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視頻標簽：傾斜角與斜率
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學人教A版必修二3.1.1《直線的傾斜角與斜率》～天津市優課
教學設計、課堂實錄及教案：高中數學人教A版必修二3.1.1傾斜角與斜率～天津市優課
《直線的傾斜角與斜率》教學設計
一、教學內容分析
本課是人教版高中數學必修2第三章第一單元第一節。既是第三章的章首課，也是解析幾何的入門課。直線的傾斜角和斜率是解析幾何的重要概念之一，是刻畫直線傾斜程度的幾何要素與代數表示，學生第一次經歷用代數語言描述幾何要素及其內在聯系。因此在教學中不但要落實顯性知識；更重要的是要揭示隱性知識：坐標法。本課有著開啟全章，滲透數學思想方法的作用。直線的斜率是主線，無論是建立直線方程，還是研究位置關系等，斜率都發揮重要作用。“坐標法”與數形結合思想是本課內容的重要思想。
二、學情分析
本節課為高中解析幾何部分的起始課，對學生學好解析幾何而言顯得尤為重要，本節授課班級為區級重點校的思維拓展班.
從學生思想觀念與能力水平來看，學生整體素質較好，學習態度明確，學習習慣已形成，思維活躍。學生能用數學語言表達自己觀點，但在表述上還不能達到獨立地抽象、概括新概念的能力。教師根據學生的學習特征，設置遞進的問題情境，使學生主動參與，并促進學生自主學習的情感基礎。
從知識上來看，在此之前，學生已經接觸過直線，學習過一次函數和三角函數，接觸過坡度概念，也具備在直角坐標系中會用坐標表示點，明確坐標平面的點與有序數對可建立一一對應的關系等基礎知識。為考慮學生的最近發展區，使學生感受數學是自然的，教材采用了從感性到理性，從學生已有知識出發，設置問題，解決問題，形成結論，總結規律的研究方法。本節課在知識點和研究方法上，為后繼幫助學生判斷兩直線位置關系和建立直線方程等內容起到了關鍵性的鋪墊作用。
三、教學目標分析 1.知識與技能：
理解傾斜角的概念，體會在直角坐標系下，用統一的標準刻畫 幾何元素的思想方法。理解斜率的定義和斜率公式，經歷幾何問題代數化的過程，感受解析幾何的思想方法。并能應用知識解決簡單問題。 2.過程與方法：
融合天津連接海內外、南北交通樞紐這一地域文化，以天津的橋為背景，類比直角坐標系在解析幾何中的樞紐作用，培養學生數學核心素養。通過直線傾斜角概念的引入和直線傾斜角和斜率關系的揭示，引導學生觀察、發現、類比、猜想和實驗探索，進而培養學生數學表達能力，數學交流與評價能力。 3.態度情感與價值觀：
通過解析幾何發展史的簡單介紹，滲透數學文化教育。在平等的教學氛圍中，通過學生之間、師生之間的交流、合作和評價，實現共同探究、教學相長的教學情境。
四、教學重難點
教學重點：使學生經歷幾何問題代數化的過程，并初步體會坐標法。理解直線的傾斜角和斜率的定義，掌握過兩點的直線的斜率公式。
教學難點：直角坐標系下對刻畫直線的幾何要素的認識——傾斜角概念的形成；用坐標刻畫傾斜角的方法——斜率概念本質的認識。
五、教學過程 環節一：【導入】 創設情景——海河大橋，引入新課
教師首先展示天津海河上美麗的橋的圖片，重點介紹濱海新區的海河大橋，類比橋的連接交通的功能，強化直角坐標系的橋梁作用。（融合天津連接海內外、南北交通樞紐這一地域文化，以天津的橋為背景，類比直角坐標系在解析幾何中的樞紐作用，培養學生核心素養。）
然后教師引導學生回憶直角坐標系中“點”與“數對”間的一一對應關系，說明“數”與“形”的對應，這是解析幾何的根基，使得用代數的方法研究幾何問題成為可能。同時，指出解析幾何就是用代數的方法研究直線、曲線、多面體等圖形的性質，這樣既讓學生了解解析幾何的歷史，又使學生了解解析幾何研究什么，用什么方法研究等。（通過解析幾何發展史的簡單介紹，滲透數學文化教育。）
環節二：【探究】 探究新知，形成概念 （教師由斜拉橋引出直線和傾斜角）
問題1：對于平面直角坐標系內的一條直線，你認為它的位置由哪些 條件確定？
生：兩點確定一條直線。 問題2：經過一點能確定直線嗎？ 生：不能。
問題3：如果在直角坐標系中，直線都經過一個定點，它們的區別在哪里？ 生：傾斜程度不同。
（學生在教師設計的“問題串”的引導下，觀察思考，形成概念） （教師預設學生會得出“角度”這一結論）
問題4：在直角坐標系中，任何一條直線與x軸都有一個相對的傾斜程度，這個傾斜程度能否用一個幾何量來反映？
（學生活動：學生試著給直線的傾斜角下定義。） （教師引導，提問。最后歸納并給出規范的定義。）
