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視頻標(biāo)簽：中考專項復(fù)習(xí),銳角三角函數(shù)應(yīng)用

所屬欄目：初中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：北師大版九年級下學(xué)期中考專項復(fù)習(xí)“銳角三角函數(shù)應(yīng)用”遼寧省 - 錦州

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《三角函數(shù)的應(yīng)用》 
教學(xué)設(shè)計 
一、內(nèi)容和內(nèi)容解析 1.內(nèi)容 
北師大版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗教科書·數(shù)學(xué)》九年級下學(xué)期中考專項復(fù)習(xí)—“銳角三角函數(shù)應(yīng)用”. 
2.內(nèi)容解析 
“銳角三角函數(shù)”是《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗稿）》中“空間與圖形”領(lǐng)域的重要內(nèi)容，初中階段主要研究銳角三角函數(shù)、解直角三角形及運(yùn)用三角函數(shù)解決與直角三角形有關(guān)的實(shí)際問題，其知識結(jié)構(gòu)如圖1所示,它是高中數(shù)學(xué)三角學(xué)的基礎(chǔ),起著承上啟下的作用，因此這部分也是中考必考內(nèi)容，在中考復(fù)習(xí)中必須給予重視.這其中，銳角三角函數(shù)應(yīng)用是中考命題的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，“不上高山，能測山高；不下湖泊，能量河寬”正是三角函數(shù)應(yīng)用的獨(dú)特魅力所在，通常以應(yīng)用題的形式出現(xiàn)，命題背景與生活密切聯(lián)系，主要涉及測量、航空、航海、工程等方面，是運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的一類典型問題.這類問題在考查三角函數(shù)基礎(chǔ)知識的同時對學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型有了更高的要求，解決問題的關(guān)鍵是要善于從復(fù)雜的圖形中識別和構(gòu)造出基本圖形，把錯綜復(fù)雜的問題簡化，抽象為合理的數(shù)學(xué)模型的過程.因此，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：從實(shí)際問題中抽象出基本圖形，掌握并靈活應(yīng)用各種數(shù)學(xué)關(guān)系解直角三角形. 通過學(xué)習(xí)，學(xué)生進(jìn)一步把形和數(shù)結(jié)合起來，提高分析問題和解決問題的能力.另外，在建立數(shù)學(xué)模型過程中，會更有利于發(fā)揮學(xué)生的主動性和創(chuàng)造性，把學(xué)知識、用知識、探索發(fā)現(xiàn)有機(jī)地結(jié)合起來.  
       
 圖1 
二、目標(biāo)和目標(biāo)解析 
1. 目標(biāo) 
（1）掌握并靈活應(yīng)用直角三角形邊角關(guān)系和勾股定理解直角三角形.  （2）經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出數(shù)學(xué)基本圖形和數(shù)學(xué)關(guān)系的過程，感受“模型、抽象”的基本思想在銳角三角函數(shù)中的應(yīng)用，積累數(shù)學(xué)建模的經(jīng)驗. 
（3）經(jīng)歷觀察、討論等數(shù)學(xué)活動過程，發(fā)展合情推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點(diǎn). 
 
                    
             
                    
                             
