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視頻標簽：黃金矩形
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：初中數學人教版八年級下冊第十八章黃金矩形-湖北
教學設計、課堂實錄及教案：初中數學人教版八年級下冊第十八章黃金矩形-湖北省 - 宜昌
黃金矩形
一、教學目標
1.了解黃金矩形，通過折疊黃金矩形活動，加深對黃金矩形的認識
2.通過觀察、推理、交流、反思等數學活動培養學生發現、分析、解決問題的能力，積累數學活動經驗。
3.學生通過主動參與、積極思考、合作交流體會黃金矩形的文化價值，感悟到 “數學美” 。
二、學情分析
對于八年級下學期學生而言，很樂于折紙這樣的數學活動，他們具有較強的動手操作能力．邏輯思維能力也有了很大的提升，演繹推理的意識與能力也趨于成熟，但是，對于較復雜操作的數學活動，還是缺乏理性思考的意識． 三、重點難點
重點：認識黃金矩形，發現生活中數學的美，用矩形紙片折疊黃金矩形，在動手過程中培養學生思考探究的習慣,養成合作交流意識.
難點：用矩形紙片折疊黃金矩形折法的探究過程 四、教學過程設計
(一)發現美
師：上課！同學們好！ 生:老師好! 師:大家愛美女嗎? 生:愛!
師:愛美之心,人皆有之.在本節數學之旅開啟之前,讓我們來欣賞一張美女的臉. 課件展示圖片。提問：她美嗎？
生：美！
設計意圖:通過圖片展示,讓學生初步發現生活中的美,激發學生的興趣. （二）探索美
師：接下來老師要變個小魔術。以發際線到下顎的連線為線段AC，連接兩眼的線段與
2
AC交于點B�，F在老師移動B點的位置，就是見證奇跡的時刻。
移動B點，學生評價。追問，請同學們說一說當點B移動過程中，ABBC與C
AB
A的比和這張臉的顏值有什么關系？
生：當
ABBC與C
AB
A的比接近時，她的顏值高。 師：那B點在那個位置時顏值最高？ 生：當
ABBC=C
AB
A時！ 設計意圖：利用幾何畫板，感受當點B在線段AC上的位置使得ABBC=C
AB
A時才能引起視覺的美感，為引出黃金分割概念做鋪墊。
師：我們把這個能引起美感的規律叫做黃金分割。點B把線段AC分成兩部分,如果
ABBC=C
AB
A，那么稱線段AC被點B黃金分割,點B為線段AC的黃金分割點,這個比叫做黃金比。數學家們算出了準確的黃金比是
2
1
-5，其實等大家到九年級學習一元二次方程后也能計算出這個比值。有時候我們也取黃金比的近似值0.618。
現在我們以較長線段AB為長，較短線段BC為寬，構造矩形ABCD，此時這個矩形寬與長的比是
2
1
-5（約為0.618），我們把這樣的矩形叫做黃金矩形。 設計意圖：通過黃金分割的定義引出黃金矩形的定義，讓學生知道黃金矩形的由來。 （三）欣賞美
師：黃金矩形在我們日常生活中無處不在，讓我們一起欣賞欣賞生活中的黃金矩形。 播放“黃金矩形的應用美”微課。
師：你能發現生活中還有哪些黃金矩形嗎？請同學們測量一下身邊的物品，找找黃金矩形或者近似的黃金矩形？
生：我們的練習本寬長比是0.71，不是黃金矩形。 生：便箋紙近似為黃金矩形。
生：學生卡寬長比是0.621，近似為黃金矩形。
設計意圖：讓學生感受黃金矩形在建筑、藝術、生活中的應用，體會生活中處處都有數學的美。
（四）創造美
3
師：同學們看一看，老師手中的矩形紙片是黃金矩形嗎？ 生：不是。
師：大家能不能通過折疊這張矩形紙片，得到一個黃金矩形呢？ 請同學們翻開教材P65頁，按課件要求，分小組完成折疊活動。 （學生動手折疊）
師：我發現ＸＸ同學遇到了困難，ＸＸ，請說出你覺得困難的地方，我們一塊想想辦法。 生：我覺得對角線AB不好折，總是歪的。 師：有沒有同學能幫助他想個辦法？
生：可以直接連接兩個頂點，畫出對角線AB。 師：這個方法好�。兀啬銓W會了嗎？ 生：學會了！
師：還有沒有同學有其它困難？
生：AB折到AD不是很明白，到底是怎么折的看不懂。 師：哪位同學有解決辦法？
