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視頻標(biāo)簽：變化率與導(dǎo)數(shù)

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-2 變化率與導(dǎo)數(shù)-浙江省 - 杭州

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變化率與導(dǎo)數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì) 
 
一、 內(nèi)容與內(nèi)容解析 
   變化是自然界的普遍現(xiàn)象，豐富多彩的變化問(wèn)題隨處可見(jiàn)。函數(shù)是描述運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律的重要工具。如何定量刻畫(huà)千變?nèi)f化的變化現(xiàn)象，是數(shù)學(xué)研究的重要課題。17世紀(jì)創(chuàng)立的微積分就源于研究運(yùn)動(dòng)物體的變化規(guī)律，它是數(shù)學(xué)發(fā)展中的里程碑。本節(jié)課的核心內(nèi)容是平均變化率和瞬時(shí)變化率。這是微積分中的兩個(gè)核心概念，有著極其豐富的實(shí)際背景和廣泛的應(yīng)用。對(duì)于宏觀地描述一個(gè)簡(jiǎn)單的變化過(guò)程，可以利用平均變化率的這個(gè)指標(biāo)，但是隨著對(duì)變化問(wèn)題研究的深入和細(xì)化，用平均變化率已經(jīng)不足以刻畫(huà)一個(gè)較復(fù)雜的變化問(wèn)題，需要引進(jìn)瞬時(shí)變化率的概念。從平均變化率到瞬時(shí)變化率，是一個(gè)量變到質(zhì)變的過(guò)程。它蘊(yùn)涵著的無(wú)限分割的微分的思想，無(wú)限逼近的極限的思想是兩個(gè)極為重要的數(shù)學(xué)思想。因此本節(jié)課的重點(diǎn)是理解瞬時(shí)變化率的概念，學(xué)會(huì)用瞬時(shí)變化率來(lái)“度量”變化過(guò)程。 二、 目標(biāo)與目標(biāo)解析 
抽象的數(shù)學(xué)往往都具有豐富的實(shí)踐背景，變化率概念的形成和發(fā)展也不例外。課堂教學(xué)需要再現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的形成與發(fā)展過(guò)程，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的重要思想和豐富內(nèi)涵，感受數(shù)學(xué)工具在解決實(shí)際問(wèn)題的作用，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)概念的形成也是人的思想的自然合理、符合邏輯的發(fā)展過(guò)程。因此確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)為： 
1. 從具體案例中，發(fā)現(xiàn)平均變化率在刻畫(huà)變化規(guī)律中的作用和局限性。 2. 通過(guò)實(shí)例分析，經(jīng)歷由平均變化率過(guò)渡到瞬時(shí)變化率的過(guò)程，了解利用
平均變化率的極限刻畫(huà)瞬時(shí)變化率的思想。 
3. 自然合理地形成微分、逼近、極限等數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，體會(huì)微積分的思想及其
內(nèi)涵，理解導(dǎo)數(shù)就是瞬時(shí)變化率。 
三、 教學(xué)問(wèn)題診斷分析 
函數(shù)是刻畫(huà)運(yùn)動(dòng)變化的重要數(shù)學(xué)模型，函數(shù)的圖象與性質(zhì)是學(xué)生定性分析變化現(xiàn)象的重要認(rèn)知基礎(chǔ)。或許學(xué)生能夠從函數(shù)圖象上感受函數(shù)變化的快與慢。但學(xué)生往往缺乏從定量和抽象的層面去分析數(shù)學(xué)問(wèn)題本質(zhì)的習(xí)慣與能力。本節(jié)課的第
 
                    
             