（4）在解決具體問題過程中，體會數(shù)與形之間的聯(lián)系，感悟數(shù)學(xué)思想，積累解這類問題的經(jīng)驗，發(fā)展應(yīng)用意識和解決問題的能力. 
2.目標(biāo)解析 
目標(biāo)（1）解決三角函數(shù)實(shí)際問題時要運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想方法，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而找出要解的直角三角形（對于非直角三角形問題，需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線將其轉(zhuǎn)化為直角三角形問題），然后根據(jù)銳角三角函數(shù)，選擇合適的關(guān)系，解出所求的未知數(shù)的值，因此掌握并靈活應(yīng)用各種關(guān)系解直角三角形是銳角三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用的解題工具和基礎(chǔ)，為本節(jié)課的目標(biāo)． 
目標(biāo)（2）《課程標(biāo)準(zhǔn)》對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的總體目標(biāo)規(guī)定“獲得適應(yīng)未來社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)知識”.本節(jié)通過對實(shí)際問題的討論，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識，讓其經(jīng)歷從實(shí)際問題中抽象出兩類基本圖形和數(shù)學(xué)關(guān)系的過程，引導(dǎo)學(xué)生感受當(dāng)兩個目標(biāo)直角三角形都不可解時，用方程思想來解決,會產(chǎn)生柳暗花明之效.體驗運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的同時，滲透“數(shù)學(xué)建模”的思想. 
目標(biāo)（3）“動手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式”.給學(xué)生自主探索的時間，讓學(xué)生在觀察、討論等數(shù)學(xué)活動過程中，發(fā)展合情推理能力；給學(xué)生寬松和諧的氛圍，讓學(xué)生在探索知識的過程中，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點(diǎn)，學(xué)得更主動、更輕松，這樣不僅激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性、主動性，還培養(yǎng)了其探索能力、創(chuàng)新精神、合作精神. 
目標(biāo)（4）數(shù)學(xué)思想方法是從數(shù)學(xué)內(nèi)容中提煉出來的數(shù)學(xué)知識的精髓,是將知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁.數(shù)學(xué)思想方法的滲透使學(xué)生的思維能力發(fā)展先于知識能力，從而促進(jìn)學(xué)生分析問題、解決問題能力的提高，應(yīng)用意識的發(fā)展. 銳角三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用中蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想方法，如轉(zhuǎn)化、方程、建模、數(shù)形結(jié)合等.在解決具體問題的過程中讓學(xué)生去歸納總結(jié)數(shù)學(xué)方法，從而深化成數(shù)學(xué)思想，是一種有效的教學(xué)手段.因此以經(jīng)典范例為載體，逐漸滲透數(shù)學(xué)思想方法為本節(jié)課教學(xué)目標(biāo). 
三、教學(xué)預(yù)測診斷分析 
在知識層面上，九年級學(xué)生已經(jīng)牢固掌握了勾股定理，三角形相似，也已經(jīng)學(xué)習(xí)過銳角三角函數(shù)、特殊角度的三角函數(shù)值，并且掌握了直角三角形中各邊和各角的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上，解直角三角形難度并不大，但在深入研究幾何圖形的基礎(chǔ)上，根據(jù)已知條件，靈活恰當(dāng)?shù)剡x擇直角三角形邊角之間的關(guān)系，要達(dá)到熟練運(yùn)用的程度還有一定困難.  
在心理層面上，九年級學(xué)生經(jīng)過近三年的初中學(xué)習(xí)和生活，邏輯思維從經(jīng)驗型逐步向理論型發(fā)展，觀察能力，記憶能力和想象能力也隨著迅速發(fā)展，他們思維活躍，有較強(qiáng)的接受能力和推理能力，同時還具備一定的數(shù)學(xué)探究活動經(jīng)驗和應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識.但學(xué)生抽象概括能力有限，綜合運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，同時把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題以及將實(shí)物圖形抽象為幾何圖形的能力有待提高，因此需要通過觀察、思考、交流，進(jìn)一步體會“航海”、“物體測量”等實(shí)際問題與銳角三角函數(shù)之間的聯(lián)系，感悟數(shù)學(xué)思想、積累解題經(jīng)驗，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)和合作交流的能力. 
基于以上分析，本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：從實(shí)際問題中抽象出基本圖形，掌握并靈活應(yīng)用各種數(shù)學(xué)關(guān)系解直角三角形. 
四、教學(xué)支持條件分析 
 
                    
             
                    
                             
