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視頻標簽：組合
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學人教A版版選修2-3 1.2.2《組合》山東省優課
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高中數學人教A版版選修2-3 1.2.2 《組合》山東省優課
選修2-3 1.2.2 《組合》教學設計
一、復習引入：
1分類加法計數原理：做一件事情，完成它可以有n類辦法，
在第一類辦法中有1m種不同的方法，在第二類辦法中有2m種不同的方法，„„，在第n類辦法中有nm種不同的方法那么完成這件事共
有 12nNmmm種不同的方法
2.分步乘法計數原理：做一件事情，完成它需要分成n個步驟，做第一步有1m種不同的方法，做第二步有2m種不同的方法，„„，做第n步有nm種不同的方法，那么完成這件事有12nNmmm 種不同的方法
3．排列的概念：從n個不同元素中，任取m（mn）個元素（這里的被取元素各不相同）按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列
4．排列數的定義：從n個不同元素中，任取m（mn）個元素的所有排列的個數叫做從n個元素中取出m元素的排列數，用符號m
nA表示
5．排列數公式：(1)(2)(1)mnAnnnnm（
,,mnNmn
） 6階乘：!n表示正整數1到n的連乘積，叫做n的階乘規定0!1．
7．排列數的另一個計算公式：mnA=!
()!nnm
8.提出問題：
示例1：從甲、乙、丙3名同學中選出2名去參加某天的一項活動，其中1名同學參加上午的活動，1名同學參加下午的活動，有多少種不同的選法？
示例2：從甲、乙、丙3名同學中選出2名去參加一項活動，有多少種不同的選法？
引導觀察：示例1中不但要求選出2名同學，而且還要按照一定的順序“排列”，而示例2只要求選出2名同學，是與順序無關的引出課
題：組合．
二、講解新課：
1組合的概念：一般地，從n個不同元素中取出mmn個元素并成一
組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合
說明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——無序性；⑶相同組合：元素相同
例1．判斷下列問題是組合還是排列
（1）在北京、上海、廣州三個民航站之間的直達航線上，有多少種不同的飛機票？有多少種不同的飛機票價？
（2）高中部11個班進行籃球單循環比賽，需要進行多少場比賽？ （3）從全班23人中選出3人分別擔任班長、副班長、學習委員三個職務，有多少種不同的選法？選出三人參加某項勞動，有多少種不同的選法？
（4）10個人互相通信一次，共寫了多少封信？ （5）10個人互通電話一次，共多少個電話？
2．組合數的概念：從n個不同元素中取出mmn個元素的所有組合的個數，叫做從n 個不同元素中取出m個元素的組合數．用符號m
nC表示．
3．組合數公式的推導：
（1）從4個不同元素,,,abcd中取出3個元素的組合數3
4C是多少呢？
啟發：由于排列是先組合再排列，而從4個不同元素中取出3個元素
的排列數34A可以求得，故我們可以考察一下34C和3
4A的關系，如下：
組 合 排列
dcbcdbbdcdbccbdbcdbcd
dcacdaadcdaccadacdacd
dbabdaadbdabbadabdabdcbabcaacbcabbacabcabc,
,
,
,
,
,,,,,,,,,,,,,,
,
由此可知,每一個組合都對應著6個不同的排列，因此，求從4個不
同元素中取出3個元素的排列數34A，可以分如下兩步：① 考慮從4
個不同元素中取出3個元素的組合，共有3
4C個；② 對每一個組合的
3個不同元素進行全排列，各有33A種方法．由分步計數原理得：34A＝3
4C33A，所以，
3
33
4
34
AAC． （2）推廣：一般地，求從n個不同元素中取出m個元素的排列數mnA，
可以分如下兩步：
① 先求從n個不同元素中取出m個元素的組合數m
nC；
② 求每一個組合中m個元素全排列數mmA，根據分步計數原理得：m
nA＝mnCm
mA．
（3）組合數的公式：
(1)(2)(1)!mmnn
mmAnnnnmCAm
或
)!(!!
mnmnCmn
),,(nmNmn且
規定: 01nC.
三、講解范例：
例2． 一位教練的足球隊共有 17 名初級學員，他們中以前沒有一人參加過比賽．按照足球比賽規則，比賽時一個足球隊的上場隊員是11人．問：
(l)這位教練從這 17 名學員中可以形成多少種學員上場方案？ (2)如果在選出11名上場隊員時，還要確定其中的守門員，那么教練員有多少種方式做這件事情？
分析：對于（1)，根據題意，17名學員沒有角色差異，地位完全一樣，因此這是一個從 17 個不同元素中選出11個元素的組合問題；對于（ 2 ) ，守門員的位置是特殊的，其余上場學員的地位沒有差異，因此這是一個分步完成的組合問題．
解： (1）由于上場學員沒有角色差異，所以可以形成的學員上場方案有 C ｝手＝ 12 376 （種） . (2）教練員可以分兩步完成這件事情：
第1步，從17名學員中選出 n 人組成上場小組，共有11
17C種選法； 第2步，從選出的 n 人中選出 1 名守門員，共有1
11C種選法．
所以教練員做這件事情的方法數有
111
1711
CC=136136（種）.
例3．（1）平面內有10 個點，以其中每2 個點為端點的線段共有多少條？
(2）平面內有 10 個點，以其中每 2 個點為端點的有向線段共有多少條？
解：(1）以平面內 10 個點中每 2 個點為端點的線段的條數，就是從10個不同的元素中取出2個元素的組合數，即線段共有
2
10
109
4512C
（條）.
(2）由于有向線段的兩個端點中一個是起點、另一個是終點，以平面內10個點中每 2 個點為端點的有向線段的條數，就是從10個不同元素中取出2個元素的排列數，即有向線段共有
2
1010990A（條）.
例4．在 100 件產品中，有 98 件合格品，2 件次品．從這 100 件產品中任意抽出 3 件 . (1）有多少種不同的抽法？
(2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少種？ (3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少種？
解：(1）所求的不同抽法的種數，就是從100件產品中取出3件的組合數，所以共有
3
100
1009998
123C
= 161700 （種）.
(2）從2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有12C種，從 98 件合格品中抽出 2 件合格品的抽法有2
98C種，因此抽出的 3 件中恰好有 1 件
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