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視頻標簽：菱形的性質與判定
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：北師大版初中數學九年級上冊《菱形的性質與判定的綜合應用》陜西省優課
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《菱形的性質與判定的綜合應用》教學設計
一、教材及學情分析
“菱形的性質與判定的綜合應用”是義務教育課程標準教科書《數學》北師大版九年級上冊第一章《特殊的平行四邊形》的第一節《菱形的性質與判定》的第3課時。通過前兩節課的學習，學生已經經歷了對菱形的性質及判定的探究及驗證過程，基本掌握了菱形的各項性質及判別方法，積累了不少關于菱形的探究活動經驗，這些都為本節課的教學打好了基礎。本節課是對菱形性質及判定的鞏固和提升，要求學生能綜合利用菱形性質定理及判定定理解決一些相關的問題。菱形是學生們繼平行四邊形之后學習的第一種更特殊的四邊形，其教學探索過程和活動經驗的積累為進一步學習特殊四邊形矩形、正方形做以鋪墊。 二、教學目標及重難點
1.知識與技能目標：能靈活運用菱形的性質定理、判定定理及面積公式解決一些相關問題。
2.過程與方法目標：經歷菱形性質定理及判定定理的應用過程，在應用中進一步認識性質與判定定理的區別與聯系。體會數形結合、轉化、方程等思想方法。
3.情感與態度目標：在學習過程中感受數學與生活的聯系，增強數學應用意識。通過師生、生生對話交流，培養學生的合作交流能力與數學表達能力。
教學重點：應用菱形性質、判定和面積公式解決相關問題，理解性質與判定的區別與聯系，在直觀演示的基礎上進行理性的思考推理。
教學難點：綜合應用菱形的性質和判定定理，在問題解決的過程中提煉出處理菱形問題一般性的策略和方法，體驗轉化、歸納、綜合和拓展。 三、現代教學手段的應用
現代教學技術應用：交互式白板，電子筆，平板電腦，PPT，幾何畫板。 借助交互式白板的書寫功能標注分析，真正體現思維過程，發展學生的推理能力和探究能力。精心制作PPT，使得傳遞給學生的信息直觀生動、條理清晰，幫助學生理解，提高數學學習興趣。通過平板選取合適的教學素材，推送學生的解答，便于所有學生共同觀察糾錯，提升講評效率效果。通過幾何畫板，動態演示變化過程，幫助學生理解內化，突破教學難點。
四、教學設計流程圖
回顧菱形的性質和判定
菱形的面積
看圖說性質
（基本元素，整體對稱性） 菱形性質的應用
1、面積公式的選擇 2、巧用面積“橋”
綜合應用菱形的性質與判定
幾何直觀 推理判定
綜合應用 嚴格證明
拓展提升：
菱形中的最值問題
3、性質 判定 相輔相成 區別與聯系
1、菱形問題轉化到特殊三角形 2、等面積，方程思想
菱形的計算問題
課后完成“專項練習”，應用提升
菱形背景求線段和最值
菱形中的動態三角形面積最值
升華小結
一般方法策略
復習3條判定定理 （尺規作菱形）
1、巧用性質求線段（周長）.
2、巧用性質求角度 3、巧用性質判形狀 4、巧用對稱、旋轉 變中尋找不變
五、教學過程設計
教學活動
教學 步驟
師生活動
設計意圖
知識 回顧 引入 新課
前兩天我們一起探索了菱形的性質與判定，一起先來回憶一下它的相關性質． 1：請大家看著圖來說。一般我們研究一個四邊
形，是從哪幾個方面來研究它的性質呢？
（1） 微觀：基本元素
（2） 宏觀：整體的對稱性
2：如果我們要判定一個圖形是菱形，我們先要看這個原四邊形是什么形狀 （1）如果原四邊形是平行四邊形，你應該給他加一個什么樣的條件？ （2）如果把這個原四邊形弱化成任意四邊形，還能不能有什么條件來判定它是菱形？ （3）這些增加的條件和菱形的性質有何關系？
3、如果我想讓黑板上的線段AC為菱形的一條對角線，你能否用尺規作圖的方式幫老師畫出這個菱形？
學生表述老師操作，追問作圖依據。
4、我們學習了這么多性質和判定定理，到底它們有何用？用什么？又該怎么用？引入新課。
通過復習回憶菱
形的相關概念性質。為進一步應用性質、
判定做好準備。
