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視頻標簽：對數的功績
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：人教B版高中數學必修一必修一第三章閱讀與欣賞—對數的功績-遼寧省 - 沈陽
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必修一第三章閱讀與欣賞———對數的功績
學科 數學
年級 高一 學校
教 學 目 標
知識目標：
1.能應用對數公式及對數表將乘、除、乘方、開方化為低一級的加、減、乘、除運算，減少計算量； 2.了解對數應用廣泛的原因是對數可將大數化小，小數變大，便于比較大小。
3. 了解用excel表格制作對數坐標系下的曲線圖方法,并了解半對數坐標系單位長度不一致的原因 能力目標：
1.通過對對數的功績的學習，知道對數的定義，加深對運算公式以及圖像性質的理解。 2.培養學生發現問題，分析問題，解決問題的能力。
重點 難點
通過學過的對數公式及圖像的性質,理解對數的應用
用對數公式及對數表將乘、除、乘方、開方化為低一級的加、減、乘、除運算，減少計算量
教具 多媒體，excel 教學方法
啟發式講授，探究學習
教 材 分 析
本節課選自人教B版《必修一》第三章末閱讀與欣賞。學生已經學習了對數以及對數函數，了解了對數定義，運算公式以及圖像性質。本節課雖然是對教學內容進行的數學史方面知識的拓展，但是闡述了對數的產生，發展的過程，更是應用了運算公式及性質，是第三章對數內容的總結更是對對數定義的補充。
學 生 情 況
對于剛上高一的學生，這種通過指數給出對數的定義方式太過于抽象和形式化。使得學生不但
對對數的概念很模糊，而且經常會出現錯用公式，例：logloglogaaaMNMN或
logloglogaaaMNMN等錯誤。
導致這些問題出現的主要原因是學生缺乏對對數產生、發展、作用的了解，教材編寫者在必修一第三章最后設置了閱讀與欣賞---對數的功績這一課程，就是想用這種有理有據、有血有肉的數學史，幫助老師解決這一難題。
設計思想與理論依據
《高中數學新課標》強調發展學生的應用意識，使他們能夠用數學的眼光進行思考找到數學應 用的契機．因此在對數教學中充分挖掘對數在各時期的功績，在生活中的應用，應用學生喜歡的“具
體思維”代替“抽象思維”，將數學知識與生活實際緊密地聯系起來，為學生創建一個發現 、探索的思維空間使他們能更好地去發現，去創造。
《考試大綱》能力要求中對創新意識的要求指出，對數學問題的“觀察、猜測、抽象、概括”是發現問題和解決問題的重要途徑，數學史中每一個概念的產生正式這樣一個過程。考察要求中對創新意識的考察指出，考試中要創設新穎的問題情境，構造有一定深度和廣度的數學問題，所以近年高考題中創新問題多是以數學史為背景的，可見將數學史融入數學教學中的重要性！
教 學 流 程 示 意 圖
板 書 設 計
標題：對書的功績
簡化計算：把高一級的乘、除、乘方、開方運算分別轉化為低一級的加、減、乘、除運算 對數 比較大小：把大數化小，小數變大方便比較 原理：圖像隨著x增大，由陡變緩 對數坐標系：數據成指數形式增長 例1： 例2：
教學過程
教學階段
教學內容 設計意圖
導入
新課 【師】 請大家看一段視頻.這是電影《流浪地球》的片段，電影講述的是地球要逃離太陽系，飛往距離4.2光年的半人馬α星系，用第三大星比鄰星作為新的太陽，歷時2500
年，為什么這么久呢？并不是地球飛的太慢，而是4.2光年太遠了，那么到底有多遠呢，
我們來計算一下！ 光在真空中的速度 299,792.458 km/s 二十九萬九千七百九十二點四五八千米每秒，一儒略年的總秒數31,557,600 s 天文學中一年三千一百五十五萬七千六百秒，一光年=299792.458× 31557600 一光年就是它們的乘積。如果讓大家筆算,你會算多久?
