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視頻標簽：圓與方程復習課,阿波羅尼斯圓
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：人教版高二數學必修2中第四章圓與方程復習課《阿波羅尼斯圓及其應用》湖南
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第四章圓與方程復習課《阿波羅尼斯圓及其應用》湖南省漣源
阿波羅尼斯圓及其應用
（必修二第四章圓的方程復習參考題）
一、教學設計思想
在解析幾何中，我們經常會遇到一些有關圓的定點，定值類問題，而這些問題中有一種情形就是著名的阿波羅尼斯圓問題。在歷年高考中，以阿波羅尼斯圓為背景的考題頻頻出現，。因此有必要對阿波羅尼斯圓進行進一步的探究。 二、教學目標
【知識與技能】
1. 了解阿波羅尼斯圓及其文化背景，掌握阿波羅尼斯圓的定義及特征； 2. 能用阿波羅尼斯圓進行簡單的應用。
【過程與方法】
1. 培養學生觀察、思考、分析、猜想的能力，體會由特殊到一般的思維方法。 2. 初步體會軌跡方程思想、轉化與化歸思想。
【情感態度與價值觀】
1. 在引導學生通過自主探究，發現問題，解決問題的過程中，激發學生的學習熱情和求知欲，體現學生的主體地位，提高學生學習數學的興趣。 2. 體驗規律發現的快樂。
三、重點與難點
教學重點：阿波羅尼斯圓概念的理解及其應用；
教學難點：阿波羅尼斯圓的軌跡方程的推導與應用。 四、教學方法與教學手段
教學方法：引導探究法；教學手段：采用多媒體教學。 五、教學過程設計
(一)問題引入
1、
（1） 用幾何畫板進行動畫演示
結論1：M的軌跡是一個圓
12, ,, (11).MMMmMmm 已知點與兩個定點距離的比是一個正數求點的軌跡方程并說明軌跡是什么圖形考慮和兩種情形144PB2追本溯源：必修二復習參考題組第題121mMM分析：當時，表示線段的垂直平分線.1m下面我們只考慮時的情形14012:(2,0),(8,0),,5,.PQMPQMP、引例已知點點與點的距離是它與點的距離的用《幾何畫板》 探求的軌跡并給出軌跡方程（信息技術應用）
2
（2） 回顧求動點軌跡方程的一般步驟：建系、設點、列式、化簡
結論2：①M的軌跡仍然是一個圓 ②圓心在線段的延長線上
（二）探究新知
1、阿波羅尼斯圓的概念
（1）定義
（2）人物簡介：
（3）注意事項：① ②
③ 2、阿波羅尼斯圓的方程推導
MPMQ
（3） 改變的值進行動畫演示.
12, ,, (11).
MMMmMmm3、問題解決：
已知點與兩個定點距離的比是一個正數求點的軌跡方程并說 明軌跡是什么圖形考慮和兩種情形1212(.,,2.)MMxyMMa以線段所在直線為軸中垂線為軸建立平面直角坐標系設＝12(1)1,0,mxMM當時軌跡方程：表示線段的中垂線.
2222
2222212(2)1,()()11
12(,0),11
mma
mxaymmmma
amm當時軌跡方程： 表示以為圓心以為半徑的圓.
(01)mmm平面內到兩個定點的距離之比為常數且的點的軌跡是圓.這個圓叫做阿波羅尼斯圓，簡稱為阿氏圓.01mm且.1221, 1,,01,MMmMmM圓心在兩定點所在的直線上且不在線段上.圓心在的右邊圓心在的左邊.
,m當1時軌跡為線段的垂直平分線.
1M2MM12, ,(1).MMMmMm 已知點與兩個定點距離的比是一個正數求點的軌跡方程2222
2212()()11
mmaxaymm軌跡方程：22
275:()()44
Mxy的軌跡方程為. (262190), , ,, , ,,, 阿波羅尼斯約公元前年古希臘著名數學家 與歐幾里得、阿基米德齊名.他的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果它將圓錐曲線的性質網羅殆盡幾乎使后人沒有插足的余地阿波羅尼斯圓是
他論著中的一個著名問題也是其研究成果之一。 《圓錐曲線論》是一部經典巨作書中蘊含坐標思想這給后世坐標的建立具有很大的啟發。.
3
（三）阿波羅尼斯圓的應用
總結：已知兩定點和比值可以求阿氏圓的方程
總結：已知一定點、阿氏圓和比值可以求另一定點.
總結：已知兩定點和阿氏圓和可以求比值.
(四)課堂小結
1、一個概念
2、兩種思想：方程思想、轉化思想 3、三類問題：軌跡、定點、定值
(200813)2,2,.
ABCABACBCS例1江蘇卷若則最大值是______2(2013
), (0,3),,24, ,2, xOyACClyxCMMAMOCa例、年江蘇高考在平面直角坐標系中點圓的半徑為1圓心在直線 ：＝上若圓上存在點使得＝求圓心的橫坐標的取值范圍.
22
3(2,0),:(4)16,2, .
APCxyBPAPBB例、已知為圓=上任意一點若點滿足＝則的坐標為______:2,1,3,,MAABBCCDMBDMC練習若為以為直徑的圓上一點則＝_______.B
AC
22.CABS分析：點在以、為定點的阿波羅尼斯圓上，從而求
出的最大值為2222
()(24)1(1)4
12
3 [0].
5MCOADCxayaDxyCDa分析：點既在圓上，又在以、為定點的阿波羅尼斯圓上.
圓： 圓： 問題轉化為兩圓有公共點
所以1，從而求出的取值范圍為，x
O y
A
l
C
D
,
2,CABBxOAOBB分析：圓是以、為定點的阿波羅尼斯圓且在軸的正半軸上. 由得出點的坐標為（40）
y x
AO CP42
4
練習及作業
(五)教學設計感悟
本節課按照“創設情境---組織探索---知識應用”的教學模式,遵循“教師的主導作用和學生的主體地位相統一”的教學原則，設計“教材問題為載體，以學生中心，以方法構建和能力培養為目標”的教學思路，充分利用多媒體與信息技術進行輔助教學.學生思維活躍，求知欲強，但尚未具有良好的思維水平和學習習慣.因而我在教學中通過幾何畫板進行探索，引導學生通過觀察、思考、發現新知，突出重點、突破難點，在知識形成過程中初步體會軌跡方程、轉化與化歸等重要思想,以及從特殊到一般的思維方法。
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