讓學生再次體會按照基本元素“邊，角，
對角線”來研究四邊形的性質是我們常用的研究思路。
通過問題串幫助學生理清判定菱形的層次，感悟其與菱形性質的區別與聯系。
判定的簡單應用，使學生獲得成就
感，調動學生的積極性，并呈現我們課堂要研究的基本圖形。
帶著思考學習、感悟，提升課堂效能。
知識 應用 感悟 生活
1、展示一組生活中常見的應用菱形的圖片。動態展示著名設計師兼具藝術與功能性的家具作
品，讓學生感受到菱形的妙用。
2.菱形性質的直接應用
（1）巧用菱形性質求線段（周長） （2）巧用菱形性質求角度。 （3）巧用菱形性質判定形狀。
由學生獨立思考完成，上臺展示講解。 小結提煉：菱形問題 轉化 特殊三角形。
把多邊形的問題轉化為三角形的問題展開研究，是在多邊形學習過程中經常使用的有效方法。
吸引注意力，激發好奇心，使學生感悟
到應用數學可以創
造更美的生活。 菱形不僅圖形很美，應用也非常廣泛。其設計美觀，制作方便，靈活實用。
3道較簡單的菱形問題，既是對菱形性質應用的鞏固，也給了學生展示的舞臺。第3題同時為最后的拓展提升打下伏筆。
不同類型的問題使學生感受到菱形性質應用的多樣性，讓學生更加深入
的掌握相關性質；同時多解歸一，感悟解決菱形問題的一般方法。
知識 活用 菱形 面積
菱形面積巧突破
出示問題，引導學生回顧菱形的面積計算公式：
=ahS菱形；1=mn2S菱形
問題1、如圖，菱形ABCD的周長為8cm，∠ABC
＝ 3∠BAD 。則這個菱形的面積為 。
由于菱形的面積計算方式多樣，引導學生學
會根據題意選擇公式。
問題2、如圖，四邊形ABCD是菱形，
AC=8,DB=6,DH⊥AB于點H，則DH的長為 _____.
在前面的課堂中
我們已推導出了菱
形面積的2個計算公
式。通過具體的問題
引導回顧，為進一步靈活應用做鋪墊。
問題2，引導學生感悟，用兩種方法計算面積，這里面蘊含著
小結提煉：
等量關系，我們可以活用方程思想進行計算，進而求出其一
邊上的高.
通過兩道有關菱形面積練習的思考及講評，使學生體會到菱形面積算法靈活，要學會根據題意合理選擇，同時體會
到面積的“橋梁”作用，巧用等面積法求線段。
綜合 應用 典例 探究
綜合應用菱形性質和判定推理計算
例1、紅絲帶是關注艾滋病防治問題的國際性標志．將寬為1 cm的紅絲帶交叉成60°角重疊在一起(如圖)，請求出重疊四邊形的周長和面
積。
師生共析，鼓勵學生多角度解決問題，展示
自己的方法。
引導學生通過幾何直觀去感知這個圖形可
能是什么形狀？是不是特殊四邊形？進而推證
重疊四邊形是菱形，為進一步計算推理做鋪墊。
通過問題串，著重分析 “寬為1cm”， 促進學
生理解。
例2、已知:如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,AE平分∠BAD,與BC相交于點E,EF//AB,與AD相交于點F. 求證:AE⊥BF
通過兩道例題的師生共析，使學生感受到性質和判定是一對相輔相成的好
兄弟，它們既有區別
又有聯系，在解決問題時，常常需要綜合
使用它們，可以幫助我們巧妙的解決很
多問題。 師生共析后，由
學生自主回答說理，
互相補充，提高數學
說理表達能力，增強
應用菱形性質和判
定的信心。
明確性質雖好用，但未說明不能默認。我們可以通過先判定菱形，獲得更多
師生共析后由學生獨立書寫證明過程，教
師巡場，找出典型作答推送至白板，集體糾錯評析，體會性質與判定的綜合應用。
想證垂直，可以通過判定四邊形ABEF是菱形，這里要用到平行四邊形ABCD性質，最后利
用菱形對角線的性質得到垂直。
小結提煉：證明題六步驟：看已知，巧標注，想定理，抓結論，寫思路，細檢查。
線段和角的條件，為進一步推證計算提供條件。鍛煉學生主
動應用菱形性質和
判定的意識，使學生
不僅做得到，而且想
得到。 學生完成典型例題后及時總結經驗，
幫助學生形成解題
思路，獲得解題策略，突破易錯難點，規范完整作答。
綜合 應用 拓展 提升
菱形中的動態最值問題
問題1、 工人師傅要在主會場的菱形框架內做一個造型PAE,已知菱形框架ABCD的邊長為10，∠ABC=60°，E是AB邊的中點，P是對角線BD上一動點，為了節約材料，要使PA+PE的值最小，則最小值為______ 。
