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視頻標簽：三角形中邊,角的不等關系
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：初中數學人教版八年級上冊13.3.3 實驗與探究《三角形中邊與角的不等關系》湖北省優課
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初中數學人教版八年級上冊13.3.3 實驗與探究《三角形中邊與角的不等關系》湖北省優課
《三角形中邊與角之間的不等關系》教學設計
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三角形中邊與角之間的不等關系
（義務教育課程標準實驗教科書《數學》人教版八年級上冊第十三章·實驗與探究）
湖北省宜昌市第十四中學 華容
【教學目標】
1、知識與技能：通過實驗操作和推理論證，進行三角形的邊角不等關系探究，發展學生的分析 問題和解決問題的能力；通過探索、總結形成利用圖形的翻折等變換是解決幾何問題常見的策略。 2、過程與方法：經歷"觀察→猜想→驗證→證明"等一系列活動，培養學生實驗探索、觀察推理 和解決問題的能力，提高應用數學的意識，積累數學活動經驗。
3、情感與態度：提供動手操作的機會，讓學生體驗數學活動中充滿著探索與創新，激發學生學
習幾何的興趣，獲得解決問題的成功體驗，滲透數學“轉化”的思想。
【教學重點】：三角形中邊與角之間的不等關系及其探究過程。
【教學難點】：結合實驗與探究，將折紙的無意操作與輔助線的有意添加有效結合。 【教具準備】：三角形卡紙數張、剪刀、三角板等。 【教學過程】
一、溫故知新 問題導入
1、知識鋪墊：
前面我們學習了一種特殊的三角形（出示圖片）：等腰三角形，它是生活中常見的一種三角形，請問：等腰三角形是一個軸對稱圖形嗎？它有哪些性質？（動畫演示）
如圖1，沿著等腰三角形底邊上的高所在直線折疊，左右兩邊的部分能夠完全重合，得到了等腰三角形“三線合一”的性質。
2、問題導向：還有其他的性質嗎？等腰三角形中等邊所對的角相等；反過來，等角所對的邊相等。那么，在一個三角形中，如果兩條邊不相等，那么：這兩條邊所對的角相等嗎？哪個角大？
圖1
圖2
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圖3
3、方法回顧：在探究“等邊對等角”時，我們采用將三角形對折的方式，發現了“在三角形中相等的邊所對的角相等”，從而利用三角形的全等證明了這些性質。現在請大家拿出三角形的紙片用類似的方法探究今天的問題。（板書課題）
【設計意圖】類比等腰三角形的邊角關系猜想三角形中邊與角的不等關系，既對所需知識進行合理復習，也為后面學生添加輔助線構造基本圖形奠定了基礎. 二、實驗操作 知識探究 （一）觀察圖形，提出猜想 如圖3，在△ABC中（AB＞AC），
通過觀察圖形：在⊿ABC中，邊AC對∠B，邊AB對∠C，同學們估測得到∠C大于∠B，故提出猜想：大邊對大角.
【設計意圖】首先通過觀察圖形發現：在一個三角形中角之間的不等關系，然后根據研究幾何問題的一般思路和方法,體會“觀察—猜想—驗證—推理證明”的過程. （二）動手操作，驗證猜想
請同學們在觀察猜想的基礎上，利用三角形紙片進行動手操作，驗證猜想. （每位學生在獨立操作的基礎上，進行小組內交流，教師巡查，之后進行小組展示）. 通過動手操作，驗證方法如下：
測量法：用量角器測量直接得到∠C＞∠B.（給出圖3中∠B和∠C的度數.）
疊合法：1、如圖4，沿BC邊上角平分線折疊：作∠BAC的角平分線AD，將△ADC沿AD翻折（或將△ADB沿AD翻折）.
2、.如圖5，沿ＢＣ邊的垂直平分線折疊.
3、如圖6，沿BC邊上的高折疊：作BC邊的高AD,將△ADC沿AD翻折（或將△ADB沿AD翻折）.
追問：通過折紙，如何說明∠C > ∠B？
通過幾何畫板演示驗證猜想的正確性,并歸納猜想.
猜想：在一個三角形中，如果兩條邊不等，那么它們所對的角也不等，大邊所對的角較大（簡寫成"大邊對大角"）.
圖5
圖4
圖6
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圖7
圖8
【設計意圖】培養學生的動手操作能力,為后面證明時添加輔助線作鋪墊. （三）推理論證，證明猜想
通過折紙和幾何畫板驗證了猜想是正確的，現在我們來進行規范的幾何推理證明（啟發學生獨立思考、小組合作，完成一題多證）.
根據文字命題畫出圖形，寫出已知、求證，引導學生思考：在動手操作過程中，通過折紙有哪些添加輔助線的方法？ 實驗與探究1：
已知：如圖7，在△ABC中，AB>AC . 求證：∠C > ∠B.
證法一: 證明：作△ABC中∠A的平分線，與邊BC交于點D.在邊AB上截取AE，使AE=AC,連接DE.
∵AD為∠BAC的角平分線（已知） ∴∠1=∠2（角平分線定義） 在△EAD和△CAD中 ∵
∴△EAD≌△CAD（SAS）∴∠C=∠3（全等三角形的性質） 又∵∠3為△BDE 外角 ∴∠3>∠B. ∴∠C>∠B（等量代換）.
其它證法：如圖8，作△ABC中∠A的平分線，
與邊BC交于點D.在AC延長線上截取AB’，使AB’=AB，連接B’D .
