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視頻標簽：建立函數模型,解決實際問題
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高三數學一輪復習課A版必修一3.2.2建立函數模型解決實際問題（復習課）湖北省優課
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高中數學教A版必修一3.2.2建立函數模型解決實際問題（復習課）湖北省優課
課題：建立函數模型解決實際問題（復習課）
一、教學設計
1.教學內容解析
本節課是普通高中課程標準實驗教科書·數學必修1（人民教育出版社A版），3.2.2 函數模型的應用實例.（高三復習課），屬于“事實性知識”,“函數模型的應用實例”是《函數的應用》這一章的核心內容，又是數學與生活實踐相互銜接的樞紐．
本節課是學習完幾類基本初等函數及函數圖像、函數與方程的延續和發展，同時又對學習的函數的圖像、性質的一個總結． 它要求學生能夠對現實情境中采集的信息借助觀察分析，選擇恰當的函數模型，結合實際問題解模，這種建立函數模型，刻畫現實問題的基本方法是學生必須掌握的，函數建模的方法與思想在現實生活中的應用是非常廣泛并且及其重要的.它的出現既強化了學生應用數學的意識，提高了學生應用數學的能力又讓學生感受到達到目標并不是一帆風順的，需要我們有不怕挫折，勇于探索、不斷嘗試的精神及較強的團隊意識．
本節考綱要求①了解指數函數、對數函數以及冪函數的增長特征，知道直線上升、指數增長、對數增長等不同函數類型增長的含義.②了解函數模型(如指數函數、對數函數、冪函數、分段函數等在社會生活中普遍使用的函數模型)的廣泛應用．
教學重點：實現實際問題轉化為函數模型；然后解決實際問題，達成認知結構的形成、知識要點的梳理和知識體系的建構以及與相關知識的聯系．
2.學生學情診斷
（1）學生具備的認知基礎：①基本初等函數的圖像和性質;②數與形相結合轉化的意識;③初步體會了建立函數模型解決實際問題的過程．
（2）學生欠缺的實際能力：①數與形轉化的意識還不夠強;②從實際問題中抽象出數學問題的能力;③實際問題背景下解決數學問題的熟練程度不夠．
（3）本節課為高三復習課．雖然教材內容為幾種函數增長模型的比較與函數模型應用舉例，但作為高三第一輪復習課，函數模型不一定局限于高一所學過的冪指對三種，其他章節也都出現過建立函數模型的應用問題．比如數列，不等式，三角函數，導數等．但一節課要想把所有的函數模型都復習到是不現實的．因此只能以一些典型模型為載體，復習建立函數模型解決實際問題的基本方法，讓學生在問題情境中加深對建模應用問題的理解．
教學難點：對問題背景信息進行整合，建立最佳函數模型解決實際問題，然后通過分析對實際問題進行反饋．
3．教學標準設置
（1）通過實例探究，學生能將有關知識要點有機地聯系在一起，能綜合運用所學知識解決實際問題；（2）學生能根據實際問題建立恰當的數學模型，能應用數學建模的思想方法解決實際問題； （3）學生會采用題中抽知的方式梳理相關知識點，能系統地列出本節內容的特點；
（4）能根據圖象和表格等提供的有關信息和數據，建立函數模型，將實際問題抽象為數學問題．
4.教學策略分析
在設定教學目標后基于對教學內容和學生情況的分析，為解決問題采用了如下教學策略．
教學理念 ①倡導積極主動、勇于探索、不怕挫折的學習精神和合作探究的學習方式;②營造一個生
動和諧充滿人文關懷的教學氛圍;③追求合作探究與數學課程有機整合的高效課堂;
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教學方法設計
任務驅動教學法（自主探究、合作交流、分享評價） （1）從教與學的現實出發，為了使得數學建模的開放性更大些，探究性更強些，設計了學生合作探究、提出建立解決問題的基本模型的方案． “課標”要求我們教師對待教材，不單單是課程的消費者和執行者，而應該是課程的策劃者和設計者，我對課堂例題進行了精心設計，使得教學內容更加貼近學生，更顯真實． （2）根據教學內容的特點和對學生情況分析，從學生原有的知識基礎和實際能力出發，以任務驅動、問題引導為主線，以學生探究為載體，利用主動觀察、思考、動手操作、小組合作、分享評價等形式來組織教學，努力營造一個合作學習、共同探究、展示成果、愉悅學習的舞臺． （3）在教學過程中對基礎較弱的同學進行指導，并請組內同學給予幫助指導．經歷了整個建模過程后，給學生當堂練習的機會，及時反饋評價．并留下新的問題課后探究，讓學生帶著問題走進課堂，帶著新的問題離開課堂．同時又給學有余力的學生提供繼續學習的平臺. 教學流程：
創設情境，引出課題
↓
例題解析，觸類旁通
↓
歸納小結，感悟收獲
↓
課后思考，自主探究
二、課堂實錄
1．情景引入
引人：展示圖片
師：我們來看屏幕，這是誰啊？ 生：莫言.