變式1：若∠ABC=45°， E為AB邊上的一個動點，則PA+PE的最小值為？ 變式2：若∠ABC=45°，點E、F分別為AB、AD
邊上的2個動點，則PE+PF的最小值為？
由靜到動，由一動點到雙動點，由特殊到一般，通過幾何畫板動態演示分析推理過程。
問題2、如圖，菱形ABCD中，∠B=60°，邊長為2，點E、F分別是邊AB，AD上的兩個動點。 （1）若∠ECF＝60°，判斷△CEF的形狀。 （2）設△CEF面積為S，求S的取值范圍。 （3）求△AEF面積的最大值。
“將軍飲馬”問題是同學們所熟知的老朋友，放在菱形背景下，新瓶裝舊酒，熟悉的味道，有何新意？
通過分析，讓學生體會到利用菱形的軸對稱性, 可將兩
線段和的最小值問
題轉化為兩點之間的最短距離問題. 除了菱形外, 其他具有軸對稱性的圖形, 如角、正方形等也常是此類問題的載體, 其
解決方法都與此題類似. 在菱形最值等問題中，可用“對稱”
“旋轉”的方法找到
對于第（2）問，由于第（1）問等邊三角形在前面已經證出，加上前一題的經驗，為此鋪好了臺階，從而較輕松的突破了這一難點。學生能獨立分析，表達說理。
對于第（3）問，給學生留出充足的思考時間，獨立思考的基礎上與同伴進行交流討論。
小結提煉：解決這類問題的關鍵是化動為靜，在變中尋找不變。同時靈活運用菱形相關性質解決問題．
相等的線段和相等的角．像這樣將一個問題轉變為一個和它等價的問題，是解
數學題的常用方法。
通過操作幾何畫板直觀展現動點帶動線段變化的過程和三角形旋轉的動畫過程，幫助學生理解實質，充分發揮多媒體課堂的優越性。 課堂 小結 歸納 升化
請同學們談談這堂課有哪些收獲。 教師及時肯定學生的表達。
教師應對本節課，在解題思路和方法策略上進行升華點撥。
學生通過這一環節，體會收獲，增強概括能力，感受求知
帶來的愉悅。 教師呼應開頭問
題，點撥提煉，鞏固本節課的核心研究思路和思想方法，豐富孩子們研究策略和經
驗。
六、教學反思感悟
1、重視在直觀演示的基礎上進行理性的思考推理。
幾何學習離不開圖形，本節課相關問題的呈現都很重視引導學生觀察幾何圖形，直觀猜測，標注分析，進而嚴密推理。給學生充分的思考和表達機會，著力培養學生思考問題和理性表達的能力，提升用數學的眼光觀察世間，用數學的方法分析問題的意識，讓學科素養在數學課堂中落地生長。整個教學設計，讓學生
經歷由易到難，由單一到綜合，由特殊到一般，由靜態到動態的探索過程，通過問題引領、自主思考、小組交流、學生展講、教師點撥，形成較好的解題思路，體驗轉化、歸納、方程、數形結合等重要的數學思想方法。重視學生的反思過程，讓學生在不斷的反思感悟中思維得到升華。
2、重視針對學情，對教材資源進行合理整合。
在前兩節課的教學中教師引導學生通過動手操作、小組合作等方式探究發現了菱形的性質、判定的方式，以及面積周長的算法，并對這些發現進行了嚴格的推理證明。在探究過程中學生積累了不少關于菱形的活動經驗，并能利用性質判定解決一些較簡單的問題，加之平行四邊形的學習經驗，具備了較好的說理表達能力。因此，根據本校學生實際情況對教材進行合理整合，選題類型源于課本又高于課本，有一定梯度。精選例題，并且大多數例題都賦予了實際背景，使學生們感受到數學的實際應用非常廣泛，學會用數學的方式來分析問題。對于典型例題進行了變式訓練，層層遞進，并通過有效追問突破教學難點，起到了較好的效果。
3、重視課堂中對數學思想方法的感悟提煉。
在初中數學課堂中進行數學思想方法的滲透，是將知識轉化為能力的過程，數學思想與方法是數學學科的本質與精髓，對提升學生數學能力具有積極的促進作用。本節課對此進行了整體設計，按題型和難易大體分為四個模塊，在每一模塊的具體問題中，教師都通過點評學生作答，引導學生感悟其作答的精妙之處，并在每一模塊之后進行整體的方法提煉，如何聯系菱形的性質和判定，運用了怎樣的思想方法，幫助學生學會通法，在后面的研究分析中類比遷移。
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