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視頻標(biāo)簽：祖暅原理
所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：高中數(shù)學(xué)人教A版必修二《祖暅原理與柱體、錐體、球體的體積》黑龍江
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高中數(shù)學(xué)人教A版必修二《祖暅原理與柱體、錐體、球體的體積》黑龍江
《祖暅原理與柱體、錐體、球體的體積》教學(xué)設(shè)計(jì)
一、 教學(xué)目標(biāo)：
知識(shí)與技能：理解祖暅原理的含義，理解運(yùn)用祖暅原理推導(dǎo)柱體、錐體、球體體積的思路與方法。掌握柱體、錐體、球體的體積公式并能運(yùn)用這些公式解決相關(guān)問(wèn)題。
過(guò)程與方法：通過(guò)實(shí)物展示、動(dòng)畫(huà)展示和學(xué)生動(dòng)手操作實(shí)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生分組合作、探究學(xué)習(xí)。學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、證明的過(guò)程，充分體會(huì)到祖暅原理的含義及應(yīng)用。提高學(xué)生歸納推理能力和形成用割補(bǔ)法解題的數(shù)學(xué)思想方法。 情感、態(tài)度、價(jià)值觀：學(xué)生通過(guò)了解祖暅和他父親祖沖之在數(shù)學(xué)方面的偉大貢獻(xiàn)，激發(fā)了他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣與熱情，弘揚(yáng)了民族自尊心與自豪感。 二、 教學(xué)重、難點(diǎn)： 教學(xué)重點(diǎn)：利用祖暅原理探究柱體、錐體、球體的體積及運(yùn)用體積公共解決問(wèn)題。 教學(xué)難點(diǎn)：利用祖暅原理探究球體積公式的猜想及證明。 三、 教學(xué)方法及教具準(zhǔn)備：
教學(xué)方法：探究討論法、啟發(fā)引導(dǎo)式、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)法
教具準(zhǔn)備：電子白版、PPT、圓柱、半球、圓錐模型，水、豆粒等。 四、 教材分析：
《祖暅原理與柱體、錐體、球體的體積》是新課標(biāo)2003人教A版高中數(shù)學(xué)必修二第一章《空間幾何體》第三節(jié)后面的探究與發(fā)現(xiàn)內(nèi)容。是在學(xué)生們已經(jīng)認(rèn)識(shí)了簡(jiǎn)單幾何體、組合體、三視圖及知道了柱體、錐體、球體體積公式的基礎(chǔ)上來(lái)學(xué)習(xí)研究的。本節(jié)內(nèi)容主要是通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)法，利用祖暅原理來(lái)研究柱體、錐體、球體的體積。本節(jié)內(nèi)容的設(shè)計(jì)，一方面讓學(xué)生通過(guò)了解祖暅這位偉大的數(shù)學(xué)家，對(duì)祖暅原理產(chǎn)生濃厚的探究興趣；另一方面通過(guò)本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，學(xué)生們不僅可以掌握棱柱、棱錐、球的體積公式，還可以利用祖暅原理求一些不規(guī)則幾何體的體積，可以進(jìn)一步提高學(xué)生們的空間想象能力，也激發(fā)了學(xué)生強(qiáng)烈的探索欲望，油然而生了民族自豪感。 五、 學(xué)情分析：
