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視頻標(biāo)簽：橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程
所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：人教A版高中選修2-1第二章《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》四川省巴中
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人教A版高中選修2-1第二章《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》四川省巴中
橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（第一課時(shí)）教案 一、教學(xué)目標(biāo)： 1．知識(shí)與技能目標(biāo)： （1）掌握橢圓定義和標(biāo)準(zhǔn)方程. （2）能用橢圓的定義解決一些簡單的問題. 2．過程與方法目標(biāo)： （1）通過橢圓定義的歸納和標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律、認(rèn)識(shí)規(guī) 律并利用規(guī)律解決實(shí)際問題的能力. （2）在橢圓定義的獲得和其標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程中進(jìn)一步滲透數(shù)形結(jié)合等 數(shù)學(xué)思想和方法. 3．情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)： （1）通過橢圓定義的歸納過程獲得培養(yǎng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)的興趣. （2）通過標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)培養(yǎng)學(xué)生求簡意識(shí)并能懂得欣賞數(shù)學(xué)的“簡潔美”. （3）通過師生、生生的合作學(xué)習(xí)，增強(qiáng)學(xué)生團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力的培養(yǎng)，增強(qiáng)主 動(dòng)與他人合作交流的意識(shí). 二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)： 1．重點(diǎn)：橢圓定義的歸納及其標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo). 2．難點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo). 三、教材與教法分析 （一）、教材、學(xué)習(xí)者特征分析： 本節(jié)課是圓錐曲線的第一課時(shí)。它是在學(xué)生學(xué)習(xí)了直線和圓的方程的基礎(chǔ)上， 進(jìn)一步學(xué)習(xí)用坐標(biāo)法研究曲線。橢圓的學(xué)習(xí)為后面研究雙曲線、拋物線提供了基 本模式和理論基礎(chǔ)。因此這節(jié)課有承前啟后的作用，是本章和本節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容； 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)過程中，化簡兩個(gè)根式的方程的方法特殊，難度較大，學(xué)生 初次遇到。 （二）、教學(xué)方法和教學(xué)策略分析： 探究式、啟發(fā)式教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與、積極體驗(yàn)、自主探究，形成 師生互動(dòng)的教學(xué)氛圍。以啟發(fā)、引導(dǎo)為主，采用設(shè)疑的形式，逐步讓學(xué)生進(jìn)行探 究性的學(xué)習(xí)。充分利用了青少年學(xué)生富有創(chuàng)造性和好奇心，敢想敢為，對新事物 2 具有濃厚的興趣的特點(diǎn)。讓學(xué)生根據(jù)教學(xué)目標(biāo)的要求和題目中的已知條件，自覺 主動(dòng)地創(chuàng)造性地去分析問題、討論問題、解決問題。 