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視頻標簽：棱錐與球的內接問題
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視頻課題：高中數學人教A版三年級棱柱、棱錐與球的內接問題_廣東省優課
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高中數學人教A版三年級棱柱、棱錐與球的內接問題_廣東省優課
棱柱、棱錐與球的內接問題
高三（4）班
一、教學目標
1、知識與技能：讓學生在自主探究中掌握求直棱柱、一條側棱垂直于底面的棱錐內接球的解法方法。 2、過程與方法：通過正方體內接于球的分析，歸納與總結，讓學生體會由特殊到一般的數學研究方法，在總結的過程中，培養學生的想象能力和類比推理能力。
3、情感態度與價值觀：激發學生學習數學的興趣和積極性，陶冶學生的情操，培養學生堅忍不拔的意志，實事求是的科學學習態度和勇于創新的精神。
二、教學重點、難點
重點：掌握直棱柱內接于球，有一條側棱垂直于底面的棱錐內接球的解法方法。 難點：對具體的立體圖形的理解，并能用割補的方法、方程的思想解決問題。
三、教學過程：
（一）知識點回顧 1、常用結論
①若Rt△ABC內接于圓O，則圓O的圓心為斜邊BC的中點。即半徑R=
12
BC ②若等邊△ABC內接于圓O，則圓O的圓心為△ABC 的重心。設CD是△ABC 的高，則半徑R=
23
CD ③若長方體內接于球O，則球心為長方體的對角線的中點。設長方體的長，寬，高分別為a,b,c，則球O的半徑22212Rabc
；特別的，若邊長為a的正方體內接于球O，則球O的半徑32
Ra 2、探究正方體內接于球時，球心的位置的確定方法，并總結出棱柱內接于球時，球心的確定方法。
結論：棱柱內接于球時，球心是棱柱上下底面外接圓圓心的連線的中點
（二）例題分析
例1、已知三棱柱ABC-A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上。AB=3,AC=4,ACAB, AA1=12,則球O的半徑為（ ） A．
317
2
B．210 C．132 D．310
變式：自半徑為4的球面上一點M，引球的三條兩兩垂直的弦MCMBMA,,，則
222MCMBMA= ．
題后總結：若內接于球的棱錐中，有一條側棱垂直于底面，則可將該棱錐補成直棱柱，再利用直棱柱
與球的內接關系解題。更特殊的，若該棱錐的底面是直角三角形或矩形，則可將其補成長方體，再利用長方體與球的內接關系解題。
例2、已知三棱錐P-ABC，在底面ABC中，60,3,oABCPA面ABC，23PA，則此三棱錐的外接球的表面積為（ ） A．
163
B．43 C．32
3 D．16
（三）課堂練習
1、如圖所示，一個三棱錐的三視圖是三個直角三角形，則該三棱錐的外接球的 表面積為
2、正三角形ABC的邊長為2，將它沿高AD翻折，使點B與點C間的距離為3，此時四面體ABCD外接球表面積為（ ）
A．7 B．19 C．
767 D．196
19
（四）思維拓展
1、《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬;將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑．若三棱錐PABC為鱉臑, PA⊥平面ABC, 2PAAB，
4AC, 三棱錐PABC的四個頂點都在球O的球面上, 則球O的表 面積為 （ ）
（A）8 （B）12 （C）20 （D）24
2、一個幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體外接球的體積為 。
（五）課堂小結
（1）棱柱、有一條側棱垂直于底面的棱錐內接于球的問題的解決思路 （2）割補的方法在立體幾何問題中的應用 （3）方程思想的應用
（六）課后思考
如圖，設正四面體S-ABC的棱長為a，球O的半徑為R，試確定R與a的關系。
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