師：莫言是2012年諾貝爾文學獎獲得者，莫言的文學成就令人感慨，但是很多人比較關系的是什么？
生：錢．
師：諾貝爾獎金到底有多少呢？大家猜一猜． 生： „„
師：曾經傳言，諾貝爾獎金高達1000萬人民幣，你怎么看，我們通過歷史資料，可以知道，諾貝爾獎發放方式為每年一發，把獎金總額平均分成6份，獎勵給分別在6項(物理、化學、文學、經濟學、生理學和醫學、和平)為人類作出最有益貢獻的人，要知道諾貝爾獎金有多少，就要用到我們所學過的什么問題？
生：函數.
師：這就是我們這節課要復習的函數的模型及其應用．
2．實例探究
例1：諾貝爾獎每年發放獎金的總金額是基金在一年獲利息的一半，另一半利息作基金總額，以便保
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證獎金數逐年增加．假設基金平均年利率為r＝5.42%.資料顯示：1999年諾貝爾獎金發放后基金總額約為19800萬美元．設f(x)表示第x(x∈N*)年諾貝爾獎發放后的基金總額(1999年記為f(1)，2000年記為f(2)，„，依次類推)．(1)請寫出函數f(x)的表達式；(2)試根據f(x)的表達式判斷網上傳聞“莫言獲獎獎金高達1000萬元人民幣”是否為真，并說明理由．(參考數據：1.027112＝1.4)
師：請各個小組討論下，我們該如何解決這個問題呢？ 生：建立函數模型． 小組探究 „„ 學生回答，教師板書
【評析】以實際問題為載體，給出新信息情境，要求學生聯系已學過的函數模型分析和解決問題，意在培養學生的閱讀理解能力和知識的遷移能力．
例2：李強大學畢業后決定自主創業，開了一家電子產品專賣店，他代理了一款蘋果牌平板電腦．其進價2600元，零售價定為3000元時每月可賣出120臺． 李強經過網絡調查發現，定價每降低50元，月銷量可增加30臺．李強應該怎樣定價，才可以使得利潤最大？ （先讓學生積極思考，再提問回答）
師：我們應該通過什么方式解決這個實際問題呢？ 生：把利潤的函數表示出來，再求它的最大值． 師：也就是說，把實際問題先轉化成什么？ 生：二次函數模型． 師：具體怎么操作？
生：先設降價50 x元，利潤為y元．則y=(400－50x)(120＋30x)＝－1500(x－2)2＋54000. 師：完了嗎？
生：還有定義域，0≤x≤8
師：這位同學通過建立二次函數模型，把實際問題轉化成了一個二次函數最值問題，接下來呢？ 生：配方，求它的最值．x=2時y取最大值. 師：完了嗎？
生：再求出定價．即定價為2900元時利潤最大．
師：剛才這位同學設降價50x元，建立二次函數模型．有沒有其他的解法呢？ 生：還可以設定價x元，一樣可以得到一個二次函數模型． 生：也可以設降價x元„„
師：我們發現，即使是同一個問題，建立模型的方法可能不止一種，所以怎樣設未知數怎樣建模非常關鍵，這直接影響到模型求解的難度．
【評析】組織學生主動地探求、同伴間合作交流，有利于學生自覺地將所學的知識用于解決實際的問題，增強學生的應用意識．
例3：李強所在的城市實施了階梯電價，具體電價表如下：
用電價格表
月用電量 （單位：千瓦時） 電價
（單位：元/千瓦時）
100及以下的部分 0.5 超過100至300的部分 0.6 超過300的部分
0.8
如果李強的專賣店8月份用電320千瓦時，則他應付電費多少元？ 師：階梯電價是我們生活中很常見的問題，該問題如何計算？