                    
                             2 
一個(gè)難點(diǎn)是從現(xiàn)實(shí)背景中抽象出函數(shù)平均變化率的概念，即
2
121)
()(xxxfxfxy
是表示函數(shù))(xfy在區(qū)間[1x，2x]或[2x，1x]上函數(shù)平均變化率。對(duì)于高中學(xué)生而言，他們習(xí)慣于用靜態(tài)的思維來(lái)觀察和表達(dá)一個(gè)數(shù)學(xué)現(xiàn)象。在本節(jié)課中，預(yù)計(jì)學(xué)生會(huì)產(chǎn)生這樣的問(wèn)題：（1）當(dāng)區(qū)間不斷縮小時(shí)，函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上的平均變化率將會(huì)發(fā)生怎樣的變化？這種變化有什么規(guī)律？（2）在變化的“瞬間”，平均變化率有沒(méi)有意義？它還能否刻畫(huà)“瞬間”的變化規(guī)律？（3）當(dāng)0x時(shí)，
x
y
將成為0
0
型的式子，它還有意義嗎？其實(shí)這些問(wèn)題不僅會(huì)困擾現(xiàn)在的學(xué)生，也困擾
了當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家們。因此本節(jié)課的難點(diǎn)是從平均變化率概念到瞬時(shí)變化率概念的產(chǎn)生和形成。特別是微分、逼近、極限思想的體現(xiàn)和運(yùn)用。 四、 教學(xué)支持條件分析 
學(xué)生對(duì)于函數(shù)概念、函數(shù)圖象與性質(zhì)等知識(shí)與方法理解和掌握是本節(jié)課的教學(xué)基點(diǎn)。因此可以引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)解析式、函數(shù)的單調(diào)性等方面去探究，特別是利用函數(shù)圖象直觀，對(duì)由函數(shù)刻畫(huà)的變化現(xiàn)象作出定性的分析。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)概念的形成與發(fā)展。學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)、原有的知識(shí)基礎(chǔ)，直觀而形象的課件都可以支持學(xué)生對(duì)一個(gè)問(wèn)題從表面到本質(zhì)，從形象到抽象的轉(zhuǎn)變。 
五、 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì) （一）創(chuàng)設(shè)情景、引入課題 
    開(kāi)門(mén)見(jiàn)山，引入課題。提出今天學(xué)習(xí)的課題是“變化率與導(dǎo)數(shù)”，并指出變化是自然界的普遍現(xiàn)象，豐富多彩的變化問(wèn)題隨處可見(jiàn)。      問(wèn)題1：如何用數(shù)學(xué)的方法觀察和分析一個(gè)變化現(xiàn)象？ 
以來(lái)自于學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)為例。 
   “當(dāng)你吹氣球的時(shí)候，隨著球內(nèi)的空氣容量的增加，氣球的半徑增加得越來(lái)越慢。” 
你能否用數(shù)學(xué)的方法，來(lái)解釋這種現(xiàn)象。 
設(shè)計(jì)意圖：這是教材中的例子，問(wèn)題的設(shè)計(jì)包含兩個(gè)方面。第一，對(duì)于一個(gè)實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)解決，需要對(duì)問(wèn)題進(jìn)行理想化，抓住問(wèn)題的本質(zhì)而忽略次部分。
 
                    
             
                    
                             3 
這是數(shù)學(xué)建模的思想。在本問(wèn)題中，氣球可以抽象為標(biāo)準(zhǔn)的球體，因此球體的體
積與半徑之間的關(guān)系就能明確地表達(dá)出來(lái)，33
4
rV。這樣我們就能定量地研究
氣球容量V與半徑r之間的關(guān)系。同時(shí)，空氣要求是均勻地沖入氣球的。其次，問(wèn)題具有一定的開(kāi)放性，可以運(yùn)用多種數(shù)學(xué)方法來(lái)解釋這種現(xiàn)象，以便教師引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)出，用平均變化率是刻畫(huà)這種現(xiàn)象的簡(jiǎn)單而有效的方法。 
活動(dòng)預(yù)設(shè)：希望學(xué)生能夠從他們的視角來(lái)回答問(wèn)題。如從函數(shù)變化的角度，
3
43)(
V
Vr，利用學(xué)生對(duì)于冪函數(shù)圖象與性質(zhì)的基礎(chǔ)，畫(huà)出這個(gè)函數(shù)的圖象。從函數(shù)圖象上可以看出函數(shù))(Vr是增函數(shù)，并且增長(zhǎng)的速度是變慢的。 
如果是這樣，教師可以通過(guò)追問(wèn)，什么是“增長(zhǎng)的速度是變慢”？進(jìn)而引入到更加精細(xì)的定量分析： 
（1）當(dāng)空氣容量從0增加到1L時(shí)，氣球半徑增加了：62.0)0()1(rr（dm） 氣球的平均膨脹率為：
62.00
1)
0()1(rr（dm/L）； 
（2）當(dāng)空氣容量從1增加到2L時(shí)，氣球半徑增加了：16.0)1()2(rr（dm） 氣球的平均膨脹率為：
16.01
2)
1()2(rr（dm/L）； 
通過(guò)圖象分析與電子表格計(jì)算，可以看到平均膨脹率是逐漸減小的。 引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：平均變化率是解釋變化現(xiàn)象的重要指標(biāo)。 
問(wèn)題1—2：你能舉出一些你所知道的用平均變化率來(lái)描述的指標(biāo)嗎？ 設(shè)計(jì)意圖：概念的產(chǎn)生的一個(gè)重要途徑是歸納，光有一個(gè)例子是不夠的。由于教學(xué)時(shí)間的限制，不允許教師通過(guò)多個(gè)例子來(lái)建立平均變化率的概念，因此需要利用學(xué)生原有知識(shí)結(jié)構(gòu)，對(duì)平均變化率概念進(jìn)行順應(yīng)和同化。預(yù)設(shè)學(xué)生能夠回答諸如斜率、增長(zhǎng)率、利率、速度、加速度、效率、利潤(rùn)、功率等。 
問(wèn)題2：對(duì)于一個(gè)描述變化過(guò)程的函數(shù))(xfy，請(qǐng)寫(xiě)出函數(shù)從1x到2x的平均變化率，并畫(huà)出示意圖。 
設(shè)計(jì)意圖：深化平均變化率概念的內(nèi)涵，引導(dǎo)學(xué)生寫(xiě)出
1
221)
()(xxxfxf，引入記號(hào)
 
