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視頻標簽：橢圓及其標準方程
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學人教A版選修1-12.1.1橢圓及其標準方程_天津市優課教學設計
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高中數學人教A版選修1-12.1.1橢圓及其標準方程_天津市優課教學設計
《橢圓及其標準方程》教學設計
一、內容與內容解析
本節課內容是《普通高中課程標準實驗教科書數學》人教A版選修1-1第二章《圓錐曲線方程》2.1《橢圓及其標準方程》中第一節課。學生在必修2這本書已經學習了《直線和圓的方程》，學生通過這一章的學習，對用坐標法建立直線和圓的方程，從而研究它們的幾何特征和問題有了一定的認識，并深刻地感受了數形結合的基本思想方法。本節課在此基礎之上，將此研究幾何問題的方法拓展到橢圓，通過建立平面直角坐標系，類比研究圓的方法，求出橢圓的標準方程，從而強化坐標法，加深對數形結合思想的理解，同時為研究其幾何性質和特征做好準備，也為進一步研究雙曲線，拋物線提供了基本模式和理論依據。
基于以上對本節課教學內容的分析，確定本節課的教學重點為：橢圓的定義和標準方程，區分焦點坐標與標準方程的對應關系。
二、目標和目標解析
（一）教學目標
1.理解橢圓的定義及有關概念；明確橢圓的標準方程形式，能區分橢圓的焦點在X軸與Y軸上的不同；
2.掌握橢圓的標準方程的概念，能夠根據給定的條件求橢圓的標準方程。
3.通過本節課的學習,培養學生觀察、比較、分析、概括的能力；注重數形結合、分類討論、類比等數學思想方法的滲透，注重掌握運用解析法研究幾何的一般方法，注重動手能力、探索能力的培養。
4.鼓勵積極、主動的參與教學的整個過程，激發其求知的欲望；培養勇于探索、敢于創新的精神；體驗數與形對立統一的辯證唯物主義思想。
（二）教學目標解析
1．本節教學內容的脈絡是：首先是通過實物識橢圓、動手畫橢圓，激發學生求知的欲望，培養學生勇于探索、敢于創新的精神，之后類比圓探究橢圓定義，師生共同總結橢圓定義，設疑引導，問題驅動，結合動畫展示，完善橢圓定義，注意限制條件，強化學生對橢圓定義的理解，注重分類討論思想的滲透。其次，類比圓的研究方法,復習求曲線方程的步驟，引導學生構造數與形的橋梁，建立適當的平面直角坐標系來求橢圓的標準方程，感受用代數解決幾何問題的方法，滲透數形結合的思想。同時，鼓勵學生主動參與教學，體現學生主體性，通過生生、師生多元互動方式共同整理化簡完成橢圓標準方程的化簡，也進一步培養了學生觀察、合作、概括、分析、比較的能力。
2．數學思想的教學一般要經過滲透孕育期、領悟形成期、應用發展期、鞏固深化期四個階段，而非簡單復制與灌輸。在探究“橢圓定義及方程”的過程中本著“四主”的教學思想，即以“學生為主體，教師為主導，問題為主線，思維為主攻”，重點突出學生的“質疑、解疑”和教師的“啟發導疑”的求知過程.通過探究橢圓定義和整理化簡橢圓標準方程的過程，啟發學生類比圓的研究方法探究問題，注重類比思想的滲透，同時培養學生自主探究的能力，加強對坐標法的理解，感受數形結合思想的魅力，體驗數與形對立統一的辯證唯物主義思想。
三、教學問題診斷分析
學生在學習本節內容之前已經學習了直線和圓的方程，初步理解了坐標法，通過建立平面直角坐標系，用代數方法解決幾何問題，并且已經具有一定的數形結合思想，這為研究橢圓提供了基本學習模式，在得出橢圓定義的基礎上再共同研究橢圓的方程思路比較自然。在教學時，通過情境導入，設置疑問提出本節課要研究的問題；在教師的引導下，啟發學生思考和探索問題，并自主學習得出橢圓定義；在問題串的驅動下，通過師生，生生、個人思考，小組合作等多元化的互動形式，共同探究，完成預先設置的問題，得出橢圓方程；通過例題小試身手，感悟新知，初步反饋對橢圓定義及方程的理解情況；學生總結本節所獲，提升能力的同時，內化數學思想方法；最后完成反饋訓練，分享成果，由生評價生，檢驗本節教學目標完成情況；設計拓展延伸題目，挖掘學生無限潛力，培養創新創造能力。
本節課的教學難點：
1.選擇適當坐標系的建立，標準方程的推導過程；
2.兩個標準方程的區別與聯系，由條件分析
。
四、教法分析
“問題是數學的心臟”，也是數學教學的心臟.問題教學，是適應新課改要求的一種數學教學方法，是在課堂教學條件下，創設問題情境，由教師與學生一起發現問題、提出問題，在教師的主導下，分析問題、解決問題.
