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視頻標簽：直線與圓的,位置關系
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學人教A版必修24.2.1直線與圓的位置關系-廣東省優課
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4.2.1 直線與圓的位置關系
一、教學分析
學生在初中的學習中已了解直線與圓的位置關系,并知道可以利用直線與圓的交點的個數以及圓心與直線的距離d與半徑r的關系判斷直線與圓的位置關系,但是,在初中學習時,利用圓心與直線的距離d與半徑r的關系判斷直線與圓的位置關系的方法卻以結論性的形式呈現.在高一學習了解析幾何以后,要考慮的問題是如何掌握由直線和圓的方程判斷直線與圓的位置關系的方法.解決問題的方法主要是幾何法和代數法.其中幾何法應該是在初中學習的基礎上,結合高中所學的點到直線的距離公式求出圓心與直線的距離d后,比較與半徑r的關系從而作出判斷.適可而止地引進用聯立方程組轉化為二次方程判別根的“純代數判別法”,并與“幾何法”欣賞比較,以決優劣,從而也深化了基本的“幾何法”.含參數的問題、簡單的弦的問題、切線問題等綜合問題作為進一步的拓展提高或綜合應用,也適度地引入課堂教學中,但以深化“判定直線與圓的位置關系”為目的,要控制難度.雖然學生學習解析幾何了,但把幾何問題代數化無論是思維習慣還是具體轉化方法,學生仍是似懂非懂,因此應不斷強化,逐漸內化為學生的習慣和基本素質.
二、教學目標
知識與技能：（1）認知和理解直線與圓的三種位置關系并能概括其定義 （2）掌握判斷直線與圓的位置關系的方法
（3）能熟練的解決直線與圓的弦長問題以及弦長所延伸的問題. 過程與方法：通過觀察、實驗、討論、合作研究等數學活動使學生了解探索問題的一般方法；由觀察得到“圓心與直線的距離和圓半徑大小的數量關系對應等價于直線和圓的位置關系”，揭示直線和圓的位置關系，實現位置關系和數量關系的結合，滲透轉化及數形結合的數學思想。
情感態度與價值觀：創設問題情景，激發學生好奇心；體驗數學活動中的探索與創造，在學習活動中獲得成功的體驗；通過“轉化”、“數形結合”等數學思想的運用，讓學生認識到事物之間是普遍聯系、相互轉化的辨證唯物主義思想。
三、教學重、難點
重點：（1）理解直線與圓的位置關系與判定；
（2）掌握直線與圓的位置關系的簡單運用（弦長問題） 難點：（1）用代數法和幾何法判斷直線與圓的位置關系； （2）直線與圓的位置關系的簡單運用（弦長問題）
四、教學方法
自學、引導、探究、交流、展示、講解、練習等（以學生為主體）
2
五、教學過程 教學環節
教學內容
師生互動 設計意圖
創設情景 引入新課 1．通過多媒體展示海上日
出時的情景，讓學生觀察海
平面水平線和太陽的位置
關系，回顧初中學過的平面
幾何中，直線與圓都有哪些位置關系？
師：引導學生觀察圖形，導入新課.生：看圖，并說出自己的看法. 通過觀察讓學生復習回顧舊的知識，
體會到數學來源于生活，使
學生回憶初中
的數學知識，培養抽象概括能力。
概念形成
2．直線與圓的位置關系有
哪幾種呢？三種
（1）直線與圓相交，有兩個公共點.
（2）直線與圓相切，只有一個公共點.
（3）直線與圓相離，沒有公共點.
師：引導學生利用類比、歸納的思想，總結直線與圓的位置關系的種類，進一步深化“數形結合”的數學思想.生：觀察圖形，利用類比的方法，歸納直線與圓的位置關系.
得出直線與圓的位置關系的幾何特征
與種類. 學習目標
3．學習目標
(1)通過觀察圖像，認知和理解直線與圓的三種位置關系
(2)通過典例探究，掌握判斷直線與圓的位置關
系的方法；能利用直線與圓的位置關系解決直線與圓的弦長問題
(3)通過學習體會用代數方法處理幾何問題的數學思想 師：展示本節課的學習目標，請學生齊聲朗讀
生：齊聲朗讀學習目標。
學習目標
的給出，有利于學生對課堂整體的把握。
探究新知 4．如何用直線與圓的方程判斷它們之間的位置關系呢？
5．你能說出判斷直線與圓的位置關系的兩種方法嗎？
方法一：利用圓心到直線的
距離d.方法二：利用直線與圓的交點個數.