                    
             
                    
                             
4 
12xxx， )()(12xfxfy，平均變化率可以表示為：1
221)
()(xxxfxfxy
。并為后續(xù)學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的幾何意義作鋪墊。 （二） 設(shè)疑求變，形成新知 
  任何的數(shù)學(xué)方法都是在一定的條件下產(chǎn)生，因此必然有局限性。平均變化率也一樣，有時(shí)它不夠用了。提出有關(guān)于高速公路的例子： 
     有一條新造的高速度公路，高速交警為了保證行駛安全，要控制汽車(chē)行駛
速度，于是采用計(jì)時(shí)的方法，記錄汽車(chē)在起點(diǎn)和終點(diǎn)的時(shí)間，計(jì)算車(chē)輛的平均速度。于是問(wèn)題產(chǎn)生了…… 
 問(wèn)題3：駕駛員在途中開(kāi)得很快，但到了終點(diǎn)的收費(fèi)處旁等待，到了時(shí)間以后才開(kāi)出高速公路。如果你是交警，那么你將如何解決這個(gè)問(wèn)題？ 
設(shè)計(jì)意圖：利用學(xué)生熟悉的生活背景，使學(xué)生能夠想到，需要在途中增加監(jiān)控設(shè)備，縮短計(jì)算平均速度的時(shí)間間隔，才能解決問(wèn)題。以學(xué)生的生活背景設(shè)置問(wèn)題，使學(xué)生感知抽象的數(shù)學(xué)概念的形成，也是來(lái)源于生活的需要。 
   問(wèn)題4：一種稱(chēng)為“電子狗”的產(chǎn)品出現(xiàn)了。司機(jī)只要在監(jiān)控設(shè)備有效的監(jiān)控范圍內(nèi)控制速度，在監(jiān)控范圍外就可以任意超速而不受處罰。那么你又有什么好的對(duì)策嗎？ 
 設(shè)計(jì)意圖：預(yù)設(shè)學(xué)生會(huì)回答兩種方法。第一，進(jìn)一步縮短監(jiān)控的范圍，可以增加監(jiān)控設(shè)備。但是監(jiān)控設(shè)備不能無(wú)限增加，于是也可以增加流動(dòng)監(jiān)控設(shè)備，造成全程監(jiān)控的假象。第二，真正實(shí)行全程監(jiān)控，利用GPS行車(chē)記錄儀，記錄汽車(chē)在行駛過(guò)程中每一個(gè)“瞬間”的速度，使汽車(chē)在每一個(gè)瞬間都不超速。從而引出“瞬時(shí)速度”的問(wèn)題。 
問(wèn)題5：什么是運(yùn)動(dòng)物體“瞬時(shí)速度”？ 
設(shè)計(jì)意圖：先由學(xué)生回答，讓學(xué)生充分暴露其想法。教師順勢(shì)利導(dǎo)，幫助學(xué)生形成瞬時(shí)變化率的概念。 
   為了研究和回答這個(gè)問(wèn)題，同樣我們可以在一個(gè)實(shí)例的背景中討論這個(gè)問(wèn)題。   問(wèn)題6：人們發(fā)現(xiàn)，在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度h（單位：
m）與起跳后的時(shí)間t（單位：s）存在函數(shù)關(guān)系：105.69.4)(2ttth。你能否知道起跳后大約2s左右，這個(gè)運(yùn)動(dòng)員的速度嗎？ 
 
                    
             
                    
                             
