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視頻標簽：函數模型,應用實例
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學教A版必修一3.2.2函數模型的應用實例_北京
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高中數學教A版必修一3.2.2函數模型的應用實例_北京市日壇中學
教學基本信息
課題
函數模型的應用實例
是否屬于
地方課程或校本課程 否
學科 數學 學段： 高中
年級
高一
相關 領域
函數建模
教材
書名：普通高中課程標準實驗教科書 數學1出版社： 人民教育出版社
指導思想與理論依據
1、 指導思想
《普通高中數學課程標準》在“課程的基本理念”部分指出：
發展學生的數學應用意識.通過三個經濟問題，學生體會財經素養是最大的財富，經歷“數學建模”的過程，總結函數建模的方法.
注重信息技術與數學課程的整合.本節課學生使用CASIO圖形計算器進行函數擬合. 2、理論依據
本節課的理論依據是建構主義學習理論.
建構主義學習理論強調以學生為中心，認為學生是認知的主體，教學活動的積極參與者、是知識意義的主動建構者.本節課在建構主義學習理論的指導下，教師通過創設符合教學內容要求的情景和提示新舊知識之間聯系的線索，幫助學生建構新知識的意義；盡可能組織協作學習，展開討論和交流，并對協作學習過程進行引導，使之朝有利于意義建構的方向發展.
2
教學背景分析
1、學習內容分析
本節課內容出自《普通高中課程標準實驗教科書數學1必修(A版)》中第三章“函數的應用”3.2.2《函數模型的應用實例》.
本節課是對基本初等函數性質的延續和發展，同時總結了一些函數建模的方法：配對比較、函數擬合、構造新函數等，為以后的函數建模奠定了基礎.函數擬合要求學生能夠對現實情境中收集的數據進行觀察分析，選擇較為接近的函數模型，結合實際問題比較模型的優劣，最后應用所選擇的模型解決實際問題.函數建模的方法和函數擬合的思想在現實生活中的應用非常廣泛. 2、學情分析
（1）學生具備的認知基礎：
①一次函數、二次函數、指數函數、對數函數、三角函數的圖像和性質； ②數、式、形三者相互轉化的初步意識；
③會利用圖形計算器進行基本初等函數的函數擬合. （2）學生欠缺的知識和能力：
①專業術語：比如整存整取、基準利率、通貨膨脹率等； ②判斷實際問題應該選用的函數模型和解決方法. 學生能夠應用圖形計算器解決簡單的數學問題。通過課前的問卷調查，從數據反映出來的狀況如圖所示：
調查發現，我所授課兩個班的52名學生，35個學生（67.3%）能尋找到變量間確定的數量關系；42個學生（80.8%）第一題正確，有了初步的模型積累，能夠調用已有知識和現實問題對接；17個學生（32.7%）第二題全部正確，能夠比較靈活地進行三種語言的轉換；30個學生（57.7%）對應用題有畏難心理. 3、前期教學狀況、問題、對策
前期教學的狀況是：學生積累了一次函數、二次函數、指數函數、對數函數、三角函數等函數模型，但不能有效對接具體情境；學生在專業術語、抽象符號、數學公式的解釋、三種語言的轉換、需要歸納和類比的內容等方面存在著閱讀障礙.
67.30%
80.80%
32.70%
57.70%
數量關系模型積累語言轉換畏難心理
3
閱讀障礙以及對策
閱讀障礙
對策
專業術語 數學抽象符號 數學公式的解釋 舉例說明 由具體到抽象 由特殊到一般 三種語言的轉換 列舉、圖、表 需要歸納和類比的內容
模型積累
4、教學方式：啟發式.
5、教學手段：學習工作紙、ppt、圖形計算器.
6、技術準備：多媒體設備、CASIO fx－CG20圖形計算器.
借助圖形計算器的做圖功能，可以直觀的反映數據之間的關系；快速計算基本初等函數擬合的殘差平方和、相關系數等參數，為選擇合理函數模型提供依據.
