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熱門關(guān)鍵詞： 小學(xué)四年級語文 三角形 三角形 八年級歷史 搖籃曲 端午節(jié)的由來
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視頻標(biāo)簽：直線與圓的,位置關(guān)系
所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：高中數(shù)學(xué)人教A版必修24.2.1直線與圓的位置關(guān)系-洛陽理工附中
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高中數(shù)學(xué)人教A版必修24.2.1直線與圓的位置關(guān)系-洛陽理工學(xué)院附屬中學(xué)
直線和圓的位置關(guān)系
【教學(xué)目標(biāo)】
1.知識與技能：掌握根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷它們的位置關(guān)系的方法；熟練運用直線和圓的位置關(guān)系解決相關(guān)問題；培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想解題的能力、收集信息和語言表達(dá)的能力，以及觀察、分析、概括和知識遷移的能力；
2.過程與方法：通過觀察現(xiàn)實生活中的問題情境，將之化歸為判斷直線和圓的位置關(guān)系問題，學(xué)生獨立探究利用方程判斷直線和圓位置關(guān)系的方法，并運用方法解決相關(guān)問題，逐步體會用代數(shù)法處理幾何問題的思想；
3.情感、態(tài)度與價值觀：讓學(xué)生從運動的觀點來研究直線和圓相交、相切、相離的關(guān)系，樹立辯證唯物主義觀點；關(guān)注知識的生成過程，使學(xué)生養(yǎng)成問問題的習(xí)慣及勇于發(fā)現(xiàn)，主動探索的精神，讓學(xué)生感受學(xué)習(xí)的成功與快樂，不斷調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性． 【教學(xué)重點與難點】
重點：利用方程判斷直線和圓的位置關(guān)系的方法 難點：直線和圓的位置關(guān)系判斷方法的運用 【學(xué)情分析】
學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過直線和圓的位置關(guān)系的定義及判斷方法，本節(jié)課的重點是要利用直線和圓的方程來判斷它們的位置關(guān)系．不論是判斷公共點的個數(shù)，還是比較圓心到直線的距離與半徑的大小，都要與方程聯(lián)系起來，探究解決問題的方法，建立用代數(shù)方法解決幾何問題的思路． 【教學(xué)情景設(shè)計】
1.引入：
數(shù)學(xué)來源于生活，服務(wù)于生活．現(xiàn)實中的很多問題都可以用數(shù)學(xué)知識來解決．來看一個實際問題：一個小島的周圍有環(huán)形暗礁，暗礁分布在以小島的中心為圓心，半徑為30km的圓形區(qū)域．已知小島中心位于輪船正西70km處，港口位于小島中心正北40km處．如果輪船沿直線返港，那么它是否會有觸礁危險？
顯然這需要判斷直線和圓有無公共點，它們的位置關(guān)系的問題． 2.復(fù)習(xí)：
由平面幾何知，直線和圓有三種位置關(guān)系，定義如下： ①直線和圓相交，有兩個公共點； ②直線和圓相切，只有一個公共點； ③直線和圓相離，沒有公共點.