師：引導學生探究直線與圓的位置關系的判定方法；并從幾何的角度及通過方程的角度說明判定方法。
生：利用圖形，尋找兩種方法的數學思想。
通過小組討論，讓學生學會合作交流，抽象判斷直線與圓的位置關系的思路與方法，體會數學的樂趣，并學會一題一總結，提高合作意識，培養歸納能力。兩種方法的選
3
擇，體驗各自的優越性和其中蘊含的思想方法
例題與練習
6．你能用兩種判斷直線與圓的位置關系的數學思想解決例1的問題嗎？
例1 已知直線l ：3x + y– 6 = 0和圓心為C的圓x2 + y2–2y– 4 = 0，判斷直線l 與圓的位置關系
分析：方法一：由直線l 與圓的位置關系，就是看由它們的方程組成的方程組有無實數解；方法二，可以依據圓心到直線的距離與半徑長的關系，判斷直線與圓的位置關系.
7．通過學習例1，你能總結一下判斷直線與圓的位置關系的步驟嗎？
師：多媒體展示例1，指導學生分別運用兩種判定方法完成，叫學生板演解題過程 生：認真完成例1，板演解題過程.例1 解法一：由直線l 與圓的方
程，得消去y，得x2– 3x + 2 = 0，因為△= (–3)2– 4×1×2 = 1＞0
所以，直線l與圓相交，有兩個公共點.
解法二：圓x2 + y2–2y– 4 = 0可化為x2 + (y– 1)2 =5，其圓心C
的坐標為（0，1），半徑長為，點C (0，1)到直線l 的距離
d =
＜.
所以，直線l 與圓相交，有兩個公共點.
師：分析點評例1解答過程；啟發學生概括判斷直線與圓的位置關系的基本步驟，注意給學生留有總結思考的時間.
生：交流自己總結的步驟. 師：展示解題步驟.
體會判定直線與圓的位置關系的思想方法，關注量與量之間的關系.
使學生熟悉判定直線與圓的位置關系的基本步驟.
8．隨堂訓練1
1、直線3x+4y+2=0與圓
0222xyx的位置關
系是
2、直線3x-4y+6=0與圓
03222yx的位
置關系是（ ） A.相切 B.相交但不過圓心 C.相交且過圓心 D.相離
師：引導學生完成練習題．提
問回答
生：互相討論、交流，完成練習題．
鞏固所學
過的知識，進
一步理解和掌
握直線與圓的
位置關系. 22
360
240
xyxyy
522
|3016|
510
31
5
4
9．通過學習例2，你能說明例2中體現出來的數學思想方法嗎？ 例2已知直線l ：3x + y– 6 = 0和圓心為C的圓x2 + y2–2y– 4 = 0相交與A、B
兩點，求弦AB的長.
方法1：先求出交點坐標，
根據兩點間距離公式求解； 方法2：利用點到直線的距
離公式，根據弦心距，半徑
長求解
師：多媒體展示例2指導學生閱讀并完成，啟發學生利用“數形結合”的數學思想解決問題.
生：閱讀例2，并完成 例2 解法一：由直線l 與圓的方程，得消去y，得x2– 3x + 2 = 0，由x2–3x + 2 = 0，解得x1 =2，x2 = 1.把x1=2代入方程①，得y1= 0；把x2=1代入方程①，得y2= 0；所以，直線l 與圓兩個交點的坐標分別是A (2，0)，B (1，3).22
||(30)(21)10AB解法二：圓x2 + y2–2y– 4 = 0可化為x2 + (y– 1)2 =5，其圓心C的坐標為（0，1），半徑r長為，點C (0，1)到直線l 的距離
d =
22||210
rABd
師：引導并啟發學生探索直線與圓的相交弦的求法.
生：通過分析、抽象、歸納，得出相交弦長的運算方法.
進一步深
化“數形結合”
的數學思想.
明確弦長
的運算方法，總結出解決弦
長問題的基本
解題思路
課堂小結
10．課堂小結：
教師提出下列問題讓學生思考：
（1）通過直線與圓的位置關系的判斷，你學到了什
么？
（2）判斷直線與圓的位置關系有幾種方法？
（3）如何求出直線與圓的相交弦長？ 師生共同回顧
學生學會回顧、反思、總結形成知識體系，培養自主學習的能力.
課后作業
11．布置作業：
作業“自助餐”分為：必做
題、選做題
必做題：P132.習題4.2A 1、
學生獨立完成
鞏固所學知識,檢驗學生運用知識水平，了解教學
22
360
240xyxyy522
|3016|
510
31
① ②
5
5
選做題：P132.習題4.2A 6
效果.
五、板書設計
4.2.1 直線與圓的位置關系 1、直線與圓的位置關系 1）相交，有兩個公共點. 2）相切，只有一個公共點. 3）相離，沒有公共點
2、判定直線與圓的位置關系的方法 1）代數法 2）幾何法 3、求圓的弦長的方法 1）代數法 2）幾何法
課后練習：
1、已知動直線l：y＝kx＋5和圓C：(x－1)2＋y2＝1，則當k為何值時，直線l與圓C相離？相切？相交？
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