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視頻標簽：對數
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學人教A版必修1第二章2.2.1對數-浙江省優課
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課題：2.2.1對數與對數運算 (第1課時)
一. 教材分析
對數這節課是必修1第2章對數函數第1課時．學習對數的概念是對指數概念和指數函數的回顧與深化，是學習對數函數的基礎．
二. 學情分析
高一學生已經學習了函數的概念、函數的表示方法與函數的一般性質，對函數有了初步的認識．學生已經完成了分數指數冪和指數函數的學習，了解了研究函數的一般方法，經歷過從特殊到一般，具體到抽象的研究過程．
對數的概念對學生來說，是全新的，需要教師引導學生利用指數與指數函數的相關知識理解對數的概念．在教學過程中，就對數概念本質的發生過程向學生展現，以幫助學生真正理解概念，將對數這一新知納入已有的知識結構中．
三. 教學目標
1. 理解對數的概念，會熟練地進行指數式與對數式的互化．
2. 學生在解決具體問題中體會引入對數的必要性，在舉例過程中理解對數． 3. 學生在學習過程中感受化歸與轉化、數形結合、特殊到一般的數學思想，學會用相互聯系的觀點辯證地看問題．
四. 重點與難點
1. 重點：（1）對數的概念；（2）對數式與指數式的互化． 2. 難點：對數概念的理解．
五. 教學方法與教學手段
問題教學法，發生教學法．
六．教學過程
1. 創設情境建構概念
環節一:感受運算之繁，發現數表之妙
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 2 4 8 16 32 64 128 256 512 x 10 11 12 13 14
15
16
…
… y
1024
2048
4096
8196
16384 32768 65536 …
…
【問題1】請同學們計算下列各式:
163844096)3(1024125.0)2(51232)1( [設計意圖] 對數的發展體上可分為簡化運算思想的形成、對數表的發明、指數與對數關系的發現這三個階段。因此沿著對數的發展脈絡，設計了一個“天文數字計算”的情境，以繁雜的計算為映襯，凸顯簡化運算的迫切性。 [教學過程]
師：今天老師想考察大家的速算水平，請計算下列各式
學生埋頭苦算，教師在教室巡邏。發現有人很快算出了答案。其他學生非常好奇。老師就叫該生回答他的算法。
生：我發現這些數都在表格的第二行中，那么我找到這些數所對應的第一行數就能簡化運算。 師：能說的再具體點嗎？
生：如32所對應的是5，512對應的是9， 那么163842222149595
師：把乘法運算簡化成加法運算，真不錯！
生：這個方法真太好了。居然不用計算，查查表就可以了！ 師：請同學們用這個方法來計算剩下的兩題。誰來挑戰第二題？ 生：1282227103
生：67108864222261412，這個表實在太好用了！
師：英國數學家納皮爾把數表中上行的數稱為“log-arithm”。這個數表在康熙年間傳入中國，《數理精蘊》中把表中下行的數稱為“真數”，把“真數”上面那個借來用一下的數稱為“借數”。 “真數”一直沿用至今，而“借數”
----“真數”上面那個“所對應”的數，后來被稱為“對數”。
生：（頓悟）原來“對數”不是指“對”（“錯”的反義詞）的數，而是指“對應”的數啊！
環節二：體驗查表之缺，引入符號之需
【問題2】用發現的方法如何計算：6872031
[設計意圖]利用具體的問題引發學生的認知沖突，引導學生運用數形結合的方法探索指數b是存在的，并且只有一個，進而想辦法用數學符號表示指數b．
[教學過程]
師：查表能解決這個問題嗎？
生：，在表上找到2031和687所對應的，和21xx的值，再查表并求21xx即得。問題是該表查不到。
師：滿足20312x 的x是否存在，有幾個？
生：作出xy2與y=2031的圖象，發現它們有交點，而且只有一個，那么指數x在哪里呢？
生：交點的橫坐標就是指數x．
師：看來滿足20312x的指數x可由“2和2031”唯一確定，但它究竟是個什么數呢？現在用我們學過的數又不能把它寫出來，怎么辦呢？
生：用一個新的符號來表示它.
