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視頻簡(jiǎn)介：

視頻標(biāo)簽：任意角的正弦函數(shù),余弦函數(shù)的定義

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：北師大版必修四高二4.1任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義_安徽省 - 阜陽(yáng)

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北師大版必修四高二4.1任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義_安徽省 - 阜陽(yáng)

教學(xué)目標(biāo)
1.知識(shí)與技能:
借助單位圓認(rèn)識(shí)和理解任意角正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義。
2.過(guò)程與方法:
在借助單位圓認(rèn)識(shí)任意角三角函數(shù)的定義的過(guò)程中,體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想,并利用這一思想解決有關(guān)定義應(yīng)用的問(wèn)題.
3.情感態(tài)度與價(jià)值觀
通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí),使學(xué)生認(rèn)識(shí)到事物之間是有聯(lián)系的,體會(huì)轉(zhuǎn)化思想。
2學(xué)情分析

在初中,學(xué)生已學(xué)過(guò)銳角三角函數(shù),知道直角三角形中銳角的三角函數(shù)等于相應(yīng)邊長(zhǎng)的比值.在此基礎(chǔ)上,隨著本章將角的概念推廣,以及引入弧度制后,這里相應(yīng)地也要將銳角三角函數(shù)推廣為任意角的三角函數(shù).任意角的三角函數(shù)是研究一個(gè)實(shí)數(shù)集(角的弧度數(shù)構(gòu)成的集合)到另一個(gè)實(shí)數(shù)集(角的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)或其比值構(gòu)成的集合)的對(duì)應(yīng)關(guān)系,認(rèn)識(shí)它需要借助單位圓、角的終邊以及二者的交點(diǎn)這些幾何圖形的直觀幫助,這中間體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.三角函數(shù)是又一種基本初等函數(shù),它作為描述周期變化現(xiàn)象的最常見(jiàn)、最基本的數(shù)學(xué)模型,不僅在高中數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用,而且在其他領(lǐng)域中也具有廣泛的應(yīng)用.而任意角三角函數(shù)的概念又是整個(gè)三角函數(shù)內(nèi)容的基礎(chǔ),所以它不僅是三角函數(shù)內(nèi)容的核心概念,同時(shí)在高中數(shù)學(xué)中還占有重要的地位.本節(jié)課將圍繞任意角三角函數(shù)的概念展開(kāi),任意角三角函數(shù)的定義是這節(jié)課的重點(diǎn),能夠利用單位圓認(rèn)識(shí)該定義是解決教學(xué)重點(diǎn)的關(guān)鍵.
3重點(diǎn)難點(diǎn)
重點(diǎn): 任意角的正弦、余弦定義(包括這兩種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號(hào));
難點(diǎn): 任意角的正弦、余弦定義的正確理解.
4教學(xué)過(guò)程
4.1第一學(xué)時(shí)
4.1.1教學(xué)目標(biāo)
1.知識(shí)與技能:
借助單位圓認(rèn)識(shí)和理解任意角正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義。
2.過(guò)程與方法:
在借助單位圓認(rèn)識(shí)任意角三角函數(shù)的定義的過(guò)程中,體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想,并利用這一思想解決有關(guān)定義應(yīng)用的問(wèn)題.
3.情感態(tài)度與價(jià)值觀
通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí),使學(xué)生認(rèn)識(shí)到事物之間是有聯(lián)系的,體會(huì)轉(zhuǎn)化思想。
4.1.2學(xué)時(shí)重點(diǎn)
重點(diǎn): 任意角的正弦、余弦定義(包括這兩種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號(hào));

4.1.3學(xué)時(shí)難點(diǎn)
難點(diǎn): 任意角的正弦、余弦定義的正確理解.
4.1.4教學(xué)活動(dòng)
活動(dòng)1【活動(dòng)】1、創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題
1、創(chuàng)設(shè)情境,提出問(wèn)題
我們知道,在日常生活中,到處都有圓周運(yùn)動(dòng)的現(xiàn)象,如鐘表的旋轉(zhuǎn)、車輪的轉(zhuǎn)動(dòng)等.而函數(shù)是研究現(xiàn)實(shí)生活中變量之間具有依存關(guān)系的一種手段和方法,那么,針對(duì)具有周而復(fù)始現(xiàn)象的圓周運(yùn)動(dòng),我們?cè)撨x用什么樣的函數(shù)模型刻畫(huà)它呢?

