(zhǔn)備：
課件、微課、Flash、四張條形紙條、多媒體平臺 7. 教學(xué)過程分析
【第一環(huán)節(jié)】 游戲引入 (播放Flash動畫) 1.如圖1，Rt△ABO的面積是 ；
2.如圖2，將Rt△ABO沿著AO翻折，得到△ABD，則△ABD的面積是 ；
3.如圖3，將△ABD沿著BD翻折，得到四邊形ABCD，則四邊形ABCD的面積是 ；
圖1 圖2 圖3
師：我想知道你是怎么得到四邊形的面積的？（四邊形ABCD面積可以看成4個全等的直角三角形的面積和，或看成上下（左右）兩個全等的三角形的面積和.）
師：剛才翻折的過程中，你發(fā)現(xiàn)了哪些相等的線段？（AO=OC,BO=OD，AB=BC=CD=AD），對角線AC，BD有什么位置關(guān)系？（AC⊥BD）
師：現(xiàn)在，你知道四邊形ABCD是什么圖形嗎？為什么？（菱形；對角線互相垂直平分的四邊形是菱形；四邊相等的四邊形是菱形.）
師：今天我們進(jìn)一步學(xué)習(xí)菱形的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用. 設(shè)計意圖：
1. 通過圖形游戲引入，F(xiàn)lash動畫直觀地將一個直角三角形經(jīng)過兩次翻折得到菱形，體會利用三角形的面積計算菱形的面積，為推導(dǎo)出菱形的面積計算方法做鋪墊.
2. 通過圖形游戲引入，認(rèn)識菱形的軸對稱性，鞏固菱形的兩個判定定理：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，四邊相等的四邊形是菱形.
12
5
BO
A
12
5
B
O
D
A
12
5
CB
O
D
A
3
【第二環(huán)節(jié)】 探索新知 1.推導(dǎo)菱形面積計算公式
師：已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC和BD相交于點O.
問題：你能用含AC,BD的式子表示菱形ABCD的面積嗎？
師：同學(xué)們先獨(dú)立思考，然后分享你的方法.
學(xué)生展示，老師引導(dǎo)，梳理方法，總結(jié)出菱形的面積計算方法：菱形的面積等于其對角線長的乘積的一半. 解法一：
菱形ABCD的面積 = △ABD的面積+△BCD的面積
= 2×△ABD的面積 122BDAO
解法二：
菱形ABCD的面積 = △ABC的面積+△ADC的面積
= 2×△ABC的面積
122ACBO
解法三：菱形ABCD的面積 = 4×Rt△ABO的面積 142OAOB
解法四：
菱形ABCD的面積 = △ABD的面積+△BCD的面積
11
22
BDAOBDOC
12BDAOOC
C
B
OD
A
C
B
O
D
A
12
BDAC122
ACBO1222
OAOB1
2BDAC
122BDAO1
2
ACBD
1
2ACBD
4
結(jié)論：
菱形的面積等于其對角線長的乘積的一半. 2. 知識延伸：
推導(dǎo)對角線互相垂直的四邊形的面積計算方法：對角線互相垂直的四邊形的面積等于其對角線長的乘積的一半.
師：若對角線AC，BD仍然互相垂直，但不互相平分，此時，四邊形ABCD的面積=1
2
AC×BD？試一試. 推導(dǎo)過程： ∵AC⊥BD
∴四邊形ABCD的面積 = △ ABD的面積+△BCD的面積
= 112
2
BDAOBDCO
= 12
BDAOOC
12
BDAC
師：請同學(xué)們把結(jié)論整理在學(xué)案上 結(jié)論：
對角線互相垂直的四邊形的面積等于其對角線長的乘積的一半 .
師：顯然，通過剛才的推理，我們知道求四邊形的面積可以轉(zhuǎn)化為求三角形的面積,這正體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化的思想,將新知識轉(zhuǎn)化為舊知識，將未知轉(zhuǎn)化為已知.同時，在剛才的學(xué)習(xí)過程中，我們先探究了對角線垂直平分的特殊四邊形—菱形的面積計算方法，接著探究了對角線互相垂直的四邊形的面積計算方法，這正是數(shù)學(xué)中探究解決問題常用到的一種方法:從特殊到—般. 3.介紹菱形面積的另一種計算公式：菱形的面積=底×高. 師：菱形是特殊的平行四邊形，那么菱形的面積還可以怎么計算？ 設(shè)計意圖：
1.利用菱形的對角線互相垂直平分的性質(zhì)將菱形轉(zhuǎn)化為三角形，推導(dǎo)出菱形的面積計算方法，即菱形的面積等于其對角線長的乘積的一半，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化和分割圖形求面積的方法.