師：是的，數學家也是這么想的，他們解決這種問題的辦法就是引進一個新的符號，比如這里的a3＝5，a等于什么呢？數學家就用a＝35來表示，a是由3和5確定的，將3和5寫在相應的位置.
師：現在如何表示這里的指數x呢？指數x由2和2031確定，數學家用20312
log來表示，讀作以2為底2031的對數，其中2為底數，寫在下方，2031叫真數．
師：你能再舉一些這樣的對數嗎？ 生：3b＝10 b＝log310； 4b＝5 b＝log45； 2b＝7 b＝log27；
……
師：根據這些具體的例子，你能得到一般情況下，對數是怎么表示的嗎？ 對數的概念：如果a的b次冪等于N(其中a＞0，a≠1)，即ab=N，那么就稱b是以 a為底N的對數，記作logaN＝b．其中，a叫做對數的底數，N叫做真數．
師：根據對數的概念，我們不難發現，對數來源于指數，這兩個等式表示的是a，b，N三個量之間的同一個關系，只是表現形式不同而已，比如在ab
=N中，a＞0，a≠1，a叫底數，b叫指數，N叫冪，當變為對數式時，a的范圍不變，a還叫底數，指數b現在叫對數，冪N現在叫真數.
2．具體實例理解概念
[學生活動]請每位同學寫出2—3個對數，與同桌交流．
[設計意圖]深入理解對數．第一階段，讓學生體會對數可以轉化為指數，對數式和指數式是等價的；第二階段，認識特殊的對數，明確對數式中a，b，N的范圍． [教學過程]
師：大家都在積極地認識對數這個新朋友.我們一起來看看，有同學寫了這樣一個對數log327. 你知道它是個什么樣的數嗎？ 師：為什么等于3呢？ 生：因為33 =27.
師：還有同學寫了log13
9，這是個什么數啊？
生：－2. 師：為什么？ 生：因為(1
3)－2 =9.
師：想認識對數只要將它轉化為相應的指數式就容易理解了. 師：我也寫一個log926，這是個什么數呢？ 生：不知道.
師：你知道它大概是多大嗎? 生：1到2之間. 師：你怎么知道的呢？
生：因為91=9，92=81，26在9和81之間.
師：你是將問題轉化為指數問題來考慮的.我們知道對數就是一個數，可以設它為b，轉化為9b=26就好理解了.
[階段小結]其實想要認識同學寫的對數，只要將它轉化為相應的指數式就明白了，指數式和對數式是可以等價轉化的.
師：看大家寫的對數有大于0的，有小于0的，有沒有等于0的對數呢？ 生：log21=0. 師：還有嗎？
生：只要底數取a>0，a≠1，真數為1的對數都等于0. 師：怎么表示呢？ 生：loga1=0(a>0，a≠1). 師：為什么？
生：因為a0＝1(a>0,a≠1) .
師：a0＝1是個特殊的指數式，還有其他特殊的指數式嗎？ 生：a1＝a.
師：由這個我們又能得到什么樣的對數式呢？ 生：logaa=1(a>0，a≠1) .
師：對數可正可負可為0，那對數是否能取到所有的實數呢？ 生：是的.
師：你怎么知道的呢？
生：從指數式ab
=N(其中a＞0且a≠1)中我們可以知道.
師：對數b可以取到一切實數，底數a＞0，a≠1，真數N應滿足什么要求呢？
生：大于0.
生：在a＞0且a≠1時，ab
=N ，根據指數函數的值域可知 N只能取大于0的數.
[階段小結] 通過討論，我們認識了一些特殊的對數，知道對數b可以取到一切實數，但是真數N必須大于0.在認識對數的過程中，我們運用了對數式與指數式之間的等價轉化. 3．概念應用方法總結
練習求下列各式的值：(1)log264； (2)log101
100； (3)log927．
[設計意圖] (1)理解對數是個數，對數問題可以轉化為指數問題來解決．(2)反思解題過程，從中得到兩個對數性質logaab=b，alogaN＝N (a＞0且a≠1)，為對數求值提供新的方法．(3)激起學生進一步探索對數相關結論的興趣．(4)介紹常用對數和自然對數． [教學過程]
師：回頭看第1個問題的解決過程，log226=6，log1010-2=-2你有什么發現？ 師：一般情況下logaab=b對嗎？ 生：對，因為ab= ab.