四、教具： 多媒體 細(xì)繩、筆、小紙板 五、教學(xué)過程 一．新課引入 師：同學(xué)們好，今天我們來學(xué)習(xí)橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程，（板書課題）先來看一個(gè) 視頻。（播放視頻） 師：視頻中新一代北斗導(dǎo)航衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是什么形狀的？ 生：橢圓 師:對，其實(shí)很多衛(wèi)星以及天體的運(yùn)行軌道都是橢圓，橢圓在我們?nèi)粘Ｉ钪?也很常見(放 PPT)。橢圓確實(shí)能給人以美感，那么到底怎樣才能準(zhǔn)確畫出橢圓呢？ 請同學(xué)們拿出事先準(zhǔn)備好的紙板和繩子一起來做一個(gè)實(shí)驗(yàn)。 二.嘗試實(shí)驗(yàn)，形成概念 師：請同學(xué)們將繩子的兩端固定在紙板的兩個(gè)定點(diǎn) 1 2 F , F 上，用筆尖把細(xì)繩拉 緊，在紙板上慢慢移動(dòng)看看畫出的圖形是什么？ 師：我們來看一下這一組同學(xué)畫出的圖形（展示圖片），是什么啊？ 生：橢圓 師：對，請同學(xué)們思考：在畫橢圓的過程中，繩子兩端的位置是固定的還是運(yùn)動(dòng) 的？ 生：固定的 師：繩子的長度變了沒有？ 生：沒有？ 師：這說明了什么呢？哪位同學(xué)能說一下？（學(xué)生回答） 生：說明了筆尖（M）到兩定點(diǎn) 1 2 F , F 的距離之和等于繩長，是一個(gè)常數(shù)。 師：非常好，我們把掌聲送給他。請同學(xué)們再思考，在畫橢圓的過程中，繩子 長度與兩定點(diǎn)間的距離大小有怎樣的關(guān)系呢？ 生：繩長大于兩定點(diǎn)間的距離。 師：為什么？同學(xué)們可以組內(nèi)交流一下。 師：好，某同學(xué)來說 生：因?yàn)楫?dāng)繩長等于兩端點(diǎn)之間的距離時(shí)，畫出的圖形是一條線段，當(dāng)繩長小 于兩端點(diǎn)之間的距離時(shí)，不能畫出任何圖形。。 師：真棒，我們一起來看一下繩長等于兩端點(diǎn)之間的距離時(shí)的情況（放視頻）， 這時(shí)畫出的是線段 F1F2 ，當(dāng)繩長小于兩端點(diǎn)之間的距離時(shí)，就不能畫出任何圖形。 所以要畫出橢圓必須使繩長大于兩定點(diǎn)間的距離 師：同學(xué)們能類比之前學(xué)習(xí)過的圓的定義并結(jié)合剛才所做實(shí)驗(yàn)以及上述問題歸 納出橢圓的定義嗎？ 生：在平面內(nèi)，與兩定點(diǎn) 1 2 F , F 的距離的和等于常數(shù)（大于 F1F2 )的點(diǎn)的軌跡。 3 師：非常好！其中這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫橢圓的焦距。 請同學(xué)們注意定義里面的幾個(gè)關(guān)鍵詞，一是：在平面內(nèi)；二是與兩定點(diǎn)間的距離 之和為大于兩定點(diǎn)間距離的常數(shù)；這個(gè)常數(shù)記作2a ，焦距記作2c。 同學(xué)們能夠用集合來表示橢圓嗎？哪位同學(xué)愿意來試試？ 生： 2 (2 ) 1 2 F1F2 MF MF a a 師：非常好，這就是橢圓的集合表示（板書：橢圓的定義：） 三.探索新知，方程推導(dǎo) 師：同學(xué)們已經(jīng)了解了橢圓的定義，接下來我們一起來探究橢圓的方程。先請 同學(xué)們回憶用坐標(biāo)法求曲線方程的一般步驟。 生：建系，設(shè)點(diǎn)，列式，化簡，證明。 師：第一步先建系，第二步設(shè)點(diǎn)，第三步找等量關(guān)系列出與 x,y 有關(guān)的等式， 第四步化簡，第五步證明或查漏補(bǔ)缺。 師：請同學(xué)們觀察橢圓的形狀，類比圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過程，你認(rèn)為怎樣建 系能使橢圓的方程更簡單？ 生：1.以兩焦點(diǎn) 1 2 F , F 所在直線為 x 軸，線段 F1F2 的垂直平分線為 y 軸；2.以兩 焦點(diǎn) 1 2 F , F 所在直線為 y 軸，線段 F1F2 的垂直平分線為 x 軸。 師：對，我們可以把兩焦點(diǎn)放在 x 軸上，也可以把兩焦點(diǎn)放在 y 軸上。這樣建 系有什么好處呢？ 生：其實(shí)這樣更能體現(xiàn)出橢圓的對稱性，也更簡潔。 