B分校C家
A主校MN
（1）學(xué)習(xí)工具單的使用避免了“老師講學(xué)生聽”滿堂灌的學(xué)習(xí)，使學(xué)生有了一個思維空間，學(xué)習(xí)效率更高，以問題形式呈現(xiàn)給學(xué)生，給了學(xué)生一個路標(biāo)，讓學(xué)生知道學(xué)習(xí)的方向在哪里，帶著問題去學(xué)習(xí)，去思考，自己解決，品嘗到了學(xué)習(xí)的快樂. 
（2）在設(shè)計并應(yīng)用PPT課件整合教學(xué)資源的同時，運(yùn)用幾何畫板幫助學(xué)生直觀理解三角函數(shù)應(yīng)用的基本圖形之間的關(guān)系. 
（3）各小組用答題版展示學(xué)習(xí)成果，這樣便于各小組之間的交流，也能直接觀察到學(xué)生解決問題時出現(xiàn)的亮點(diǎn)和錯誤，有助于教師了解學(xué)生的學(xué)情；這種集體展示形式極大地調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動性，增強(qiáng)了學(xué)生的集體榮譽(yù)感，同時還鍛煉了學(xué)生的心理承受能力，提高了思維能力，起到了榜樣示范的作用. 
（4）本節(jié)課以典型范例為載體，按照啟發(fā)、吸收、消化和發(fā)展的認(rèn)識規(guī)律進(jìn)行總體策劃，分階段、有步驟地滲透數(shù)學(xué)思想方法，在解題過程中，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)思想方法對發(fā)現(xiàn)解題途徑的定向、聯(lián)想和轉(zhuǎn)化功能，舉一反三，觸類旁通. 
（5）為了充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，讓學(xué)生通過小組交流討論，大膽地發(fā)表意見，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.學(xué)生自己能構(gòu)造實(shí)際問題中的直角三角形，并注重運(yùn)用方程思想通過解直角三角形來解決實(shí)際問題，是一個質(zhì)的飛躍. 
五、教學(xué)過程設(shè)計 1．提出問題，引出課題 
老師有一個問題想請同學(xué)們幫忙解決 
引例：八中分校和老師家都位于東湖的堤壩線MN上，它們相距2000m，主校、分校及老師家構(gòu)成了一個三角形ABC，測得∠ACB約為30°，∠ABM約為60°，我想知道主校到東湖堤壩線MN的距離是多少？ 
追問：你想用什么知識解決這一問題？       師生活動：教師提出問題，引導(dǎo)學(xué)生抽象出數(shù)學(xué)圖形，運(yùn)用啟發(fā)式追問讓學(xué)生積極思考后引出課題. 
【設(shè)計意圖】注重學(xué)生的心理歷程，利用與生活實(shí)際有關(guān)的具體情境，搭起數(shù)學(xué)與實(shí)際問題的橋梁，讓學(xué)生體驗由生活情境抽象出數(shù)學(xué)問題，感受數(shù)學(xué)建模思想的運(yùn)用，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力. 
2.課前整理，復(fù)習(xí)回顧 
問題1：三角函數(shù)有什么作用？（求線段長或求角度） 問題2：你還學(xué)過哪些求線段長的方法？ 追問：哪種方法更簡便？ 
問題3：在解決問題的過程中，你發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)的應(yīng)用有哪些類型？  師生活動：在教師的引導(dǎo)下學(xué)生積極思考回答.總結(jié)求線段長度常用的基本方法（勾股定理、相似、三角函數(shù)），發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)應(yīng)用的常見類型. 
【設(shè)計意圖】通過學(xué)習(xí)工具單上的課前練習(xí)和本環(huán)節(jié)層層遞進(jìn)的問題串，首
 
                    
             
                    
                             
先使學(xué)生進(jìn)一步感受到三角函數(shù)是求線段長度的有利工具，在原有求線段長度的經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步深化理解三角函數(shù)方法的簡便性，并從中總結(jié)出三角函數(shù)應(yīng)用的類型（即①只在一個直角三角形模型中應(yīng)用三角函數(shù)②兩個及兩個以上直角三角形模型中應(yīng)用三角函數(shù)）.為下面歸納、抽象出兩個基本圖形做好鋪墊. 
問題4：在一個直角三角形中應(yīng)用三角函數(shù)需要滿足什么條件？其解題策略是什么？ 
問題5：通常在應(yīng)用三角函數(shù)解決實(shí)際問題時已知條件常為斜三角形，我們應(yīng)該如何應(yīng)對？ 
問題6：如圖所示的斜三角形如何作高轉(zhuǎn)化為直角三角形？你有幾種方法？ 問題7：這兩個基本圖形有什么聯(lián)系？ 師生活動：通過學(xué)習(xí)工具單學(xué)生已經(jīng)在課前進(jìn)行了討論復(fù)習(xí)，明確了確定直角三角形的條件和解題策略（有斜用弦、無斜用切、寧乘毋除、取原避中），對于斜三角形也有運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想化斜為直的意識，教師運(yùn)用幾何畫板通過讓學(xué)生對斜三角形作高引出兩個重要基本圖形，并引導(dǎo)學(xué)生初步感知兩者的聯(lián)系. 
【設(shè)計意圖】再次通過問題串啟迪學(xué)生思維，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)應(yīng)用中的兩個重要基本圖形并形成感性認(rèn)識，為下面小組合作探究環(huán)節(jié)形成對兩個基本圖形的理性認(rèn)識奠定基礎(chǔ). 
3.合作交流，探求新知 
活動一：小組合作、探究策略 
探究分別在這幾種情況下當(dāng)a為已知量時，如何求x的值，從中你總結(jié)出了哪些解題策略?       
  