本節課以學生為中心，以問題為載體，采用啟發、引導、探究相結合的教學方法.即“設疑導入——自主學習——多元互動——總結提升——反饋拓展”五個環節。通過情境導入，設置疑問提出本節課要研究的問題；在教師的引導下，啟發學生思考和探索問題，并自主學習得出橢圓定義；在問題串的驅動下，通過師生，生生、個人思考，小組合作等多元化的互動形式，共同探究，完成預先設置的問題，得出橢圓方程；通過例題小試身手，感悟新知，初步反饋對橢圓定義及方程的理解情況；學生總結本節所獲，提升能力的同時，內化數學思想方法；最后完成反饋訓練，分享成果，由生評價生，檢驗本節教學目標完成情況；設計拓展延伸題目，挖掘學生無限潛力，培養創新創造能力。
五、教學支持條件分析
1．根據本節課教材內容的特點，為了更直觀、形象地突出重點，突破難點，借助信息技術工具，以幾何畫板為平臺，通過圖形的動態演示，變抽象為直觀，為學生的數學探究與數學思維提供支持．
2．本節課的教學設計遵循了“以學生為主”的教學模式，教師始終堅持啟發式教學原則，設計一系列問題串，以引導學生的數學思維活動。教師在整個教學過程中，注意到了少講，給學生充分活動的時間和空間，讓學生互動，總結解題經驗。教師的重點放在了對解法的歸納以及坐標法的思想是否得到落實上。
六、教學過程
(一)設疑導入—發散思維
創設情境:之前,我們學習了直線與圓,通過建立平面直角坐標系,用代數方法解決幾何問題.今天我們繼續來學習新的曲線.行星按照它的形狀運動,人造衛星的運行軌道也是橢圓.可見,橢圓不僅在實際生活中,甚至與科研、生產等有著緊密的關系。那就從今天起,我們像學習圓一樣,共同探究橢圓的定義及其方程,從而獲得它的幾何特征及其性質.
師生活動: 共同觀看PPT展示的實物圖片,它們的形狀都是:橢圓
【設計意圖】：《直線與圓的方程》是本節課橢圓標準方程學習的認知基礎，這樣設計導入語有利于引導學生順利地進入學習情境。同時用身邊的實例引出課題，以及學生所熟知的人造衛星等科技知識，提出研究橢圓的必要性，從而激發學生學習橢圓的積極性。
(二)自主學習—主動探索
回顧：圓的做法及定義，并探究橢圓的畫法與定義。
師生活動：（1）請學生利用手中繩子作出圓，同時教師演示:繩子的兩端都固定在圖板的同一點處,套上鉛筆,拉緊繩子,移動筆尖,畫出圓的軌跡。（2）請學生回憶圓的定義：到定點的距離等于定長的點的軌跡是圓。
【設計意圖】：以學生熟知的圓作為導入，蘊含著橢圓的研究方法和思想是與圓相通的，學生也比較容易接受。又通過學生動手操作直觀地回顧圓的做法和定義，為下一步探究橢圓定義做鋪墊。
教師提問：圓的定義中強調到一個定點的距離,如果是到兩個定點呢?又會是什么呢?類比圓的方法，你能畫出橢圓嗎？
師生活動:在教師的啟發下，學生分小組利用手中的繩子嘗試畫出橢圓,并請完成的小組動手展示并分享。
【設計意圖】：通過類比學生所學過的圓，滲透類比的數學思想，在教師引導下，培養學生發散思維，善于提出問題的創新精神，并給學生提供一個動手操作、合作學習的機會，感受畫出橢圓的成就感。
教師提問：你能總結橢圓的定義嗎？
師生活動：結合展示情況，分小組討論橢圓定義，并進行回答。
設計意圖：通過小組合作、展示、分享，讓學生都積極地參與到學習中來，體現學生主體地位；同時通過討論，學生開動大腦，對橢圓的定義有初步的感性認識，并粗略地進行歸納。
教師提問:
（1）若將細繩的兩端拉開一段距離，分別固定在圖板上不同的兩點F1、F2處，并用筆尖拉緊繩子，再移動筆尖一周，這時筆尖畫出的軌跡是什么圖形呢？
（2）如果把細繩的兩端的距離拉大，那是否還能畫出橢圓？當兩端的距離等于繩長時,軌跡是?再繼續拉大,會出現什么情況?還有軌跡嗎?