思考：在初中，我們怎樣判斷直線與圓的位置關(guān)系呢？通過比較圓心到直線的距離與半
O
港口
輪船
2
徑的大小得出直線和圓的位置關(guān)系：相交時，dr；相切時，dr；相離時，dr．
利用平面幾何的知識，能夠解決這個問題嗎？此處可提問 學(xué)生回答解題思路：連接A、B兩點，直線AB和圓O沒有公 共點，所以輪船沒有觸礁危險；或在RtAOB中，利用勾股定 理求出AB，再用“等面積法”求出圓心O到直線AB的距離， 并與半徑比較大小，可以判斷出直線AB和圓O的位置關(guān)系．
3.探究新知：
能不能利用直線的方程和圓的方程判斷它們之間的位置關(guān)系？
例1：已知直線:360lxy和圓心為C的圓2
2
240xyy，判斷直線l與圓的位置關(guān)系；如果相交，求它們的交點坐標(biāo)．
怎樣將初中平面幾何的知識和方程的知識結(jié)合起來解決這個問題？學(xué)生思考討論，聯(lián)系前面求兩直線交點、點到直線的距離公式等知識，探索得出本題思路．
提問學(xué)生，可能有如下兩種解題思路：
思路一：可以將直線和圓的方程聯(lián)立成方程組，消元得到關(guān)于x的一元二次方程
2320xx，利用判別式判斷方程有兩個解，也就是方程組有兩組解，就可以判斷直線
和圓有兩個公共點，得出位置關(guān)系是相交．
思路二：可以把圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)式得到圓心坐標(biāo)為0,1，半徑為5，再利用點到直線的距離公式，就可以求出5
10
d
，dr，可判斷直線和圓的位置關(guān)系是相交． 進一步，要求出交點坐標(biāo)，需要求出方程組的解．由2
320xx，解得122,1xx，
把12x代入直線方程，得10y；把21x代入直線方程，得23y；所以，它們的交點坐標(biāo)分別是2,0,1,3AB．
教師配合學(xué)生分析，在課件中演示本題的解答過程．強調(diào)解題過程中的關(guān)鍵點，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)方法步驟，完整的寫出解題過程．
方法一：
①聯(lián)立直線和圓的方程，組成二元方程組；
②消元得一元二次方程，利用判別式判斷該方程解的個數(shù)； ③依據(jù)解的個數(shù)判斷直線和圓的位置關(guān)系. 方法二：
①確定圓心的坐標(biāo)及半徑，計算圓心到直線的距離； ②比較距離與半徑的大小； ③依據(jù)上述計算做出判斷.
上面的兩種方法雖然做法不同，但是本質(zhì)都是利用方程來判斷它們的位置關(guān)系，通過代數(shù)方法解決幾何問題，體現(xiàn)了“以數(shù)輔形”．
運用上述方法，再次嘗試解決一開始提出的實際問題，建立直角坐標(biāo)系，通過方程判斷
O
A
B
3
輪船是否有觸礁的危險．學(xué)生自己選擇一種方法解決．
解法一：以小島的中心為原點，東西方向為x軸，建立直角坐標(biāo)系，選取10km為單位
長度．則點7,0,0,4AB，則直線AB的方程為47280xy， 圓心0,0O，半徑3r，則圓O的方程為2
2
9xy，
圓心到直線的距離22
2828
365
47d
所以直線AB和圓O相離，輪船沒有觸礁危險.
解法二：以小島的中心為原點，東西方向為x軸，建立直角坐標(biāo)系，選取10km為單位長度．則點7,0,0,4AB，則直線AB的方程為47280xy， 圓心0,0O，半徑3r，則圓O的方程為229xy，
聯(lián)立方程得：22
47280
9
xyxy 消去y，整理得：2
652243430xx
2
2244653430
所以，此方程組無解，直線直線AB和圓O沒有公共點. 所以直線AB和圓O相離，輪船沒有觸礁危險.
對比發(fā)現(xiàn)，解方程組的方法在這個問題中計算較為復(fù)雜，沒有比較d和r大小的方法簡單，這也是練習(xí)過程中很少有學(xué)生選擇這個方法的原因．教師可將這種方法做一展示，引導(dǎo)學(xué)生作出選擇，只判斷直線和圓的位置關(guān)系，常選用比較d和r大小的方法，它的運算相對簡單．而在求交點坐標(biāo)時，必須通過求解方程組才能解決．
4.鞏固練習(xí)：
①判斷直線3420xy與圓2220xyx的位置關(guān)系．
②已知直線:2lyx，圓22
:240Cxyy，試判斷直線l與圓C有無公共點，
有幾個公共點，并求出公共點坐標(biāo)．