師：在logaab
=b這個式子中，真數N變成了ab
，相當于將指數式ab
=N帶入對數
式logaN=b，消去N.現在如果將對數式logaN=b帶入指數式ab
=N消去b，會得到什么呢？
生：a
logaN
＝N (a＞0
且a≠1)．
師：從第3小題中，你又會有什么發現呢？對數還有很多有趣的性質，有興趣的同學可以繼續研究.
師：大家看第2小題底數是10，我們通常將以10為底的對數叫常用對數，簡記為log10 N＝lg N．以后在高等數學和物理學中還會經常用到以e為底的對數，叫做自然對數，loge N＝ln N．比如，lg2，ln3. 4．小結反思、固化概念
①對數的定義，指數式與對數式的互化． ②特殊對數：常用對數、自然對數．
③對數的幾個一般性結論．
[設計意圖]回顧反思本節課學習的知識和方法．主要讓學生體會研究一個新的數學對象的一般方法，即
生：對數就是一個數．遇到對數問題轉化為指數問題來解決．
師：很好，我們通過一些具體的例子得到了對數的概念，又通過舉例和練習進一步認識了對數，在認識的過程中，發現遇到對數的問題可以轉化為指數問題來解決.這兩個式子是等價的，表示的是a，b，N這三個量之間的同一種關系.
師：既然對數就是一個數，你覺得下面我們可以研究什么？ 生：對數的運算．
師：那如何研究對數的運算性質呢？請同學們先回去思考，我們下節課再研究．
七.教學設計說明
對數概念對于高一的同學來講是一個全新的概念。此前，學生已學習了指數及指數函數，明白了指數運算是已知底數和指數求冪值，而對數則是已知底數和冪值求指數，二者是互逆的關系．對數的概念的學習，既加深了學生對指數的理解，又為后面對數的運算性質及對數函數的學習做了充分準備，起到了承上啟下的重要作用．
對數概念的獲得，應符合學生認知規律，教師不能直接拋出定義．教材所呈現的，是經過數學家整理過的數學知識，不一定完全符合學生的認知習慣，不可照本宣科．而發生教學法是在保持數學探究和教學結構嚴謹性的同時，剖析數學的演繹呈現方式，讓學生認識到數學的發展過程，而不僅僅是邏輯順序。
利用情境問題，教師引導學生提出問題，使學生產生認知沖突，從而認識到對數是有必要引進的一個重要的概念．
教師引導學生舉出類似的例子，歸納共同特征，獲得對數概念．通過揭示對數式與指數式的關系，讓學生體會到對數式與指數式的等價，從而體現了將對數問題與指數問題互相轉化來解決的思想方法．進而將抽象的對數概念具體化特殊化，引導學生進一步認識對數．
學習的過程就是一個不斷地提出問題、解決問題的過程，提出問題比解決問題更重要．教師應給學生提供由自己提出問題、選擇研究方法的機會，逐漸學會研究問題，促進能力發展．學生尚未完全掌握學習一個新的數學概念的一般方法，在學習過程中，教師應及時補充啟發性提示語，幫助學生理解特殊化的意義，進行階段性小結，以幫助學生明確研究一個新的數學對象的一般方法．
對于能力較強的學生，可引導他們嘗試證明歸納出來的性質，經歷數學研究的完整過程．
教學過程中，應充分發動學生，通過舉例、說理、交流等活動，提供學生充分展示思維的機會．通過總結一般方法，促進學生體驗由特殊到一般的思維過程．
針對不同學生的需求布置分層作業，不僅能幫助學生進一步掌握本課知識，還能幫助學生形成研究新對象的一般步驟和方法．
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