視頻簡介：
視頻標簽：弧、弦,圓心角
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：人教版9年級上冊數學第二十四章24.1.3《弧、弦、圓心角》陜西
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24.1.3 弧、弦、圓心角
一、教學目標及重難點
1、學習目標：
（1）、理解圓心角的概念和圓的旋轉不變性.
（2）、利用圓的旋轉不變性，探究并得出弧、弦、圓心角的關系，并能正確推理論證。
（3）、通過觀察、比較、推理、歸納等活動，發展推理能力以及概括問題的能力。
2.學習重、難點：
重點：探索關系定理并利用其解決相關問題.
難點：定理中條件的理解及定理的探索.
二、學習過程：
1、思考：
① 剪一個圓形紙片，把它繞圓心旋轉180°和任意角度，觀察旋轉前后的兩個圖形是否重合，并填空：圓是 對稱圖形， 是它的對稱中心；把圓繞著圓心旋轉任意一個角度，旋轉之后的圖形都與原圖形重合.
② 的角叫做圓心角.
2、探究：
如圖，∠AOB=∠A′OB′，
那么，AB= A′B′, =
圓心角定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等.
幾何語言：∵ ∠AOB=∠A′OB′，
∴ AB= A′B′, =
結論1：在在同圓或等圓中，兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中如果有一組量相等，則它們所對應的其余各組量都 .
結論2：在在同圓或等圓中，兩個圓心角、兩條弧、兩條弦、兩條弦心距中如果有一組量相等，則它們所對應的其余各組量都 。（知一得 ）
小結：在同圓或等圓中,如果
兩個圓心角,
②兩條弧,
③兩條弦,
④兩條弦心距 中,
有一組量相等,那么它們所對應的其余各組量都分別相等.
三、隨堂檢測(時間：12分鐘滿分：100分)
1.(10分)如圖，AB是⊙O的直徑，
,∠AOE=72°，則∠COD的度數是( )
A．36° B．72° C．108° D．48°
2.(15分)如圖，已知AB是⊙O的直徑，C、D是半圓上兩個三等分點，則∠COD=
3.(15分)如圖，在⊙O中，點C是的中點，∠A=50°，
則∠BOC=
4. (15分) 如圖，在⊙O中，AB=AC，∠C=75 ，
求∠A的度數.
5. (15分)如圖，在⊙O中，AD=BC，求證：AB=CD.
（二）、綜合應用(20分)
6．（20分） 如圖，A、B是⊙O上的兩點∠AOB=120°，
C是AB的中點，
求證：四邊形OACB是菱形.
三、拓展延伸(10分)
7.(10分)如圖，在⊙O中，弦AB與CD相交于點E，AB=CD．
(1)求證：△AEC≌△DEB；
(2)點B與點C關于直線OE對稱嗎？試說明理由．
弧、弦、圓心角 教學設計
【教學目標】
【知識與技能】
1、理解圓心角的概念和圓的旋轉不變性.
2、利用圓的旋轉不變性，探究并得出弧、弦、圓心角的關系，并能正確推理論證。
【過程與方法】
1、 通過PPT動畫演示使學生感受圓的旋轉不變性，發展學生觀察分析能
力.
2、 通過觀察、比較、推理、歸納等活動，發展推理能力以及概括問題的
能力。 【情感態度】
培養學生勇于探索的良好習慣，激發學生探究，發現數學問題的興趣.
【教學重點】
探索關系定理并利用其解決相關問題.