師生活動：教師制造矛盾，利用幾何畫板軟件做出橢圓，同時利用幻燈片動畫展示（2）種所提及的情況，通過直觀展示，教師引導，由學生探究出上述問題答案。
學生歸納：
結論：繩長記為2a，兩定點間的距離記為2c(c≠0).
（1）當2a>2c時，軌跡是 ；
（2）當2a=2c時，軌跡是 ；
（3）當2a<2c時， ；
【設計意圖】：通過動畫展示，學生討論、觀察、歸納，完善定義，強化定義需滿足的條件，滲透了分類討論的思想，體現了數學問題思考的嚴謹性。在給出定義后，通過設問讓學生加深對橢圓定義中的關鍵詞匯的理解，進一步強化橢圓定義，真正使學生理解定義的內涵和外延。
(三)多元互動—共同探究
回顧：僅僅得到定義是不夠的,根據前一章學習直線和圓的經驗,我們還應在直角坐標平面上,繼續探究它的方程，從而就可以用代數方法來研究橢圓的幾何性質、位置關系等。
問題1：如圖所示:
為兩定點，且
，求平面內到兩定點
距離之和為定值2a(2a>2c)的動點M的軌跡方程。
（1）回憶求軌跡方程的步驟： （2）并求出動點M的軌跡方程;
思考：如何建立坐標系，使求出的方程更為簡單？
【設計意圖】：1.通過對必修2中坐標法研究曲線性質方法的復習，讓學生認識到本節課研究橢圓的一般方法和思路。2.學生學會建立適當的平面直角坐標系，構造數與形的橋梁，學會用坐標的方法來解決問題，滲透數形結合的數學思想。
師生活動：根據求軌跡步驟，教師引導學生依步完成。
問題2： 對含有一個根式的等式如何進行化簡？
師生活動：教師進行引導：我們怎么化簡帶根式的式子？對于本式是直接平方好還是整理后再平方好呢？請兩名學生上臺在黑板上合作完成，其余同學先獨立進行化簡，因無理根式化簡是難點，能獨立完成的學生是少數，故教師根據學生情況，適時提出小組合作，生生互助的互動形式，教師作為引導者，也會對較困難的組進行面對面的指導。
【設計意圖】：在標準方程的推導過程中，問題的設問讓學生認識到在推導方程的過程中進行等價變形的重要性，同時通過學生自己獨立化簡，小組互助，教師巡視，同學板前演示，幻燈片機展示等循循漸進的步驟，以此突破難點，培養學生嚴謹的數學演算習慣，提高運算能力，養成不怕困難的鉆研精神。
問題3：觀察下圖，你能從中找出表示
的線段嗎？
有什么幾何意義？
【設計意圖】：通過讓學生尋找表示
的線段，以及探究
的幾何意義，發現特征三角形所體現出來的幾何關系，為下節課探究橢圓的幾何性質打下基礎。
問題4：若坐標系的選取不同，得到的橢圓的方程會相同嗎？
問題5：還有沒有其他建系方案，也能得到形如這樣簡潔的標準方程？
問題6：如果以橢圓的焦點所在直線為
軸，且
的坐標分別為（0，-c）和（0，c），a 、b 的含義都不變，那么橢圓又有怎樣的標準方程呢？
師生活動：學生思考并作答。
【設計意圖】：強調不同的建系方案會得到不同的方程，建系遵循簡單和優化的原則。讓學生利用對稱性進行猜想，從中感受數學的簡潔美和對稱美，同時培養學生類比、歸納的能力。
學生總結：
焦點在X軸：
F1（-c,0）、F2（c,0）
焦點在Y軸：
F1（0,-c）、F2（0,c）
（其中
）