活動(dòng)2【導(dǎo)入】2、思考交流，認(rèn)識(shí)本質(zhì)
(幾何畫(huà)板動(dòng)畫(huà)演示)設(shè)質(zhì)點(diǎn)P繞坐標(biāo)原點(diǎn)O做圓周運(yùn)動(dòng),連接OP形成射線,點(diǎn)P在轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中,射線OP隨之旋轉(zhuǎn)形成了角,那么刻畫(huà)圓周運(yùn)動(dòng)的函數(shù)模型就一定會(huì)與角有密切的聯(lián)系.在大家已有的知識(shí)儲(chǔ)備中,哪一個(gè)函數(shù)模型與角有關(guān)系?
問(wèn)題1:初中的銳角三角函數(shù)是如何定義的?
【設(shè)計(jì)意圖:溫故知新,為新定義尋找知識(shí)的生成點(diǎn)】
通過(guò)上節(jié)課的學(xué)習(xí),角的范圍已拓展到任意角,很顯然,再借助直角三角形定義任意角的三角函數(shù)已不可能,那么,該如何定義任意角的三角函數(shù)呢?(書(shū)寫(xiě)課題:單位圓與任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義(第一課時(shí)))
前面的學(xué)習(xí)中,我們都是借助直角坐標(biāo)系認(rèn)識(shí)角的,請(qǐng)思考下面的
問(wèn)題2:怎樣把直角三角形ABC放入直角坐標(biāo)系符合我們研究角的習(xí)慣?
師:很好!請(qǐng)接著思考
問(wèn)題3:把放入如圖所示的坐標(biāo)系,此時(shí),直角邊長(zhǎng)a,b,斜邊c有新的寓意嗎?
【設(shè)計(jì)意圖:換個(gè)角度認(rèn)識(shí)銳角三角函數(shù),為用角終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)定義三角函數(shù)埋下了伏筆】

       師:非常好!創(chuàng)新思維和發(fā)散思維的體現(xiàn)!也就是:


師:讓我們繼續(xù)下面的思考,
問(wèn)題4:使用銳角終邊上點(diǎn)B的坐標(biāo)來(lái)定義銳角的三角函數(shù),點(diǎn)B的位置選擇在哪兒呢?點(diǎn)B的位置選擇的差異,會(huì)改變給定的銳角的三角函數(shù)值嗎?
問(wèn)題5:既然點(diǎn)B位置選擇的差異,不會(huì)影響銳角的三角函數(shù)值,為了簡(jiǎn)潔地表述定義,能簡(jiǎn)化上述表示嗎?
師:銳角的正弦、余弦和正切可以進(jìn)一步表示為:


【設(shè)計(jì)意圖:培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)求簡(jiǎn)意識(shí),從“終邊定義法”自然過(guò)渡到 “單位圓定義法”】
師:請(qǐng)大家繼續(xù)思考
問(wèn)題6:你能從函數(shù)的觀點(diǎn),說(shuō)明上述表示是函數(shù)嗎?
【設(shè)計(jì)意圖:既彌補(bǔ)了初中銳角三角函數(shù)對(duì)“函數(shù)性”解釋的缺失,又為“任意角的三角函數(shù)定義”的函數(shù)性解釋做了必要的鋪墊.】
活動(dòng)3【活動(dòng)】3、合作探究，升華認(rèn)識(shí)
師:上述表示可以稱之為銳角三角函數(shù).現(xiàn)在我們對(duì)角的認(rèn)識(shí)已經(jīng)擴(kuò)大到了任意角范圍,
請(qǐng)大家思考下面的
問(wèn)題7:用銳角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)定義的銳角三角函數(shù),能從銳角推廣到任意角嗎?說(shuō)說(shuō)你的理由.
(幾何畫(huà)板演示)
4.抽象概括,得出定義
師:既然大家都同意這種推廣,你能用自己的語(yǔ)言定義任意角的三角函數(shù)嗎?
    【設(shè)計(jì)意圖:用文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言分別描述數(shù)學(xué)概念,深入理解數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與外延,掌握概念的本質(zhì),在師生交流、反饋中去偽存真,完善定義.】
既然任意角的三角函數(shù)可以用坐標(biāo)來(lái)表示,而坐標(biāo)本身是有正負(fù)的,那么來(lái)思考一個(gè)問(wèn)題,
問(wèn)題8:如圖,當(dāng)角的終邊分別落在第一象限、第二象限、第三象限、第四象限時(shí),角的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值是正還是負(fù)?

歸納:由于角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是用角的終邊與單位圓的交點(diǎn)P的坐標(biāo) 來(lái)定義的,因此,任一角的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值的符號(hào),分別和該角與單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)、橫坐標(biāo)符號(hào)一致。
5、例題練習(xí):
例1.在直角坐標(biāo)系的單位圓中, ,
(1)畫(huà)出角
(2)求角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)。
(3)求角的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值。
(學(xué)生)歸納: 定義法解題步驟
第一步:根據(jù)條件畫(huà)出圖形
第二步:找到所求角的終邊
第三步:求出角終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)
變式:已知角a的終邊在直線上,求
   【設(shè)計(jì)意圖:考察學(xué)生是否知道找角終邊與單位圓的交點(diǎn),深入理解任意角的概念,掌握概念的本質(zhì).】
思考:已知角a終邊上任一點(diǎn)P (x, y),如何求它的三角函數(shù)值呢?
活動(dòng)4【講授】【課堂小結(jié)】
①通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí),談?wù)勀阌心男┦斋@
②初中學(xué)習(xí)的銳角三角函數(shù)與今天定義的任意角的三角函數(shù)的區(qū)別是什么?
③為什么可以用今天學(xué)習(xí)的“任意角的三角函數(shù)”來(lái)刻畫(huà)圓周運(yùn)動(dòng)?

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