【生】一節課，算不出來
【師】讓我們看看，在沒有計算器的年代人么是怎么計算天文數字乘法的！ 興趣是最好的老師，通過學生感興趣的例子,引出天文數字乘法問題，體會運算之繁
導入新課 視 頻 播放電影《流浪地球》片段
激發興 趣 提出一光年=？ 299792.458×31557600 以對
數發展史為時間線
天文學 發展需求
納皮爾發明對數
布里格斯 常用對數表
歐拉明確 指對關系
探索發現 圖 文 對數產生的原因及運 算原理 更廣泛
的應用 體會運 算之簡
納皮爾發明
對數,簡化計算 應用對數表已知 細菌體積求半徑 0.00000000398與 0.000000000398區別 例題1
體會對數表的妙用應用對數運算公式 獨立思考 學生做答
觀察思考 對數妙用 =-lgH
化學中應用可將小數變大PH例題2 圖 Jpg
不同等級地震及破化程度區別 小組討論學生做答
Excel繪制航空發動
機葉片溫度-壽命曲線 lg=4.81.5地震學應用
可將大數變小EM例題3 獨立思 考
體會對數坐標系的妙用及單位長度不一致的原理
x
y
y=lgx
O
探 索 發 現
1543年，哥白尼公布了“日心說”，證明了地球繞著太陽轉的事實，伽利略 1609年創制了天文望遠鏡，算出了太陽的自轉周期……
天文學的迅速發展使得大規模數學計算的需求變得非常迫切。但是由于當時常量數學的局限性，天文學家不得不花費很大的精力去計算復雜的天文數字。因此浪費了若干年甚至畢生的寶貴時間。
這時，蘇格蘭數學家約翰納皮爾解決了這個計算難題，他發明了對數，拯救了全世界！
納皮爾也是當時的一位天文愛好者，為了簡化計算，他用20年時間潛心研究大數字的計算技術，終于獨立發明了對數,于1614年出版了《奇妙的對數定律說明書》 ,造出了以1/e為底的8位對數表。
當然，納皮爾所發明的對數，在形式上與現代數學中的對數理論并不完全一樣。在納皮爾那個時代，“指數”這個概念還尚未形成，因此納皮爾并不是像現行代數課本中那樣，通過指數來引出對數，而是通過研究直線運動得出對數概念的。那么，當時納皮爾所發明的對數運算，是怎么一回事呢？在那個時代，計算多位數之間的乘積，還是十分復雜的運算，因此納皮爾首先發明了一種計算特殊多位數之間乘積的方法。讓我們來看看下面這個例子
64對應6，256對應8；然后再把第一行中的對應數字加和起來：6+8=14；第一行中的14，對應第二行中的16384，所以有：64×256=16384。 將對數加以改造使之廣泛流傳的是納皮爾的朋友布里格斯（H.Briggs，
1561—1631），他通過研究《奇妙的對數定律說明書》，感到其中的對數用起來很不方便，于是與納皮爾商定，使1的對數為0，10的對數為1，這樣就得到了以10為底的常用對數。由于所用的數系是十進制，因此它在數值上計算具有優越性。1624年，布里格斯出版了《對數算術》，公布了以10為底包含1~20000及90000~100000的14位常用對數表。 引出對數產生的原因，天文學發展的需要
對數史發展第一階段，對數概念的產生
有了這個表格，5秒鐘就能準確的算出這兩個數
的乘積，
體會運算之
簡
對數史發展第二階段對數表產生 例 題 講 解
對數可以把高一級的乘、除、乘方、開方運算分別轉化為低一級的加、減、乘、除運算。進行大量的計算時，對數的這種功能，可使效率成倍地提高。
一光年等于九萬四千六百億千米。
例1 在我們體內，繁殖著一些讓我們生病的細菌。某種球菌的體積
-193
=1.110Vcm求這種細菌的半徑r？
對數的最大功績就是簡化計算，這也是他產生的原因！
loglogloga
aaMMNNloglog()naaMnMnRlogloglogaaaMNMN
1
lglg3lglg4lg3rV
1
lg3lg1.119lg4lg3
1
0.47710.0414190.60210.496936.5268
7lg2.9872.9810rcm
由于對數的發展早于指數，人們對對數的認識，只停留在簡化計算上，對其他性質并不了解。
直到瑞士大數學家歐拉，理順了指數與對數的關系，提出“對數源于指數”之后，對數才被世人廣泛接受。 隨著計算工具的不斷變革與普及，對數表逐漸淡出了人們的視野，我們若要算
x=lg964的近似值,只需在計算器上按6個按鍵即可。
但這段橫跨200多年，跌宕起伏，動人心魄的發展史仍耐人尋味。 如今，對數仍然在很多領域發光發熱！
比較大小
【師】 你知道下面兩個數字的差異嗎？
0.0000000398 與0.00000000398 會導致有人游泳后眼睛變紅嗎？
【生】驚詫，不知如何回答！
氫離子濃度指數，一般稱為“pH”，是1909年由丹麥生物化學家 斯溫·彼得·索倫森提
出。