【設計意圖】：通過對比總結，強化不同類型的方程的異同，從而深化學生對橢圓標準方程的理解，也是對學生觀察、歸納能力的訓練。
問題7:兩個標準方程的聯系與區別？
練習1：下列方程哪些表示橢圓？若表示橢圓焦點在那個軸上？并求出a,b,c的值。
（1）
（2）
（3）
師生活動：由學生獨立完成練習題目。
教師提問：如果已知橢圓的標準方程，如何確定焦點在哪條坐標軸上？
【設計意圖】：通過幾個基礎練習題的解答，突出本節課的重點，即掌握兩種類型的橢圓方程的異同和根據標準方程判斷焦點位置的方法（看大小）。又引導學生分析，鼓勵學生自行完成、作答，幫助學生樹立自信的同時，提高學生觀察、分析、概括的能力。
練習2：(1)已知橢圓的方程為：
,則， a= ，b= ，c= ，焦點坐標為 ，焦距等于 ；
(2)a=5，c=4的橢圓標準方程是_________________；
(3)若M為橢圓
上一點，
分別為橢圓的左、右焦點，并且
=6,則
=_________；
(4)動點P到兩定點
的距離和是10，則動點P的軌跡方程是________。
【設計意圖】：本環節采用教師提問，學生回答的形式，利用課堂練習鞏固所學的知識內容，強化橢圓的概念，深化知識點的掌握，以求達到教學目標。
(四)、總結提升—內化思想
回顧：
思考：1.本節課你收獲了哪些知識?2.本節課蘊含著哪些思想方法?
師生活動: 由多位學生發言，暢談本課的收獲，并相互評價；教師引導學生從知識—方法—思想的角度，層層深入，梳理本節課的內容，突出一個定義方法、兩個方程、三種思想的整體知識框架。
【設計意圖】：通過總結，培養學生數學交流和表達的能力，養成及時總結的良好習慣，并將所學知識納入已有的認知結構。同時培養學生宏觀掌握知識的能力，為進一步學習打下堅實的基礎。
(五)、鞏固拓展—無限創造
【鞏固型】
1、
的橢圓標準方程是________________；
2、已知橢圓的兩個焦點坐標分別是(-2,0),(2,0),并且經過點
,
則它的標準方程______________；
3、已知橢圓方程
，
分別為橢圓的左、右焦點,若CD為過左焦點
的弦，則
的周長為 ，
的周長為 ；
4.方程
表示的曲線是橢圓，求k的取值范圍；
變式：
（1）方程
表示焦點在y軸上的橢圓，求k的取值范圍；
（2）方程
表示焦點坐標為
的橢圓，求k的值。
5. 下列方程哪些表示橢圓？若表示橢圓焦點在那個軸上？并求出a,b,c的值；并歸納橢圓方程的特點。
（1）
（2）
【拓展型】
1. 橢圓還有其它定義方法嗎？
2.推導方程中 還有其它變形方法嗎？該式又有什么幾何意義呢？
3.若將橢圓定義中的“之和”改為“之差”又是什么呢？“之積”呢？“之商”呢？
4.畫圓有圓規，那么畫橢圓呢？你能設計出橢圓規嗎？
5.研究直線和圓與研究橢圓的方法有區別嗎？隨著學習的深入，請進行歸納。
【設計意圖】：作業的設計，注重分層教學，分為鞏固型、思維拓展型，鞏固型面向全體，注重知識反饋，以此來檢驗本節課的教學要求，學生是否已完成，思維拓展型更注重知識的連貫性和延伸性，增強自主學習能力，培養創新意識，挖掘無限創造空間。
視頻來源：優質課網 www.jixiangsibao.com