教學目標(內容框架)
根據課程標準，基于上述分析，我確定本課時教學目標如下： 知識與技能：
1、 選擇合理的模型表達變量間的數量關系； 2、 會用函數擬合的方法解決實際問題；
3、 嘗試根據散點圖的特征構造新函數，解決實際問題.
過程與方法：經歷將實際問題轉化為數學問題的過程，體會配對比較、函數擬合等函數建模的方法.
情感態度與價值觀：體會函數建模在經濟生活中的應用價值. 根據教學內容解析和學情分析，我確定本節課的教學重點和難點如下： 教學重點：利用函數擬合的方法解決實際問題. 教學難點：構造新函數，設計相應的擬合方案. 突破難點的關鍵在于對散點圖的圖形特征的觀察.
教學過程(文字描述)
教學流程圖
配對比較 函數擬合
基本初等函數擬合
構造新函數擬合
總結提升
4
下面我將對每一階段教學中計劃解決的主要問題和教學步驟作出說明. （一）教育儲蓄
例1：你的父母為你儲蓄一筆大學教育資金，第三年末取出.一年期整存整取的定期年利率為1.5%，三年期整存整取的定期年利率為2.75%.假設央行現行基準利率不變.現有二種方案供你選擇：
方案一：選擇一年期整存整取，每年的年末將本金和利息取出后，馬上將之做為本金全部存入銀行.依次類推，直至第三年末；
方案二：選擇三年期整存整取． 請問哪種投資方案好？
預設學生活動1：本息合計多的方案好； 預設學生活動2：資金提取靈活的方案好.
解釋：整存整取、三年期整存整取.
比較：哪種方案好？若從本息合計多的角度考慮，結果如下表所示，
配對比較：
方案1對應的函數模型是指數型函數，其增長方式為指數爆炸；方案2對應的函數模型是一次函數，其增長方式為直線上升.
評價：這兩種儲蓄方式對現實生活的啟示？
【設計意圖】建立模型時，如果能夠尋找到變量間的確定的數量關系，那么調用模
型積累，進行配對比較.
（二）美國宏觀經濟
家庭財富的增長除了合理決策之外，還和國家的宏觀經濟形勢息息相關.市場經濟發達的美國，它的宏觀經濟情況如何呢？
例2：美國1999—2008年的通貨膨脹率和聯邦基準利率如下表所示： 通貨膨脹率% 4.13 4.86 1.90 2.20 1.77 1.81 4.06 3.96 4.31 1.07 美國聯邦基準利率%
4.97
6.24
1.49
1.67
1.13
1.35
3.22
4.67
5.02
1.02
建立一個能基本反映這一時期內，美國聯邦基準利率隨美國通貨膨脹率變化的函數模型. 解釋：什么叫通貨膨脹率上升？
本息合計
第一年末
第二年末
第三年末 方案1 1+1.5%
2
1+1.5%
3
1+1.5%1.045
方案2
1+2.75%3=1.081
5
師生交流：
學生發現，和例1相比，數據沒有規律，尋找不到確定的變量間的數量關系，很難進行配對比較，因此對這個實際問題進行函數擬合.
擬合（小組合作）：
預設學生活動1：利用圖形計算器畫出散點圖，使用三次函數進行擬合；
預設學生活動2：利用圖形計算器畫出散點圖，使用二次函數進行擬合；
預設學生活動3：利用圖形計算器畫出散點圖，使用指數型函數進行擬合；
對比殘差平方和以及相關系數： 函數
參數
三次函數
二次函數
指數型函數
殘差平方和（MSe） 0.30 0.26 0.01 相關系數2
0.94
0.94
0.96
殘差平方和（MSe）：只有指數函數進行擬合時的殘差平方和約為0.01，其他函數擬合的殘差平方和均大于0.25；
猜想：發現在1999—2008年間，隨著美國通貨膨脹率增長，聯邦基準利率也隨之提高.這是一般的經濟現象嗎？
6
印證：實際上這組數據經過了一定程度的美化.國家宏觀調控不可能只受單一因素的影響.來看從1960年至今的情況.其中，綠線可以代表美國通貨膨脹率，粉線可以代表美國聯邦基準利率.