【教學難點】：定理中條件的理解及定理的探索. 【教學過程】
一、情境導入，初步認識
利用著名數學家華羅庚的一段學習名言，端正學生的學習態度，激勵學生學習的斗志。
【設計意圖】學習是件苦差使，所以，上課前，我借助著名數學家華羅庚
的一段話，讓學生重新認識學習的重要性，燃起學習的熱情。
然后，通過復習垂徑定理和等弧的概念，引導學生走入課堂，看一看與之有關的圓的相關問題。
【設計意圖】通過復習相關知識，讓學生重現所學，為本節課的學習做以鋪墊。
二、思考探究，獲取新知 1.圓的旋轉不變性
通過學生自制教具，借助教師的演示，以及PPT動畫的展示，讓我們不難發現：
圍繞圓心O旋轉任意角度α，都能與原來的圖形重合，所以圓是中心對稱圖形，并且具有旋轉不變的特征. 這也是車輪具有的特征，所以汽車才能正常行駛.從而引入本節課題：
2.弧、弦、圓心角之間的關系
探究如圖，將圓心角∠AOB繞圓心O旋轉到∠A′OB′的位置，你能發現哪些等量關系，為什么？
【師生活動】：學生利用手中的卡片進行觀察，發現規律，教師在黑板上借助教具演示給學生，再次明確發現的規律，然后借助ppt動畫，讓學生全方位
的理解三者之間的關系，明白“對應相等”。
【設計意圖】：讓學生通過演示，觀察，思考，并歸納總結.初識定理，引發進一步的思考,同時，通過定理的證明體現數學的邏輯性、嚴謹性。
【歸納結論】 ABAB AB=A′B′
再分析等圓的情況（借助動畫演示讓學生有所感知） ∴由圓的旋轉不變性可得出下面的定理：
在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相同. 議一議：
（1）在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等嗎？
所對的弦相等嗎？
（2）在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等嗎？
所對的弧相等嗎？
【師生活動】：教師引導，學生積極配合，想辦法利用所學知識證明三者之
間的關系。
【設計意圖】：學生結合圓的旋轉不變性，很容易得出結論.這兩個問題是為了使學生深切體會，圓心角、弧、弦三者在同圓或等圓中之間存在的關系.
【推 論】：
在同圓或等圓中，相等的弧所對的圓心角相等，所對的弦也相等. 在同圓或等圓中，相等的弦所對的圓心角相等，所對的弧（指所對的優弧和劣弧）也相等.
【強 調】：1.弦所對的弧有兩條---優弧和劣弧；2.定理及其推論的符號語言.
【設計意圖】：培養學生用符號語言表示結論，發展學生用符號語言說理的能力.
由此可總結為：在同圓或等圓中，圓心角相等則弧相等，弦相等. 【思考】：定理“在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也
相等．”中，可否把條件“在同圓或等圓中”去掉？為什么？
【教生活動】：教師引導學生質疑，探索，學生尋找、發現解決問題的方法。 【設計意圖】:讓學生學會質疑，敢于發現問題，從而解決問題，進一步加深對定理及推理的理解，使知識系統化，準確化。培養學生科學、嚴謹的學習態度。 練習：如下圖，AB、CD是⊙O的兩條弦。
（1）如果AB=CD，那么 , 。
（2）如果AB=CD，那么 ， 。O
C
D
F
A
B
E
圖3
（3）如果∠AOB=∠COD，那么 ， 。
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE與OF相等嗎？
（提示：三角形全等或全等三角形同一邊上的高相等）
【師生活動】：通過不同的論證方法，讓學生體驗成功的樂趣，提高學習的積極性，并能進一步發展學生的思維，嘗試多種方法，多種思路解決同一問題，使所學知識能更自如的應用。
【設計意圖】：讓學生在定理的掌握上有進一步的提高，充分考慮三個量之間的對應關系，如：第1、2、3問；第四問的問題為學生拓展思路，交給學生此類論證的方法，初步感受圓與三角形全等的結合，為下一步的拓展指明方向。
3 定理的延伸
探究：將∠AOB繞O旋轉到∠A/OB/ ，你能發現哪些等量關系？
【結論】：在同圓或等圓中,如果①兩個圓心角,②兩條弧, ③兩條弦, ④兩條弦心距中,有一組量相等,那么它們所對應的其余各組量都分別相等.
圓心角定理整體理解：
強調條件：在同圓或等圓中
【設計意圖】：讓學生充分理解并感受這四個量之間的關系，能很快的反應出他們之間的對應關系，體會“對應相等”
4.圓心角、弧、弦定理及推論的應用
例1: 如上圖，在⊙O中，弧AB=AC，∠ACB=60°， 求證：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
分析：在⊙O中，要使圓心角相等，可通過證明圓心角所對的弦或弧相等解題.