證法二：如圖9，過A作BC的垂線，垂足為D，在BD邊上截取DC’，使DC’=DC，連接AC’ . 小結：沿角平分線所在直線翻折，使∠B或∠C轉移位置，利用三角形外角的性質證明了∠C > ∠B.
歸納結論1：在一個三角形中，如果兩條邊不等，那么它們所對的角也不等，大邊所對的角較大. （簡寫成：在一個三角形中，大邊對大角）.
符號表示：∵在⊿ABC中，AB>AC ∴∠C > ∠B在“大邊對大角”的探索過程中，你有何收獲？ （1）折紙是一種軸對稱變換.
（2）利用等腰三角形和軸對稱的性質截長補短，是重要的證明全等的方法.
從上面的過程可以看出，利用軸對稱的性質，可以把研究邊與角之間的不等問題，轉化為較大量的一部分與較小量相等的問題，這是幾何中研究不等問題時常用的方法。
類似地，應用這種方法，你能說明“在一個三角形中，如果兩個角不等，那么它們所對的邊也不等，大角所對的邊較大”嗎?
實驗與探究2：如圖12，在△ABC中，如果∠C>∠B，那么
我們可以將△ABC沿BC的垂直平分線MN折疊，使點B落在點C上， 即∠1=∠B,于是MB=MC，這樣AB=AM+MB=AM+MC>AC. 由上面的操作過程得到啟示，請寫出證明過程.
歸納結論2：在一個三角形中，如果兩個角不等，那么它們所對的邊也不等，大角所對的邊較大（簡寫成：在一個三角形中，大角對大邊）
【設計意圖】通過獨立探究、小組展示，提高學生表達能力和歸納能力，增強合作交流的意識，逐步實現由實驗幾何到論證幾何的過渡，同時實驗操作為輔助線的添加進行了有效鋪墊，培養學生類比、轉化的數學思想. 三、實踐應用 知識再現
利用上面兩個結論，回答下面的問題： 1.如圖13，在△ABC中，已知BC>AB>AC, （1）則∠A、∠B、∠C大小關系為 .
（2）若∠A為銳角，那么△ABC 是銳角三角形（填”一定”或”不一定”）. 2.如圖14，在Rt△ABC，哪一條邊最長？為什么？
【設計意圖】通過組織學生展示、學生點評，引導學生運用三角形不等關系解決一些具體的數學問題，符合學生的認知特點，既能突破教學難點，增強學習的興趣與信心. 四、發展思維 知識延伸
借鑒上述三角形中邊與角不等關系的推理論證的過程及結論，我們來解決一個幾何問題。
圖14
圖12
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例：如圖15,在△ABC中，AD是BC邊上的高， 且垂足D在BC上.BD>CD，求證:AB>AC. 證明：(方法一)在DB上截取DE=DC,連結AE. 則由垂直平分線的性質知EA=AC
∴∠1=∠C.
∵∠1為△AEB外角∴∠1>∠B. ∴∠C >∠B.
∴AB> AC (大角對大邊)
（方法二）：如圖書16，如果在DC的延長線上截取DF=DB, 連結AF，那么仍然很容易證得結論。
【設計意圖】通過例題一題多解，讓學生充分鞏固和掌握利用對稱及圖形變換添加輔助線的方法以及利用“大角對大邊”證明邊不等關系的方法，更重要的是學生通過具體問題的分析，體會到了前面折紙操作對不等關系輔助線添加的遷移轉化作用，增強學生思維的廣度與深度. 五、回顧思考，知識梳理
1、回顧思考：（1）這節課對你來說有哪些收獲？談談你的體會。 （2）通過這節課，你學會哪些數學方法？
［設計意圖］通過反思，讓學生對本堂課的整個知識結構有更清晰的了解。在學生思考討論的過程中進一步培養他們的總結歸納能力. 2、運用拓展及作業 （1）整理學案
（2）如圖17，在△ABC中，AB>AC.AD是角平分線。 求證:BD>DC
證明：延長AC到E，使AE=AB,連結DE. ∵∠1=∠2.AD= AD ∴△AED≌△ABD. ∴∠E=∠B.ED=BD. 易知∠ 3 >∠B.∴∠3 >∠E
∴ED>DC(大角對大邊)即BD>DC.
說明：如圖18，如果在AB上截取AF=AC.連結DF.那么同樣可達到證題目的，不妨一試。 （3）如圖19,在△ABC 中，AC>AB,AM 是 BC 邊 上 的 中 線。
圖15
圖16 圖18
圖17
《三角形中邊與角之間的不等關系》教學設計
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圖20
圖21
求證: ∠1>∠2.
證明:延長AM到D.使MD=MA.連結BD. ∵∠3=∠4，MB=MC. ∴△DMB≌△AMC, ∴DB=AC,∠D=∠2, ∵AC>AB,∴DB>AB,
∴∠1>∠D(大邊對大角)，即∠1>∠2.
解決邊與角不等關系的基本策略：借助軸對稱變換實驗探究，利用截長補短類比轉化
【課后反思】
本節課以“自主、合作、探究”的現代教育觀為指導思想，體現了教學理念和教學設計的高站位與新視野，采用數學實驗活動課的教學形式，逐步實現從實驗幾何到論證幾何的過渡，借助多媒體等信息化手段，通過自主探究、小組合作、小組展示等多種形式實現教與學的雙向多維交流，充分體現了學生主體作用的發揮，展現了低起點、快節奏、大容量、高效率的數學課堂的精彩！
視頻來源：優質課網 www.jixiangsibao.com