2.通過知識延伸，了解“對角線互相垂直的四邊形的面積等于其對角線長的乘積的一半”的結(jié)論，掌握從特殊到一般的探究解決問題的方法.
3.通過菱形與平行四邊形的關(guān)系，掌握菱形的面積也可以用底乘高來計算.
OB
D
C
A
5
4.如果學(xué)生在推導(dǎo)菱形面積的公式過程中,用到了上面的解法四，直接利用幾何畫板改變圖形的形狀（保證對角線互相垂直）得到一般結(jié)論. 【第三環(huán)節(jié)】 新知應(yīng)用
例 如圖，四邊形ABCD是邊長為13cm菱形，其中對角線BD長為10cm，則： （1） 對角線AC的長為 cm； （2） 菱形ABCD的面積為 cm2； （3） 菱形ABCD的高DH為 cm .
解：(1)AC=24(cm).（2）S菱形ABCD=120(cm 2
).（3）DH=120
13
(cm ).
設(shè)計意圖：
評價學(xué)生的新知掌握情況—菱形的面積計算方法及運(yùn)用菱形的性質(zhì)解決問題的情況. 【第四環(huán)節(jié)】 實踐操作
師：在前面的學(xué)習(xí)中，我們運(yùn)用菱形的性質(zhì)解決了一些問題.用兩張等寬的紙條,你能制作菱形嗎？ 請看視頻 (播放視頻) 活動一 (教材P8 做一做)
如圖，兩張等寬的紙條交叉重疊在一起，重疊的部分ABCD是菱形嗎？為什么？
師：動手操作，同時思考下面的問題：
(1)四邊形ABCD是平行四邊形嗎？為什么？ （兩張紙條的兩長邊分別平行） (2)題目中的“等寬”怎樣理解？（平行四邊形一組鄰邊上的高相等.） (3)要證明平行四邊形ABCD是菱形，還需要什么條件？（一組鄰邊相等.） 師：組內(nèi)交流,互助釋疑.
要求：小組長組織交流，確定一個記錄人，一個中心發(fā)言人. 師：請小組發(fā)言人分享你們小組的成果,回答上面思考的問題.
學(xué)生展示，老師板書，畫出圖形，寫出“已知”，“求證”，板書其中一種證明過程，PPT給出另一種解題方法的參考答案.
H
BD
C
EA
6
已知：在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AE⊥BC于點E，AF⊥CD于點F, AE=AF . 求證：四邊形ABCD是菱形.
(板書)方法1：證明：∵AB//CD,AD//BC,
∴四邊形ABCD是平行四邊形. ∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴ 平行四邊形=ABCDSBCAECDAF. ∵AE=AF,
∴ BC=CD. ∴平行四邊形ABCD是菱形.
（PPT展示）方法2： 證明：∵AB//CD,AD//BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形. ∴ ∠B= ∠D. ∵AE⊥BC，AF⊥CD ， ∴∠AEB= ∠AFD=90°. 在△ABE和△ADF中
∠B= ∠D
∠AEB= ∠AFD AE=AF
∴△ABE≌△ADF. ∴AB=AD. ∴平行四邊形ABCD是菱形.
證明方法：
方法1：先證四邊形ABCD是平行四邊形，利用菱形面積公式，再得到BC=CD（一組鄰邊相等）； 方法2：先證四邊形ABCD是平行四邊形，再利用AAS證△ABE≌△ADF，得到AB=AD（一組鄰邊相等）； 方法3：如圖，先證四邊形ABCD是平行四邊形，連接AC，利用角平分線的判定定理得到∠1=∠2.又因為AD//BC，得∠DAC=∠1，從而得到∠DAC=∠2，再利用“等角對等邊.”證出AD=DC（一組鄰邊相等）.
F
E
A
D
C
B2
1
F
EA
D
CB
7
活動二 變式演練
師：如果只有一張這樣的紙條，你能用折紙的辦法得到一個菱形嗎？
活動二：如圖，是一張只有一組對邊平行的紙條，你能用折紙的辦法得到一個菱形嗎？(要求：用筆描出折痕和折紙得到的四邊形.)
學(xué)生先動手操作，再合作交流.
要求：小組長組織交流，確定一個記錄人，一個中心發(fā)言人.
師：請小組代表展示折紙的過程，并說明理由. （請同學(xué)演示講解，其他同學(xué)跟著操作.）
方法1：① 如圖1，任意折出一條折痕AC，②如圖2，再次折疊，使折痕兩端點A,C重合，得到△ABO,并折出折痕AB. ③打開紙條，得到四邊形ABCD就是菱形. 理由：對角線互相垂直平分的四邊形是菱形.