師：我們以 1 2 F , F 所在直線為 x 軸，線段 1 2 F , F 的垂直平分線為 y 軸建立如圖所 示的平面直角坐標(biāo)系，假設(shè) M (x, y) 是橢圓上任意一點(diǎn)，橢圓的焦距為2c(c 0) ， M (x, y) 與兩焦點(diǎn) 1 2 F , F 的距離之和為2a（2a 2c ），根據(jù)橢圓的定義可以找到與 M 有關(guān)的等量關(guān)系，利用兩點(diǎn)間的距離公式得到與 x ，y 有關(guān)的等式，我們發(fā)現(xiàn) 這個(gè)等式里含有兩個(gè)根式，并且都在等號(hào)的同一邊，應(yīng)該怎么處理呢？好，某同 學(xué)來說 生：兩邊同時(shí)平方 師：某同學(xué)說，兩邊同時(shí)平方，有不同的意見嗎？好，某某同學(xué) 生：先將一個(gè)根式移到等號(hào)的另一邊，再平方 師：同學(xué)們覺得哪種方法更好呢？ 生：第二種 師：對了，如果直接平方的話會(huì)更復(fù)雜，因此我們先將其中一個(gè)根式移到等號(hào) 的另一邊之后再平方。接下來化簡的任務(wù)就交給你們啦。 （學(xué)生化簡，2 分鐘） 師：哪位同學(xué)愿意來展示你化簡后的結(jié)果，（照片展示或在黑板上寫結(jié)果。） 師：同學(xué)們覺得化簡以后得到的這個(gè)等式在形式上看起來對稱嗎？我們還可以 4 怎樣處理一下呢？要解決這個(gè)問題我們先回到橢圓這個(gè)圖形中來，當(dāng) M 點(diǎn)運(yùn)動(dòng) 的 y 軸上的時(shí)候，線段 PF1與 PF2 的長度有怎樣的關(guān)系？ .生： PF1等于 PF2 師： PF1加 PF2 又是等于什么呢？ 生：2a 師：因此 PF1和 PF2 的長度都應(yīng)該等于a ，同學(xué)們能找出表示c 的線段嗎？ 對，OF1和OF2，那么OP 的長度是多少呢？ 生： 2 2 a c 師：對，線段OP 與OF1 , PF1構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理可以得到OP 的長度， 為了讓化簡以后的這個(gè)方程對稱，我們令b 等于根號(hào) 2 2 a c 。則 2 2 2 b a c 從 而可得 1( 0) 2 2 2 2 a b b y a x ，這就是焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓的方程（PPT 給出）， 同學(xué)們能猜想出焦點(diǎn)在 y 軸上的橢圓方程嗎？ 生： 1( 0) 2 2 2 2 a b b x a y 師：非常好，當(dāng)焦點(diǎn)在 y 軸上的時(shí)候我們用同樣的方法可以得到橢圓方程，同學(xué) 們在課下可以嘗試去推導(dǎo)一下。這兩個(gè)方程都叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，其中 2 2 2 b a c ，你們能夠歸納出這兩個(gè)方程的特點(diǎn)嗎？ 生：1.等號(hào)左邊為兩個(gè)分式的平方和，右邊為 1；2.分母不相等；3.哪個(gè)分母大， 焦點(diǎn)就在那個(gè)軸上；4.大的分母是 2 a 的值，小的分母是 2 b 的值... 師：非常好！接下來我們對剛才所學(xué)知識(shí)進(jìn)行運(yùn)用！ 三．夯實(shí)基礎(chǔ)，靈活運(yùn)用 例 1.用定義判斷下列動(dòng)點(diǎn) M 的軌跡是否為橢圓，并說明理由. (1)到 ( 2,0), (2,0) F1 F2 的距離之和為 6 的點(diǎn)的軌跡。 (2)到 (0, 2), (0,2) F1 F2 的距離之和為 4 的點(diǎn)的軌跡。 (3)到 ( 2,0), (0 2) F1 F2 ， 的距離之和為 2 的點(diǎn)的軌跡。 5 例 2.1.判定下列橢圓的焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上，并寫出焦點(diǎn)坐標(biāo). (1)2 16 2 2 x y 1 1 (2) 2 2 2 2 m y m x 2.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 ( 2,0), (2,0) F1 F2 ,并且經(jīng)過點(diǎn) P(2,3)，求橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程.
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