師生活動：學(xué)生先獨(dú)立思考然后分組進(jìn)行交流、歸納，達(dá)成共識后，各組將自己的主答題寫在本組答題板上，所有學(xué)習(xí)小組完成后，每組選一名代表展示主講，其他組對比、評價后，教師引導(dǎo)學(xué)生歸納出兩類基本圖形的三種題型： 
① 兩個直角三角形均（直接）可解 
② 一個直角三角形（直接）可解從而另一個可解 ③ 兩個直角三角形均不（直接）可解 【設(shè)計意圖】課前給學(xué)生自主探索的時間，課上通過小組合作交流給學(xué)生寬松和諧的氛圍，不僅培養(yǎng)了學(xué)生對數(shù)學(xué)語言的表達(dá)能力和概括能力，同時也充分挖掘了學(xué)生的潛能，發(fā)展了合作探究能力.此環(huán)節(jié)突出了本節(jié)課的重點(diǎn)，學(xué)生在深入研究幾何圖形的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提高了根據(jù)已知條件，靈活恰當(dāng)?shù)剡x擇直角三角形邊角之間的關(guān)系解決問題的能力，在比較和體會各圖形求解方法之間的差
 
                    
             
                    
                             
異與共性的同時，也感受到方程思想在解決三角函數(shù)實(shí)際問題中的作用，這個環(huán)節(jié)為突破本節(jié)課的難點(diǎn)作好了鋪墊.  
活動二：例題板演、規(guī)范書寫 
幫助老師解決課前提出的實(shí)際問題. 師生活動：師生共同分析，教師板演. 
【設(shè)計意圖】培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，同時滲透數(shù)形結(jié)合的思想，讓學(xué)生明確三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用的步驟及解題過程. 
本環(huán)節(jié)設(shè)定在上一環(huán)節(jié)之后，旨在對基本圖形深入分析的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)建模思想從表象認(rèn)識逐步上升為本質(zhì)認(rèn)識，有了再認(rèn)識，學(xué)生在解決后面實(shí)際問題時，就會潛移默化應(yīng)用建模和數(shù)形結(jié)合思想以及歸納的解題策略去解決問題，這樣學(xué)生就能用積累建立圖形與解直角三角形的經(jīng)驗去深入研究后續(xù)的問題，學(xué)會抓住事物的本質(zhì)屬性，逐步形成能力.  
活動三：圖形變換、化斜為直 
    典例1：如圖，三沙市一艘海監(jiān)船某天在黃巖島P附近海域由南向北巡航，某一時刻航行到A處，測得該島在北偏東30°方向，海監(jiān)船以20海里/時的速度繼續(xù)航行，2小時后到達(dá)B處，測得該島在北偏東75°方向，求此時海監(jiān)船與黃巖島P的距離BP的長．（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，結(jié)果精確到0.1）.(2015錦
州)       
師生活動：學(xué)生獨(dú)立思考后，交流解題方法，教師引導(dǎo)辨析總結(jié). 
【設(shè)計意圖】初看此題，從圖形、條件到問題給人的感覺和上一道例題屬于一個類型，仔細(xì)思考發(fā)現(xiàn)，由于特殊條件的限制，過點(diǎn)P作垂線段的方法不可行，但本質(zhì)上有相通之處，稍加點(diǎn)撥，學(xué)生找到了解題方法.此環(huán)節(jié)意在讓學(xué)生學(xué)會多方法、多角度分析解決問題，突破教學(xué)難點(diǎn)，體會基本圖形之間的變化聯(lián)系和數(shù)學(xué)知識的辯證統(tǒng)一. 
活動四：圖形變換、活學(xué)活用 
    典例2：某大橋采用低塔斜拉橋橋型（圖甲）， 圖乙是從圖甲引申出的平面圖，假設(shè)你站在橋上測得拉索AB與水平橋面的夾角是30°，拉索CD與水平橋面的夾角是60°，  
兩拉索頂端的距離BC為2米，兩拉索底端距離AD為20米，求 立柱BH的高度.(結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，3≈1.732) (2017錦州一模)第21題  
     