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生：100×0.5＋200×0.6＋20×0.8＝186元
師：如果用電量記為x，電費記為y，那么它們之間是什么關系？
生：分段函數，解析式為0.5,0100500.6(100),100300501200.8(300),300xxyxxxx
變式：如果9月份李強支付了電費218元，則他9月份用電多少千瓦時？
師：如何計算用電量？怎樣選擇解析式？
(引導學生找出分段函數模型,并靈活運用模型解決問題)
生：令170＋0.8(x－300)＝218，解得x＝360
【評析】通過對實例的探究，讓學生自主或合作勾畫本章知識網絡圖，有效地完成了新的知識建構． 例4：李強店內某電子產品的包裝盒是由一個正方形硬紙板裁剪而成．如圖所示，正方形ABCD邊長為60(cm),切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形,再沿虛線折起,使得A,B,C,D四個點重合于圖中的點P,正好形成一個正四棱柱形狀.E、F在AB上,是被切去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點.設AE=FB=x(cm).
如果制造商要求包裝盒的容積V(cm3)最大，試問x應取何值?并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值.
(引導學生思考,找到三次函數模型)
師: 該問題的關鍵在哪里?
生:把容積V表示成x的函數,并求出最大值.設包裝盒的高為h(cm)，底面邊長為a(cm). 由已知得xa2
，)30(22
260xx
h
，)30(22232xxhav )300(x )20(26'xxv由0'v得x=0(舍)或x=20 當x∈(0,20)時, 0'v;當x∈(20,30)時, 0'v.
所以當x=20時, v取得極大值，也是最大值，此時
2
1ah，即包裝盒的高與底面邊長的比值為21
【評析】學生在談收獲的同時，加深了對本章知識的理解和思想方法的掌握程度，從而形成了自覺內
化的意識．
3．課堂小結
常見的幾種函數模型：
(1)一次函數模型y= kx+b(k≠0)
(2)二次函數模型y= ax2+bx+c(a≠0) (3)指數型函數模型y= a·bx+c(b＞0,b≠1,a≠0) (4)對數型函數模型y= mlogax+n(a＞0,a≠1,m≠0) (5)冪函數型模型y= a·xn+b(a≠0) (6)對勾函數模型y=)0(ax
a
x (7)分段函數模型 (8)三角函數模型
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師：生活中處處有數學，剛才我們用所學的知識解決了生活中的一些熱點問題，這就是數學的魅力．在探究過程中我們運用到了本章所學的哪些數學知識或技能方法呢？請大家結合剛才兩位同學的發言回答建立函數模型解決實際問題的時候需要哪些步驟呢，能不能再精煉些？
生：四步八字：審題，建模，解模，還原． 師：建立函數模型解決實際問題的基本步驟：
（1）審題：深刻理解題意，分清條件和結論，理順其中的數量關系，把握其中的數學本質； （2）建模：由題設中的數量關系，建立相應的數學模型，將實際問題轉化為數學問題； （3）求模：用數學知識和方法解決轉化出的數學問題；
（4）還原：回到題目本身，檢驗結果的實際意義，給出結論.