學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容時(shí)學(xué)生已經(jīng)進(jìn)入高一下學(xué)期了，而且這部分學(xué)生也是基礎(chǔ)較好的學(xué)生，他們思維敏捷、善于觀察，養(yǎng)成了從多角度思考問(wèn)題的好習(xí)慣，有較強(qiáng)的計(jì)算能力和邏輯推理能力。在將近一年的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生們已經(jīng)基本形成了觀察、猜想、推理、實(shí)驗(yàn)、證明、進(jìn)而得出結(jié)論的數(shù)學(xué)思想方法與過(guò)程，有較強(qiáng)的動(dòng)手操作能力，他們善于利用集體的智慧來(lái)解決問(wèn)題。在本課的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，通過(guò)實(shí)物展示、動(dòng)畫(huà)演示、動(dòng)手實(shí)驗(yàn)等一系列比較形象直觀的過(guò)程，讓學(xué)生們產(chǎn)生了濃厚的學(xué)習(xí)興趣和探索欲望，激勵(lì)他們主動(dòng)分組討論、合作探究，完成了由觀察到猜想、由猜想到實(shí)驗(yàn)、由實(shí)驗(yàn)到推理、由推理到證明這一系列的過(guò)程。可以大大提高學(xué)生們的歸納推理能力和實(shí)踐操作能力。學(xué)生們也在整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中進(jìn)一步體會(huì)到割補(bǔ)法和歸納推理的數(shù)學(xué)思想方法，這也為今后他們數(shù)學(xué)能力的提升奠定了基礎(chǔ)。 六、 教學(xué)過(guò)程：
（一）創(chuàng)設(shè)情境、導(dǎo)入新課：首先老師請(qǐng)同學(xué)們欣賞兩張圖片，看看大家認(rèn)不認(rèn)
識(shí)這兩個(gè)人，第一張是祖沖之，第二張是祖暅，（學(xué)生們都認(rèn)識(shí)祖沖之，
而且對(duì)祖沖之在數(shù)學(xué)方面的貢獻(xiàn)也有一定的了解，而卻不認(rèn)識(shí)祖暅），那就讓我們一起來(lái)認(rèn)識(shí)一下這位偉大的數(shù)學(xué)家。出示祖暅簡(jiǎn)介：祖暅，字景爍，祖沖之之子，范陽(yáng)郡薊縣人（今河北省淶源縣人），南北朝時(shí)代的偉大科學(xué)家。祖暅在數(shù)學(xué)上有突出貢獻(xiàn)，他在實(shí)踐的基礎(chǔ)上，于5世紀(jì)末提出了體積的計(jì)算原理。祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”。“勢(shì)”即是高，“冪”即是面積。（引出課題） （二）合作探究、推進(jìn)新課：
1、祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”。找一名同學(xué)說(shuō)一下對(duì)這句話的理
解，再結(jié)合動(dòng)畫(huà)演示，說(shuō)明兩個(gè)等高的幾何體若在所有等高處的水平截面面積都相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等。
2、分析祖暅原理：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)
平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等。
3、祖暅原理的提出要比其他國(guó)家的數(shù)學(xué)家早一千多年，在歐洲直到17世紀(jì)，
才有意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里提出了上述結(jié)論。祖沖之父子是我們中華民族的驕傲和自豪。
4、找學(xué)生舉一下身邊的實(shí)例說(shuō)明祖暅原理的應(yīng)用。 5、探究一：祖暅原理與柱體的體積 設(shè)有底面積都等于S，高都等于h的任意一個(gè)棱柱、一個(gè)圓柱和一個(gè)長(zhǎng)方體，使它們的下底面在同一平面內(nèi)。你能得到什么結(jié)論？
由學(xué)生歸納總結(jié)：
由祖暅原理可得：V柱體=Sh 其中S 是柱體的底面積， h是柱體的高。 例1: 例: 如圖，是某幾何體的三視圖。由祖暅原理知：“冪勢(shì)既同，則積不容異”。已知某不規(guī)則幾何體與如圖所示的幾何體滿足“冪勢(shì)同”，求該不規(guī)則幾何體的體積。(圖中所給長(zhǎng)度均為厘米)
解： 所以某不規(guī)則幾何體的體積是以8-π立方厘米 6、探究二：祖暅原理與錐體的體積
設(shè)有底面積都等于S，高都等于h的兩個(gè)錐體（如圖：一個(gè)棱錐和一個(gè)