證明：∵弧AB=弧AC，
∴AB=AC，△ABC是等腰三角形. 又∠ACB=60°，
∴△ABC是等邊三角形，AB=BC=CA. ∴∠AOB=∠BOC=∠AOC.
【師生活動】：教師引導、分析，讓學生初次感受定理及推理的應用方法，通過學生的表述，讓學生進一步體會數學證明的規范性和嚴謹性。
【設計意圖】：學習定理是為了解決數學問題的，通過例題的講解以及學生的解答，發展學生的推理能力以及概括問題的能力，并潛移默化的規范學生的書寫要求，
三、運用新知，深化理解 （一）、基礎鞏固
1.(10分) 如圖，AB是⊙O的直徑，BC
CDDE， ∠AOE=35°，求∠COD的度數。
2.(15分) 如圖，已知AB是⊙O的直徑，C、D是半圓上兩個三等分點，
則∠COD=
3.(15分) 如圖，在⊙O中，點C是
的中點，∠A=50°，
則∠BOC= 【師生活動】：教師引導，學生上黑板講解解答過程，教師發現問題，及時予以矯正，讓學生能進一步應用定理解決相關問題。
【設計意圖】：鞏固定理內容，加深對定理的理解，初步應用定理解決問題，培養學生的邏輯推理能力及運用知識的能力. 增強學習數學的信心和熱情. 4. (15分) 如圖，在⊙O中，AB=AC，∠C=75 ，求∠A的度數.
5. (15分) 如圖，在⊙O中，AD=BC，求證：AB=CD.
【師生活動】：教師在教室巡回，看學生解題的實際情況，適時的予以指導，點撥，學生上黑板板演解答過程，教生共同進行評判，對于不同的解題思路和方法，用展臺展示在白板上，讓學生能清楚的看到同學的不同解法，開闊解題思路，發現問題，及時予以矯正，作對的及時予以肯定，鼓勵。讓學生能進一步應用定理解決相關問題，體現學習的連貫性。
【設計意圖】：鞏固定理內容，加深對定理的理解，嘗試不同方法解題，開闊思路，鍛煉思維，初步應用定理解決問題，培養學生的邏輯推理能力及運用知識的能力. 增強學習數學的信心和熱情. （二）、綜合應用(20分)
6．（20分） 如圖，A、B是⊙O上的兩點∠AOB=120°，
C是AB的中點，
求證：四邊形OACB是菱形.
（三）、拓展延伸(10分)
7.(10分) 如圖，在⊙O中，弦AB與CD相交于點E，AB=CD．
(1)求證：△AEC≌△DEB；
(2)點B與點C關于直線OE對稱嗎？試說明理由．
【說 明】：6、7題有一定的綜合性，布置為作業，學生在做的過程中，可以應用所學，相互討論，尋找最簡潔的思路和方法。
四、知識小結 ，讓學生進一步明確所學。 通過這節課的學習，你掌握了哪些知識?
【教學說明】：設問引起學生進行回顧與思考，完善知識體系。
五、布置作業
【教學反思】：
1.本節課學生通過觀察、比較、推理、歸納等活動，得出了圓是中心對稱圖形以及圓的旋轉不變性，圓心角定理及推論，可以發展學生勇于探索的良好習慣，培養動手解決問題的能力.
2.本節課中，教師盡量讓學生掌握解題方法，即要證弦相等、弧相等或圓
心角相等，可先證其中一組量對應相等.掌握這個解題方法有助于提升學生的抽象思維能力.
3.在講解隨堂練習和例題，以及練習題的過程中，大膽嘗試不同思路和方法解決同一問題，開闊思路，鍛煉數學思維能力，進一步鞏固所學知識并靈活應用。
4、借助現代化教學設備，充分發揮其優勢，加大了課堂容量，讓學生很直觀的看到了所學知識的精彩呈現。
5.本節課的不足是：對于現代化教學設備，應用不很熟練，錄課倉促，設備出現一點問題，例1講完后，后面的視頻全部是快進，導致剪輯內容不很理想，沒有完全呈現我的教學思路。比如：學生不同解題思路的展示，包括板演的講評和實物展示臺的展示，還有課堂的小結等等。
敬請同行點評指導，謝謝大家！
視頻來源：優質課網 www.jixiangsibao.com
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