解釋：你能解釋美國通貨膨脹率增長，聯邦基準利率也隨之提高這一經濟現象嗎？ 通貨膨脹率增加→流通環節的貨幣增加→提高基準利率→存貸款雙向控制. 遷移：這種經濟現象對我們國家和家庭的有什么借鑒意義？
【設計意圖】
1、根據數據畫出散點圖進行觀察分析，選擇較為接近的函數模型，比較模型的優劣，應用所選擇的模型解決實際問題.
2、感受數學模型可以對國家宏觀經濟調控的作用.
（三）預測手機銷量
若干年后, 我們從“小儲蓄”發展成了“大投資”，我們擁有了自己的公司，你能用今天學到的方法解決你公司里的一個問題嗎？
例3：隨著通訊技術的發展和社會交流的擴大，人們對手機的需求量也與日俱增．公司在第一年的手機銷售量(單位: 十萬臺)如下，試預測公司在第二年5月份的手機銷售量. 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 0.83
0.97
0.11
0.81
2.29
2.11
1.37
2.38
3.7
3.23
2.7
3.96
嘗試擬合：
預設學生活動1：利用圖形計算器畫出散點圖，使用正弦函數進行擬合；
預設學生活動2：利用圖形計算器畫出散點圖，使用對數函數進行擬合；
預設學生活動3：利用圖形計算器畫出散點圖，使用一次函數進行擬合；
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做出散點圖，從圖中可以看出散點圖呈現一種規律，一方面直線上升(一次遞增函數) ，另一方面呈現波折形態(正弦函數型)，圖形計算器現有的擬合函數都是基本初等函數，無法進行擬合。
構造新函數：經過討論，巧妙地用構造了一個遞增的一次函數和一個正弦型曲線的疊加. 預設學生活動1：一次函數與正弦函數的疊加； 預設學生活動2：對數函數與正弦函數的疊加. 設計方案：
第一步：對數據進行一次函數擬合，得到擬合函數1()0.300069930.08787878fxx； 第二步：做出原數據與一次函數的差，作為一組新的數據；
月份 臺數（十萬） 一次函數值 差值
1 0.83 0.38794871 0.44205129 2 0.97 0.68801864 0.28198136 3 0.11 0.98808857 -0.87808857 4 0.81 1.2881585 -0.4781585 5 2.29 1.58822843 0.70177157 6 2.11 1.88829836 0.22170164 7 1.37 2.18836829 -0.81836829 8 2.38 2.48843822 -0.10843822 9 3.7 2.78850815 0.91149185 10 3.23 3.08857808 0.14142192 11 2.7 3.38864801 -0.68864801 12 3.96 3.68871794 0.27128206
第三步：對新的數據利用正弦函數擬合，得到擬合函數
2()0.80169104sin(1.653562920.7917025)0.021933fxx ；
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第四步：檢驗新函數12()()()fxfxfx與散點圖的擬合情況.
預測：當17x的函數值(17)f，從而為公司的擴大生產提供依據.可以利用這個模型和方法解決實際問題中的有關季節性的產品銷售問題.
【設計意圖】
1、根據散點圖呈現的特征構造新函數，設計方案進行函數擬合. 2、體會函數擬合對生產生活的預測作用.
（四）總結提升
回顧這節課的研究方法？今天學習的的研究方法能解決哪些身邊的實際問題？
函數建模
配對比較
構造新函數 函數擬合
式
形
數
函數表示
9
函數擬合的基本過程
【設計意圖】讓學生回顧本節課所學內容以及研究方法，有利于學生系統地掌握所學內容，有利于體會各種研究數學的方法之間的區別和聯系.