5 
 教學(xué)過(guò)程中可以設(shè)置以下幾個(gè)環(huán)節(jié)： （1）2s左右怎樣表示？ 
   用t表示“瞬間”的時(shí)間，那么2s左右可以表示為[2，t2]（0t），或者[t2，2]（0t）。 （2）在2s“瞬間”的平均速度是：t
hth)
2()2(，這個(gè)平均速度與t的正負(fù)
有關(guān)嗎？ 
（3）當(dāng)“瞬間”越來(lái)越小時(shí)，
t
hth)
2()2(還有意義嗎？ 
即當(dāng)0t時(shí)，t
hth)
2()2(還有意義嗎？如果我們將0t直接代入這個(gè)
式子，將會(huì)出現(xiàn)0
0
的不定型，怎么辦？ 
（4）我們可以對(duì)t
hth)
2()2(作小小的變形，以看清楚它。 
 thth)2()2(＝
tt
t
tt9.41.135.6)4(9.4，從分母中消去了t，這個(gè)非常好，去掉了給我們?cè)斐陕闊┑膖。現(xiàn)在我們可以將0t代入得到
1.13。 
（5）過(guò)程0t，有
1.13)
2()2(t
hth，這表示什么意思？ 
引導(dǎo)學(xué)生回答：表示“當(dāng)2t，0t時(shí)，平均速度t
hth)
2()2(趨近于
確定值1.13。這是一個(gè)時(shí)間間隔趨近于0的過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中，
t
hth)
2()2(趨近于一個(gè)確定的值，這個(gè)值我們就可以認(rèn)為在2t時(shí)的“瞬時(shí)速度”，也叫做
0t時(shí)，式子
thth)2()2(的極限。記作1.13)
2()2(lim
0t
htht。 （三）歸納抽象，形成概念 
問(wèn)題6：依照前面的問(wèn)題，你能給出函數(shù))(xfy在0xx處的瞬時(shí)變化率的定義嗎？ 
設(shè)計(jì)意圖：至此形成函數(shù)瞬時(shí)變化率概念已經(jīng)水到渠成。我們所需要的是進(jìn)行符號(hào)語(yǔ)言上的抽象與規(guī)范。 
  一般地，函數(shù))(xfy在0xx處的瞬時(shí)變化率是 
xxfxxfxy
xx)()(limlim
0000， 
 
                    
             
                    
                             6 
我們稱(chēng)它為函數(shù))(xfy在0xx處的導(dǎo)數(shù)（derivative）， 記作)(0xf或0|xxy 即 )(0xf＝x
xfxxfxy
xx)()(limlim
0000。 
（四）回顧總結(jié)，體驗(yàn)文化 
  在短短的幾十分鐘里，我們一起經(jīng)歷了歷史上偉大人物發(fā)明微積分所做工作。微積分是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是科學(xué)發(fā)展的基石。 
請(qǐng)你總結(jié)刻畫(huà)變化規(guī)律的不同方法，并說(shuō)說(shuō)其中的基本思想。 
微分、逼近、極限的思想就是為了對(duì)于“無(wú)限”的征服。“數(shù)學(xué)是定義無(wú)限的本質(zhì)的科學(xué)”，研究無(wú)限是微積分發(fā)展的原動(dòng)力。 
   牛頓和萊布尼茨在17世紀(jì)分別獨(dú)立地建立了微積分。牛頓研究微積分著重于從運(yùn)動(dòng)學(xué)來(lái)考慮，萊布尼茨卻是側(cè)重于幾何學(xué)來(lái)考慮。牛頓建立了無(wú)窮小概念，從面奠定了微積分的基礎(chǔ)，導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念。 
  牛頓（Isaac Newton，1642—1727，英國(guó)），被譽(yù)為人類(lèi)歷史上最偉大的科學(xué)家之一，他創(chuàng)立了微積分，并且構(gòu)筑了力學(xué)的大廈。 
萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646-1716，德國(guó)），是德國(guó)最重要的數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家，一個(gè)舉世罕見(jiàn)的科學(xué)天才，和牛頓同為微積分的創(chuàng)建人。他所創(chuàng)設(shè)的微積分符號(hào)遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓的符號(hào)，這對(duì)微積分的發(fā)展有極大的影響。   有興趣的同學(xué)課后可上網(wǎng)查閱有關(guān)微積分創(chuàng)建的故事，了解微積分創(chuàng)建的意義和偉大功績(jī)。 
設(shè)計(jì)意圖：微積分的創(chuàng)立是人類(lèi)的一個(gè)偉大創(chuàng)舉，推動(dòng)了時(shí)代的發(fā)展，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)巨大而又廣泛的應(yīng)用。微積分的創(chuàng)立不僅是數(shù)學(xué)思想史的里程碑，也是科學(xué)思想史上的里程碑。體會(huì)微積分的創(chuàng)立與人類(lèi)科技發(fā)展的緊密聯(lián)系。

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