 
                    
             
                    
                             
 
師生活動：此題由于是同年模考題，且得分率較低，學(xué)生印象深刻，因此師生共同分析完成. 
共同歸納出結(jié)論：解直角三角形的關(guān)鍵是找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形，當(dāng)圖形中沒有直角三角形時，要通過作輔助線構(gòu)造直角三角形（作某邊上的高是常用的輔助線）；當(dāng)問題以一個實(shí)際問題的形式給出時，要善于讀懂題意，把實(shí)際問題化歸為直角三角形中的邊角關(guān)系. 
常見的解直角三角形的典型變式圖形有以下幾種：      
【設(shè)計意圖】精選習(xí)題，讓學(xué)生再次體會方程的思想在解三角函數(shù)實(shí)際問題中的巧妙應(yīng)用，培養(yǎng)舉一反三能力，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類歸納的同時，不斷提高其分析問題、解決問題的能力，通過解決同類題中的本質(zhì)問題，總結(jié)出這類題的解題方法和規(guī)律，從而達(dá)到觸類旁通的目的,進(jìn)一步突破了難點(diǎn). 
4.發(fā)展思維，應(yīng)用拓展 
典例3：如圖，大樓AN上懸掛一條幅AB，小穎在坡面D處測得條幅頂部A的仰角為30°，沿坡面向下走到坡腳E處，然后向大樓方向繼續(xù)行走10米來到C處，測得條幅的底部B的仰角為45°，此時小穎距大樓底端N處20米．已知坡面DE=20米，山坡的坡度i=1：3（即tan∠DEM=1：3 ），且D、M、E、C、N、B、A在同一平面內(nèi)，E、C、N在同一條直線上，求條幅的長度（結(jié)果精確到1米）（參考數(shù)據(jù)：3≈1.73， 2 ≈1.41）(2015鐵嶺)          
師生活動：本題為上一題的變式，學(xué)生獨(dú)立思考，在圖中添加適當(dāng)?shù)妮o助線，將非直角問題轉(zhuǎn)化為三個直角三角形中元素之間的關(guān)系. 
【設(shè)計意圖】檢驗學(xué)生對本節(jié)知識的掌握情況以及對教學(xué)難點(diǎn)的理解程度. 學(xué)生自己能夠根據(jù)題意構(gòu)造實(shí)際問題中的直角三角形，并選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨�角形來解決實(shí)際問題，這是思維的一個質(zhì)的飛躍. 
5.歸納小結(jié),內(nèi)化升華 
通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)你能從知識內(nèi)容、解題策略、思想方法等方面談?wù)勈斋@嗎？ 
師生總結(jié)：了解幾何模型之間圖形變換關(guān)系，有助于更有效的理解題意從而建立模型.   
 
                    
             
                    
                             
          
     
（教師結(jié)束語） 【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生梳理本節(jié)課在知識和數(shù)學(xué)思想方法等方面的收獲，形成知識網(wǎng)絡(luò)，提升對數(shù)學(xué)思想方法的理性認(rèn)識.在培養(yǎng)學(xué)生及時總結(jié)，將知識內(nèi)化、升華的同時，也讓學(xué)生體驗收獲知識的快樂和敢于展示自我自信的學(xué)習(xí)品質(zhì). 
6板書設(shè)計                
【設(shè)計意圖】思維導(dǎo)圖式板書是課堂教學(xué)引人入勝的“導(dǎo)游圖”，首先可以直觀形象地展示思維過程、凸顯重點(diǎn)和難點(diǎn)、體現(xiàn)教學(xué)意圖，提高課堂教學(xué)效率，增強(qiáng)教學(xué)效果，能更有效的實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)目標(biāo)；其次，思維導(dǎo)圖的呈現(xiàn)方式可以刺激學(xué)生的多種感官，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣點(diǎn)，即調(diào)動了左腦的邏輯思維，又能激發(fā)右腦的豐富想象力和創(chuàng)造力，有利于啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維和創(chuàng)新思維；此外，這樣的板書有助于學(xué)生建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)，把握知識之間的內(nèi)容聯(lián)系和數(shù)學(xué)的本質(zhì).

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