生：我們可以像剛才XX說的一樣把AB畫出來，折疊時使得對角線AB和射線AC重合，點B重合的點做上記號，記為點D，就折出AD了。相當于折疊角MAD的角平分線。
師：請你向同學們演示一遍你是怎么折出黃金矩形的。 （學生演示）
師：（鼓掌）這位同學的演示非常詳細，下面老師用動圖再演示一遍。請同學們一邊跟著折，一邊思考每一步的幾何原理是什么？
師：第一步，折一個正方形，這樣能折成正方形用了正方形的哪條判定定理？ 生：一組鄰邊相等的矩形是正方形。
師：第二步，將這個正方形對折，將它二等分。此時兩個小矩形的寬是原來正方形邊長的二分之一，那么小矩形的寬是矩形長的？
生：二分之一。
第三步，折出內側矩形的對角線AB，此時同學們可以用XX的小技巧將AB畫出來。接著把AB折到與下面的長邊重合處，將點B所落的點做上記號，記為點D。這樣折AB和AD有什么關系？
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生：相等
師：第四步，展平紙片，按照所得的點D折出DE，就得到了矩形BCDE．這一步的判定定理是什么？
生：三個角為90度的四邊形是矩形。
師：大家折好了嗎？ 請將你折好的矩形舉起來向老師和周圍的同學展示一下。 生：（齊聲）折好了。展示所折矩形。
師：真棒！我們按照書上的步驟折出來了矩形BCDE，它到底是不是一個黃金矩形？你能不能用所學的數學知識驗證它是一個黃金矩形？請同學們觀察圖形。
師：（1）若正方形MNCB的邊長是2，則BC= 2 ,AC= 1 ,AB= ，AD= ,CD= ， 則 =
，即矩形BCDE的寬比長的比值為 ，所以矩形BCDE是黃金矩形。
（2）若正方形MNCB的邊長不是一個特殊值2，而是2a。 你還能判斷矩形BCDE是黃金矩形嗎？
則BC= 2a ,AC= a ,AB=
，AD= ,CD= ， 則 =_ 所以 = ，即矩形BCDE的寬和長的比值為
所以矩形BCDE是黃金矩形。
師：通過剛才的折疊過程，我們發現給你任意的一張長方形紙條，都能折疊出一個黃金矩形。
（3）請大家再來看這張圖片，除了矩形BCDE外，還有其它的黃金矩形嗎?請同學們以小組為單位觀察，猜想。
生：矩形MNDE是黃金矩形。 師：為什么？
生：它的寬長比 。 師：這并不是黃金比。
生：我們可以通過分母有理化，將它化簡為 ，從而證明矩形MNDE是黃金矩形。
師：非常好！我們再次觀察這個圖形。矩形MNDE是黃金矩形，矩形BCDE是黃金矩形BCDE，四邊形MNCB是正方形，三個圖形有什么聯系？
BC
CD552
1-52
1
-5a5a
5a）（1-5BCCD2
1-52
1-51-51
52NDMN
2
1-5NDMN
5
生：黃金矩形MNDE截去一個正方形MNCB，得到了黃金矩形BCDE。
師：如果在黃金矩形BCDE上截去一個以寬為邊長的正方形，是不是也能得到一個新的黃金矩形？
生：（齊聲）是。
師：（利用動圖演示）以此類推，不斷截去新的以寬為邊長的正方形，就可以不斷得到新的？
生：（齊聲）黃金矩形！
師：由此我們得到黃金矩形的一個特點：以一個黃金矩形的寬為邊長截去一個正方形后,剩下的矩形還是黃金矩形。
設計意圖：引導學生動手操作，解釋每一步折法的目的，突破難點。從幾何證明的角度理解折法的意義，經歷從特殊到一般的說理過程，證明折疊的正確性。通過師生共同探討，得出黃金矩形的另一個特點，加深對黃金矩形的了解。
（五）收獲美
師：本節課，（１）我們學習了什么基礎知識？ 生：黃金矩形！ 師：什么叫黃金矩形？
生：寬和長的比是 的矩形是黃金矩形。
師：（２）在認識黃金矩形的過程中，用到了哪些數學方法？ 生：觀察、測量、計算、折疊、驗證。 師：（3)在驗證過程中,體現了什么數學思想?
生：從特殊到一般。
師：（4）請你利用折疊的黃金矩形制作一張書簽或者卡片，比比誰的設計更有美感。 設計意圖:從知識與技能，過程與方法，數學思想的方面對本節課進行回顧和小結，幫助學生養成善于思考的習慣。通過利用折疊的黃金矩形制作書簽或者卡片，學以致用，感受數學來源于生活又應用于生活。
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