練習(xí)時注意選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎ焖俚亟鉀Q．
5.新知運用：
例2：已知過點3,3M的直線l被圓22+4210xyy所截得的弦長為45，求直線l的方程．
剛才的例1是已知直線和圓的方程，判斷它們的位置關(guān) 系，與例1相比，例2是已知位置關(guān)系是相交，反過來求直 線方程的問題．已知直線l過定點，要求直線l的方程，還需 要求直線的斜率，可以將其設(shè)為k．將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式
2
2
225xy，圓心0,2C，半徑為5，不妨作出如
圖所示的直線即為滿足條件的直線l交圓于A、B兩點．如何 求出直線AB的方程呢？
O
A
B
x
y
A
B
D
M
C
x
y
O
4
學(xué)生討論，嘗試演算，通過提問得出方法：設(shè)直線的方程為3(3)ykx．過點C作
AB的垂線，垂足為D，連接AC，利用垂徑定理，知道25AD，再用勾股定理，求
出CD，用點到直線的距離公式，表示d，這個dCD，得到關(guān)于k的方程，解方程求出k的值，最后求出直線方程．
在課件中配合學(xué)生回答，給出關(guān)鍵的解題步驟，留出時間讓學(xué)生算出答案，并最終展示出完整的解題過程，讓學(xué)生自己對比，或個別指導(dǎo)，改進完善自己的解答．
6.探究討論：
在例2中，我們設(shè)出了直線的斜率k，求出了兩條滿足題目條件的直線，然而直線的斜率可能不存在，會不會過點M的斜率不存在的直線也是滿足題意的呢？可以驗證一下．
作出過點M的斜率不存在的直線3x，圓心到這條直線的距離為3，半徑長度為5，所以這條弦的長度的一半為4，則弦長為845．所以這條直線不滿足題意．
引發(fā)討論：若直線l過定點M（點M與圓心不重合）,且被圓所截得的弦長為定值c,問這樣的直線l有幾條？請前后左右四人為一個小組討論，派出代表分析如下：如果給出的弦長最長，是直徑的長度，那就只有一條，就是MO；如果給出的弦長最短，也只有一條，就是與直徑MO垂直的弦CD．由于圓是一個軸對稱圖形，介于最短與最長之間的弦，一定有兩條．
今后這種類型的題目，可以先考慮斜率存在的情況，若求出的直線有兩條，就不用再考慮斜率不存在的情況；若求出的直線只有一條，就需要考慮斜率不存在的情況．
例2通過畫圖分析了思路，圖形幫助我們得到了解決問題的方法，這就是“以形助數(shù)”， 例1體現(xiàn)了“以數(shù)輔形”，例2體現(xiàn)了“以形助數(shù)”．這兩方面就是數(shù)學(xué)中常說的“數(shù)形結(jié)合”的思想． 【總結(jié)提升】
①學(xué)會了利用方程判斷直線和圓的位置關(guān)系的兩種方法； ②探究了如何將實際問題化為數(shù)學(xué)問題并加以解決； ③體會了“數(shù)形結(jié)合”思想的優(yōu)越性．
華羅庚先生說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休”． 【作業(yè)】
必做題：課本P132 習(xí)題4.2 A組第1,2,3題
選做題：已知圓2
2
:225Cxy的一條弦AB過點3,1，且長為4，求直線
AB的方程．
【教學(xué)評價與反思】
本節(jié)課重點是要熟練掌握利用方程判斷直線和圓的位置關(guān)系的基本知識和基本技能．通過一個實際問題引出判斷直線和圓位置關(guān)系的必要性，同時提出問題：怎樣利用方程來實現(xiàn)
5
這種位置關(guān)系的判斷．經(jīng)過例1、引入中的實際問題、兩個練習(xí)，學(xué)生由探究到嘗試到鞏固，能夠總結(jié)出方法，并且運用方法解決已知直線和圓的方程，判斷它們位置關(guān)系的問題．例2是已知位置關(guān)系，利用題目中給出的條件，求直線的方程的問題．通過適當(dāng)?shù)乩脠D形的幾何性質(zhì)，簡化了計算，求得直線的斜率．學(xué)生先探究得出思路，并解決問題．教師后提出有關(guān)斜率存在與否和滿足條件的直線的條數(shù)的問題，引發(fā)討論，得到一般情況下對此類問題的處理．教學(xué)過程始終貫徹以學(xué)生為主體的探究式學(xué)習(xí)，學(xué)生思考、探究、討論，獨立得出解決問題的思路并完成落實，總結(jié)出解題的一般步驟，教師只起到提出問題，適時提升的作用．
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