結束語：
有人測算過，在2004年1月投資1元國庫券，那么逐月翻滾，到2014年12月，這1元將變成1.5元.如果把這1元投資股市，例如，購買深證指數，那么逐月翻滾11年，這1元將變成2.9元.但是如果有人掌握這11年的完全信息，而對這兩種證券逐月作最優組合，那么這1元將變成多少? 答案是了1251643，超過100萬元！從1元到100萬元是正確的決策可能活動的廣闊天地，這也是數學模型的廣闊天地！ （五）作業
從下列兩個實習任務中任選一個：
1、記錄一周的天氣預報，列出每天的最高氣溫，建立一個能基本反映這一時期內最高氣溫的函數模型.
2、測量自己一周內每天中午12:16的影子長度，你能發現什么？并建立一個能基本反映影子長度的函數模型.
【設計意圖】
作業采用開放性的問題，學生通過這節課的學習能夠應用所學到的知識發現和解決
實際的問題，發展學生的數學應用意識，激發學生學習數學的興趣，也有利于擴展學生
是 否
收集數據
畫散點圖 選擇函數模型
擬合 檢驗
解決問題
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的視野，提高實踐能力.
學習效果評價設計
評價方式
通過觀察，對學生學習過程進行評價，包括學習態度、參與小組合作學習的積極程度（是否能積極進行思考、表達自己的想法、傾聽別人的想法并提出意見和建議）、能否理解并有條理地表達數學內容. 評價量規: 評價標準 評價內容
非常好 比較好 一般 不太好 不好
學習態度
注意力非常集
中，非常主動、積極地參與到教學活動中 注意力比較集中，很主動、
積極地參與到教學活動中 注意力基本能集中，能主動、積極地參與到教學活動中 注意力不太集中，被動地參與任何教學活動
注意力不集中，不參與任何教學活動
獨立思考
對于老師提出的問題積極進行思考，并表
達自己的想法，還能提出問題 對于老師提出的問題積極進行思考，并愿意表達自己的想法
對于老師提出的問題進行思考，但不愿表達自己的想法
對于老師提出的問題進行思
考，沒有想法 對于老師提出的問題不進行
思考
參與小組討論 非常積極地組
織并主動參與
小組討論 主動參與小組討論
能參與小組討論
在小組討論中只聽被人說，自己不思考
不參與小組討論
表達數學內容 理解并有條理
地表達數學內
容
理解并能用自己的語言表達數學內容 明白數學內容但表達的不清晰
對數學內容不十分清楚，表達不出 不愿表達數學內容
自我反思
習慣對自己的
學習中的情況進行反思
經常對自己的學習中的情況進行反思
對自己的學習中的情況能進行反思
很少對自己的學習中的情況進行反思
不對自己的學習中的情況進行反思
教學設計特色說明與教學反思(300-500字數)
教學設計特色說明
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（1）感受數學模型的應用價值
學生感受到函數的廣泛應用，真實體驗到數學模型對實際生活的作用：小到家庭儲蓄，大到宏觀調控，近到國內市場，遠到美國通脹，使得建模的結果有一定的實際意義，體現新課程的問題性、應用性特點，提升學生的財經素養.
（2）關注學生發展
創設了自主探索、動手實踐、小組合作交流等多種學習活動方式，使學生獲得比較完整的學習經歷，培養學生“能表達”、“會表達”，發展學生“做數學”、“用數學”的意識，關注了學生的發展，拓展學生數學活動的空間.
教學反思
本節課利用問題引領思維，充分暴露學生的思維過程，采用了抓住關鍵詞展開聯想進行轉化，借助直觀圖像幫助思考等思維策略.每個題目都以數據和現象→研究→結論→借鑒的線索貫穿.總結了函數建模的常見方法，歸納了函數擬合的一般步驟，嘗試利用數、式、形三種不同的形式進行數學表達.數學建模是高中階段重要的數學素養，仍需要學生不斷感悟和積累才能逐步提升的.如何幫助學生更好提升數學建模能力將是我繼續思考和探索的方向.
視頻來源：優質課網 www.jixiangsibao.com