【師】對數可以使小數變大方便比較，還可以使大數變小！
【師】觀察2019年5月18日吉林松原5.1級地震與電影《末日崩塌》9.6級超級地震
的動態圖片，從數字上看，級數差了4.5，為什么損毀程度差那么多?釋放能量差4，5
倍嗎？
【生】不是吧！差很多！
例2.地震的級數就是當地震發生時，以地震波的形式放出的能量的指示參數
地震能量E與里克特級數M關系式：lgE=4.8+1.5M
其中M為里克特級數，是由美國地震學家里克特和古登堡于1935年所制定，它直
接同震源中心釋放的能量（熱能和動能）大小有關，震源放出的能量越大，震級就越大。
例2.假定第1級地震所釋放的能量為k，
問:第2級地震所釋放的能量為 _____ k
第3級地震所釋放的能量為_____ k
第5級地震所釋放的能量為_____ k
【師】為什么對數可以使大數變小，沒有使0~1之間的小數變得更小，而是變大了呢？
【生】圖像先陡后緩
例3.下表數據為航空發動機 葉片的工作溫度與對應壽命
對數史發展第三階段歐
拉明確指對關系 選取沖擊力
極大0很多
的兩個數比
較，以及生
活中關注的
地震的例子，吸引學
生注意，引
發學習興趣
問題是思維
的我心臟，
有了合適的
例子，學生
的思維才會
打開！
將對數功績
巧妙與對數
性質相結合
舉一個高科
技的例子，
=-lgHPH0018565lg2,010lg.. lg mImICCdBdBIIxIxIEHSkI
SKI年，柏格森公式中對星體的等級和星體的亮度之間的關系式表示如下： 為常數 表示聲音的大小，使用單位分貝的聲音強度為強度的聲音大小公式為：韋伯定律，德國生理學家韋伯通過對重量差別感覺的研究發現的一條定律，公式：（為感覺量、為常數、為物理量）
其含義是感覺量與物理量的對數值成正比。
x y y=lgx O
課 堂 小 結
溫度K 壽命（循環次數） 2200 10000 2000 100000 1800 1000000 1600 10000000 1400 100000000 1350 10000000000
請用excel作出發動機葉片溫度-壽命曲線，并估計出葉片工作溫度為1700K時的壽命？（K為熱力學溫度單位，開爾文開氏溫度）
【師】我們打開excel這是老師根據數據畫出的壽命曲線，大家仔細觀察，發現一什么問題？
【生】都在一條豎線上
【師】由于壽命的數據成10的指數冪形式的增長，為了畫出這6個點，途中選取了2億為一個單位長，所以1萬，10萬，100萬幾乎在同一點上，體現不出變化規律，更無法找出1700k的壽命，說明普通的坐標系不能滿足我們的要求！我們來思考一下，什么能把大數據壓縮，還不改變原數據性質，
【生】對數！
Excel中專門有選項畫對數坐標系下的圖像，可見對數坐標應用之廣泛
普通坐標系（笛卡爾坐標系） 1200
13001400150016001700180019002000210022002300
10,000
100,0001,000,00010,000,000100,000,0001,000,000,00010,000,000,000
發動機葉片溫度-壽命曲線
半對數坐標系
構建知識框架
對數的神奇，社會各界給予了高度的評價
偉大的導師恩格斯在他的著作《自然辯證法》中，曾經把笛卡爾的坐標、納皮爾的對數、牛頓和萊布尼茲的微積分共同稱為十七世紀的三大數學發明。
法國著名的數學家、天文學家拉普拉斯曾說對數可以縮短計算時間，“在實效上等于把天文學家的壽命延長了許多倍。
伽利略甚至說：“給我空間、時間及對數， 我即可創造一個宇宙。”
老師也給了大家對數以及對數的功績,希望大家看到一個不一樣的數學世界!
也是工科學生以后工作會接觸的例子，引出對數坐標系
應用excel
表中有專門繪制對數坐
標系的例子，說明對數坐標應用之廣泛
解釋對數坐
標系單位長度不一致這個問題，進一步了解對
數坐標系
通過為人們對對數的高度評價，提高學生學習的興趣！
教 學 反 思 總 結
本節課設置了兩個對數計算的環節，一是對數產生于此，二是學科素養數學運算素養中指出“數學運算是數學活動的基本形式，是得到數學結果的重要手段”使學生們能夠發展運算能力，有效地解決實際問題。
對數的出現，源于航海、天文等方面計算的需求。困擾高一學生的深奧抽象的對數理論，其起源卻是樸素的，因而更能貼近學生的思維，打動學生的心靈。
數學的歷史是圍繞著一個課題，由眾多數學家刻苦研究從而揭示一個個規律性原理的演繹推理過程。
偉大的科學家牛頓說：“如果我比別人看得更遠些，那是因為我站在了巨人的肩膀上”，如果我們也站在巨人的肩膀上，就可以用更長遠更開闊的視野去了解數學世界。
視頻來源：優質課網 www.jixiangsibao.com