-8212
1
-2-23半個(gè)圓柱正方體VVV
A'
ABCC
C'B'A'A'BB'CA'AB
B'C'C
圓錐），使
它們的下底面在同一平面內(nèi)。你能得到什么結(jié)論？（等底面積等高的兩個(gè)錐體的體積相等）
思考：如何把一個(gè)三棱柱分割成三個(gè)等體積的棱錐？
學(xué)生分組討論如何分割并且證明分割出的三個(gè)錐體的體積相等。
由學(xué)生歸納得出錐體的體積公式：結(jié)論：對(duì)于一個(gè)任意的錐體，設(shè)它的底面
積為S，高為h，那么它的體積應(yīng)等于一個(gè)底面積為S，高為h的三棱錐的體積。即
例2：例：三個(gè)直角三角形如圖放置，它們圍繞固定直線旋轉(zhuǎn)一周形成幾何體，求出該幾何體的體積（圖中的長(zhǎng)度單位是厘米）。
sh
V31錐體
7、探究三：祖暅原理與球體的體積
根據(jù)球的對(duì)稱性，先來(lái)探究半球的體積。
思考：如何找到一個(gè)與半球等體積的“替代品”呢？
學(xué)生猜想并分組實(shí)驗(yàn)，動(dòng)手操作后，分組展示自己的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。
通過(guò)學(xué)生們的動(dòng)手操作和觀察動(dòng)畫(huà)演示，學(xué)生們找到了與半球等體積的“替代品”是圓柱，并且猜測(cè)：半球的體積等于圓柱的體積減去圓錐的體積。 8、學(xué)生分組討論后得出半球體積公式的推導(dǎo)與證明：
平行于大圓且與大圓的距離為l的平面截半球所得圓面的半徑2
2lRr，于
是截面面積2222221)(SlRlRrS由此可以得出
V半球=V圓柱-V圓錐=3
R-331R=332R，所以V球=3
34R
例3： 一個(gè)正四面體的所有棱長(zhǎng)都是 厘米，四個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，求此球的體積。
（找學(xué)生到黑板上來(lái)做）
2
（三）課堂練習(xí)、鞏固強(qiáng)化
1、一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在球面上，它的棱長(zhǎng)為a，則球的體積是（ ）
2、某幾何體的三視圖如圖，求該幾何體的體積。(圖中所給數(shù)字單位為厘米)
（四）暢所欲言、課堂小結(jié)
1 總結(jié)一下你在本節(jié)課中獲得的知識(shí)和學(xué)習(xí)心得 祖暅原理
柱、錐、球的體積公式 學(xué)生感想
（五）布置作業(yè)
1、三棱錐P-ABC三條側(cè)棱兩兩互相垂直，且PA=1,PB=2,PC=3,求它外接球的體積。
2、三棱錐P-ABC中側(cè)棱PA長(zhǎng)為3且垂直于底面ABC，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，求這個(gè)三棱錐外接球的體積。 （六）課后探究：
1、利用祖暅原理探究臺(tái)體的體積公式。 2、球、柱、臺(tái)、錐體體積之間的關(guān)系。
七、 教學(xué)反思：本節(jié)課通過(guò)展示祖沖之父子的圖片引出課題，通過(guò)學(xué)生們對(duì)
祖沖之的了解，再加上對(duì)祖暅的個(gè)人簡(jiǎn)介，學(xué)生們油然而生了對(duì)他們父子的敬仰之情，進(jìn)而產(chǎn)生了強(qiáng)烈的民族自豪感。也對(duì)本課內(nèi)容產(chǎn)生了濃厚的學(xué)習(xí)興趣，再利用動(dòng)畫(huà)演示和學(xué)生們的實(shí)物展示，使學(xué)生們對(duì)祖暅原理有了進(jìn)一步的了解與認(rèn)識(shí)，并激發(fā)了他們強(qiáng)烈的探索愿望。本節(jié)課是利用祖暅原理探究和推導(dǎo)柱體、錐體、球體的體積公式，通過(guò)實(shí)物展示和動(dòng)畫(huà)演示相結(jié)合，使學(xué)生們對(duì)祖暅原理有了初步的了解和認(rèn)識(shí)。課堂上學(xué)生們通過(guò)分組討論、合作探究、實(shí)驗(yàn)操作一氣呵成，完成了對(duì)柱體、錐體、球體體積公式的推導(dǎo)，尤其是通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，學(xué)生不僅從感觀上理解了球的體積，更是加強(qiáng)了對(duì)球體積公式的記憶和動(dòng)用，也進(jìn)一步提高了他們的動(dòng)手操作能力和小組合作探究能力。