4．課后提升
思考題：提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/小時)是車流密度x(單位：輛/千米)的函數，當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時，研究表明：當20≤x≤200時，車流速度v是車流密度x的一次函數．
(1)當0≤x≤200時，求函數v(x)的表達式； (2)當車流密度x為多大時，車流量(單位時間內通過橋上某測觀點的車輛數，單位：輛/小時) f (x)＝xv(x)可以達到最大，并求出最大值．(精確到1輛/小時)
【評析】通過思考題，進一步內化學生的認知結構，并弄清知識和方法上的易混點、易錯點；培養學生的動手實踐、合作探究能力，讓學生進一步體會數學的科學價值和應用價值，增強學生學習數學的興趣．
三、課后反思
教學思路清晰，各個環節過渡比較自然，課堂教學設計得比較緊湊．教學設計符合學生認知的基本規律．符合探究的一般方法，在自主學習中由學生比較關注的諾獎問題，當年份取正整數，容易入手，作為本節課內容的切入口．指導學生從具體事例中抽象出函數模型，從數學的角度去認識問題，解決問題．
在每個例題的處理上都讓學生先合作探究，目的是讓學生主動參與建立函數模型解決實際問題，對解決問題的步驟能夠很好的體會出來．
在回顧總結中體現“教師為主導，學生為主體”的思想．且通過小結使學生對本節課所學知識的結構有一個明晰的認識，能抓住重點進行課后復習．
教學設計獨到而又新穎，打破常規，不走尋常路，利用四個實例的探究完成本節課的教學標準，突出以學生為主體，教師以引導者的身份幫助他們完成知識結構體系的建構；教態自然得體，親和力強，能很好地駕馭課堂，積極調動學生思考問題，課堂氣氛活躍；多媒體課件的內容豐富而又簡潔．
改進之處：由于時間關系，在這堂課中完成了知識結構體系的建構后，沒有時間去梳理本章知識方法上的易混點、易錯點，若時間充裕，可考慮布置一定數量的小題讓學生在解題的過程中加以區分．
四、教學點評
本節課既較好地兼顧了認識結構的形成和知識要點的梳理，又突出體現了學生如何建立函數模型解決實際問題的能力提升，有效地突破了難點，兩者有機匹配，相得益彰．高效地完成了教學任務的同時，體現了如下特色：
1．悉心把握教材脈絡，巧妙創設新穎別致的問題情境 教師在對教材內容深層次的理解的基礎上，對教材進行“二次加工”，選用學生熟知的社會生活中的熱點問題切入，學生仿佛不是在學數學，而是在研究實際問題、承擔經濟學家的任務．通過本節課的學習，既增強了學生學習數學的興趣，領悟到學習數學的價值，又培養了學生創新意識，體現了學以致用，發展了學生的數學應用意識．
2．積極倡導探究教學，動態實現知識體系的有效構建
本節課中充分體了教師的主導性、學生的主體性．整個課堂教學活動有條不紊，凡是學生自己能解決
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的事情，教師都沒有包辦代替，堅決讓學生自己做，學生在自主、合作、探究學習的過程中，不僅完成了本節課的教學標準，而且嘗到了學習數學的樂趣，處處感受到成功的喜悅和數學文化的魅力．
3．有效滲透數學思想，恰當體現信息技術的有機融合
本節課從問題的引入、重點的突出、難點的突破，都恰時恰當地利用多媒體課件展示，課堂中黑板、多媒體、計算器交互使用，顯示了教師現代信息技術的純熟地操作能力；重點內容的板書和解題示范，既留給了學生充分思考與探索的時間，又讓留在黑板上的一副靜態的本章知識結構圖演變成動態知識網絡圖，培養了學生的分析概括能力，培養了學生如讀圖、分析已知數據等諸多方面的能力．通過思考題進一步達到鞏固提高的目的．
視頻來源：優質課網 www.jixiangsibao.com