圖1 圖2 圖3
方法2：①如圖，任意折出一條折痕AC. ②折出折痕AB，CD. 打開紙條，得到四邊形ABCD就是菱形. 理由：四邊相等的四邊形是菱形.
師：若是任意一張不規(guī)則的紙片，你能用折紙的辦法得到一個菱形嗎？如圖，若是一張銳角三角形紙片ABC, 你能折出一個菱形，使∠A為菱形的一個內(nèi)角嗎？（教材P10 問題解決）作為家庭作業(yè)，同學(xué)們課后繼續(xù)探究.
A
C
O
B
A(C)
O
DBACA
B
C
B(D)A
C
8
設(shè)計意圖：
1. 設(shè)計三個活動，從教材的“做一做”，到變式演練，再回到教材P10的“問題解決”，利用教材提供的
素材，層層遞進(jìn)，運(yùn)用菱形的判定定理解決實際問題.
2. 讓學(xué)生經(jīng)歷“探索—發(fā)現(xiàn)—猜想—證明”的過程，感受數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，
提高自主探究解決問題的能力.
3. 通過活動一，鼓勵學(xué)生一題多證，引導(dǎo)學(xué)生在與他人交流中比較證明方法的異同，提高演繹推理的能
力.
【第五環(huán)節(jié)】 梳理總結(jié) 1. 我學(xué)會了….. 2. 我體會到….. 3. 我還有哪些疑問…… 設(shè)計意圖：
對本節(jié)課所學(xué)新知識和涉及的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行梳理和整理.
【第六環(huán)節(jié)】課后練習(xí)
必做：課本P9 習(xí)題1.3 1,3,4
做一做：任意一張不規(guī)則的紙片,你能用折紙的辦法得到一個菱形嗎？
P10 問題解決
選作：在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為BC的中點，BC＝2AD，EA＝ED＝2，AC與ED相交于點F．當(dāng)AB與AC具有什么位置關(guān)系時，四邊形AECD是菱形？請說明理由，并求出此時菱形AECD的面積．
設(shè)計意圖：
滿足不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上的不同發(fā)展的需要，提供學(xué)生探索、交流的資源．
【第七環(huán)節(jié)】 課堂結(jié)語
“用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界”，努力學(xué)好數(shù)學(xué)！
F
D
A
E
C
B
9
【第八環(huán)節(jié)】 板書設(shè)計
8. 教后反思
（1）本節(jié)課首先用Flash動畫展示一個直角三角形經(jīng)過兩次翻折得到菱形的過程，成功吸引了學(xué)生的
“眼球”.同時，學(xué)生在觀察得到“暗示”：菱形與直角三角形“相關(guān)”，為后續(xù)引導(dǎo)學(xué)生順利推導(dǎo)出菱形的面積計算公式鋪路.
（2）其次，根據(jù)推導(dǎo)菱形面積的計算公式時課堂生成的問題，引導(dǎo)學(xué)生觀察，觸動學(xué)生思考，利用幾何畫板改變圖形的形狀（保證對角線互相垂直）得到一般結(jié)論：對角線互相垂直的四邊形的面積等于其對角線長的乘積的一半.從探究的過程中，掌握從特殊到一般的探究解決問題的方法.鞏固對菱形性質(zhì)定理的理解.提高靈活運(yùn)用菱形性質(zhì)定理解決問題的能力.
（3）最后，設(shè)計了三個學(xué)生操作活動，利用預(yù)先準(zhǔn)備的“紙條”等學(xué)具，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從教材的“做一做”→變式演練→到教材P10的“問題解決”的過程，層層遞進(jìn)，成功運(yùn)用菱形的判定定理解決了實際問題.學(xué)生在經(jīng)歷“探索—發(fā)現(xiàn)—猜想—證明”的過程中，感受了數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，豐富了學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，提高了自主探究解決問題的能力.
總之，F(xiàn)lash和幾何畫板動態(tài)展示，設(shè)計學(xué)生活動、生成問題、解決問題.學(xué)生在主動探尋、交流中提高了演繹推理的能力，并獲得比較深刻的數(shù)學(xué)感悟.本節(jié)課側(cè)重于動手操作，啟發(fā)思維，對幾何證明的規(guī)范書寫訓(xùn)練略顯不足，需在課后作業(yè)中彌補(bǔ).
視頻來源：優(yōu)質(zhì)課網(wǎng) www.jixiangsibao.com
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