在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生們都全神貫注，積極參予，學(xué)習(xí)的熱情和探索的樂(lè)趣在本節(jié)課中充分展現(xiàn)出來(lái)，美中不足的是在利用柱體體積推導(dǎo)錐體體積的過(guò)程中，學(xué)生們討論不夠熱烈，有些學(xué)生來(lái)比較拘緊，課堂氣氛不太活躍。但是從整體上看學(xué)生們?cè)诮處煹囊龑?dǎo)下思維活躍，參予度高，表現(xiàn)非常優(yōu)秀，較好地突出了本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)，突破了教學(xué)難點(diǎn)。
《祖暅原理與柱體、錐體、球體的體積》教材及學(xué)情分析
撫遠(yuǎn)一中：張坤
教材分析：
《祖暅原理與柱體、錐體、球體的體積》是新課標(biāo)2003人教A版高中數(shù)學(xué)必修二第一章《空間幾何體》第三節(jié)后面的探究與發(fā)現(xiàn)內(nèi)容。是在學(xué)生們已經(jīng)認(rèn)識(shí)了簡(jiǎn)單幾何體、組合體、三視圖及知道了柱體、錐體、球體體積公式的基礎(chǔ)上來(lái)學(xué)習(xí)研究的。本節(jié)內(nèi)容主要是通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)法，利用祖暅原理來(lái)研究柱體、錐體、球體的體積。本節(jié)內(nèi)容的設(shè)計(jì)，一方面讓學(xué)生通過(guò)了解祖暅這位偉大的數(shù)學(xué)家，對(duì)祖暅原理產(chǎn)生濃厚的探究興趣；另一方面通過(guò)本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，學(xué)生們不僅可以掌握棱柱、棱錐、球的體積公式，還可以利用祖暅原理求一些不規(guī)則幾何體的體積，可以進(jìn)一步提高學(xué)生們的空間想象能力，也激發(fā)了學(xué)生強(qiáng)烈的探索欲望，油然而生了民族自豪感。
學(xué)情分析：
學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容時(shí)學(xué)生已經(jīng)進(jìn)入高一下學(xué)期了，而且這部分學(xué)生也是基礎(chǔ)較好的學(xué)生，他們思維敏捷、善于觀察，養(yǎng)成了從多角度思考問(wèn)題的好習(xí)慣，有較強(qiáng)的計(jì)算能力和邏輯推理能力。在將近一年的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生們已經(jīng)基本形成了觀察、猜想、推理、實(shí)驗(yàn)、證明、進(jìn)而得出結(jié)論的數(shù)學(xué)思想方法與過(guò)程，有較強(qiáng)的動(dòng)手操作能力，他們善于利用集體的智慧來(lái)解決問(wèn)題。在本課的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，通過(guò)實(shí)物展示、動(dòng)畫(huà)演示、動(dòng)手實(shí)驗(yàn)等一系列比較形象直觀的過(guò)程，讓學(xué)生們產(chǎn)生了濃厚的學(xué)習(xí)興趣和探索欲望，激勵(lì)他們主動(dòng)分組討論、合作探究，完成了由觀察到猜想、由猜想到實(shí)驗(yàn)、由實(shí)驗(yàn)到推理、由推理到證明這一系列的過(guò)程。可以大大提高學(xué)生們的歸納推理能力和實(shí)踐操作能力。學(xué)生們也在整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中進(jìn)一步體會(huì)到割補(bǔ)法和歸納推理的數(shù)學(xué)思想方法，這也為今后他們數(shù)學(xué)能力的提升奠定了基礎(chǔ)。
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