強調：1、定義的完整性：分直線與x軸相交和直線與x軸平行或重合時分別定義 。
2、根據定義，請說出直線的傾斜角的范圍。
【設計意圖】從學生的已有知識經驗出發，引導學生逐步接受新的研究方法。
環節三：【練習】 直接應用，強化概念
練習一：請說出圖中直線的傾斜角(見ppt) 練習二：你認為下列說法對嗎？
1) 所有的直線都有唯一確定的傾斜角與它對應。 2) 不同的直線其傾斜角一定不相同。 【設計意圖】在學生直觀感受的基礎上形成傾斜角的定義。通過給各種類型的直線標注傾斜角，使學生形成對傾斜角全面的認識，在此基礎上認識到分類定義的必要性和規定的合理性。
環節四：【活動】 探究直線的斜率 問題1：我們已經明確了平面直角坐標系內確定一條直線位置的幾何要素，那么，能否用從代數角度作進一步刻畫？日常生活中，我們都有過爬山、爬坡的體驗，你還知道表示傾斜程度的量嗎？請舉例。
（教師出示兩幅樓梯圖片，引導學生回憶坡度概念。討論能否用數學式子表述角度變化與升高量和前進量之間的關系。利用學生的已有知識經驗將幾何問題代數化。）
問題2：如果你是一名樓梯設計師，怎樣設計更省力？
（通過以上討論，我們發現，如果結合傾斜角的概念，坡度實際可以表示為傾斜角的正切值，由此，我們可以用怎樣的量來刻畫直線的傾斜程度？進而引出斜率的定義） 【設計意圖】教師通過生活中的真實實例來吸引學生興趣，讓學生從實際和經驗中領悟到直線的傾斜角和斜率的意義和價值，觀察思考，形成概念的同時，激發學生探究的熱情。
問題3：傾斜角是90°的直線有斜率嗎？
問題4：傾斜角是90°的直線為什么沒有斜率？ 問題5：傾斜角越大，直線的斜率是不是也越大
（ 教師結合正切函數圖像和幾何畫板直觀演示，展示傾斜角也 斜率的變化規律。）
【設計意圖】學生在教師設計的“問題串”的引導下，反思和了解斜率存在的幾種情況，幫助學生理清思路，使要探究的問題始終處于學生的“最近發展區”內，并為下一步推導斜率公式埋下伏筆。
環節五：【探究】 合作探究，推導斜率計算公式
問題1：兩點可以確定直線，那么，傾斜角未知時，已知直線兩點),(),(2221,11yxPyxP，能否用點,1P2P的坐標表示直線的斜率k？（將斜率坐標化，讓學生初步體會坐標法思想。）
（學生分組討論，學生代表上黑板板演推導過程。構造直角三角形，結合坐標，利用邊角關系求解。）
問題2：無論傾斜角是銳角或鈍角，斜率公式的這一結論是否一致？ 問題3：當直線垂直于x軸時，上述結論是否適用？ 問題4：使用斜率計算公式時，應注意哪些問題？ 【設計意圖】通過合作探究，師生共同活動，使學生頭腦中的新舊知識建立聯系，形成新的認知結構。
環節六：【講授】 典例剖析，知識應用 例1 已知點A（3，2），B（－4，1），C（0，－l），求直線AB，BC，CA的斜率，并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角。
變式訓練（1）若把上題中的B點坐標改成（m,2） ，求此時直線AB的斜率； 變式訓練（2）請在下面的平面直角坐標系中畫出過點C,且斜率分別為-1，3 和2的直線；
變式訓練（3）若過點C作直線 l，直線 l與線段AB總有公共點，求直線 的斜
率k的取值范圍。
【設計意圖】通過以上環節，典型例題一題多變，學生將所學知識學以致用，并將這些知識真正納入自己的知識體系，形成螺旋上升的學習過程。
環節七：【測試】 檢測效果，當堂達標 1、已知直線的傾斜角，求直線的斜率：
（1）30a ； （2）60a； （3）
135a ； （4） 90a
2、已知直線的斜率，求其傾斜角. [來源:Z|xx|k.Com]
（1）k=0； （2） k= 1 ； （3） k=3 ； （4）k不存在.
3、判斷正誤：
①直線的傾斜角為，則直線的斜率為tan。 （ ） ②任一條直線都有傾斜角，也都有斜率。 ( ) ③兩直線的斜率相等，它們的傾斜角相等。 ( ) ④兩直線的傾斜角相等，則它們的斜率相等。 ( ) ④直線的傾斜角越大，則它們相應的的斜率也越大。 ( )
環節八：【講授】 課堂小結，認知升華
問題（1）在本節課中，你學到了哪些新的概念？它們有什么關系？ 問題（2）怎樣求出已知兩點的直線的斜率？
問題（3）從傾斜角(形)能刻畫直線的傾斜程度，到斜率(數)也能刻畫直線的傾斜程度，這個過程中主要體現了什么數學思想？ 環節九：布置作業
A層作業：必做題：課本P89習題3.1A組 1，2，3，4。 B層作業：選做題：陽光課堂P50例1，例2及其變式。 【設計意圖】培養學生運用所學知識解決問題的能力。
視頻來源：優質課網 www.jixiangsibao.com
