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視頻標簽：傾斜角與斜率
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學人教A版必修二3.1.1傾斜角與斜率～福建
教學設計、課堂實錄及教案：高中數學人教A版必修二3.1.1傾斜角與斜率～福建省 - 莆田
教學目標
三維目標
1、知識與技能:
(1)在直角坐標系中,結合具體圖形,探索確定直線位置的幾何要素;
(2)理解直線傾斜角和斜率的概念和關系。
2、過程與方法:
(1)結合實際,用實際問題帶動數學學習;
(2)思維訓練,借助圖像幫助理解。
3、情感態度與價值觀:
認識事物之間相互聯系——用聯系的觀點看問題。
2學情分析
1.在初中,學生已經知道,兩點確定一條直線,但就已知一點需要再增加什么量才能確定直線,以及如何來刻畫這個量,對學生來說有點困難,所以在教學過程中可以引導學生先觀察過一點的不同直線的傾斜程度不同,從中形成傾斜角的概念,再經過作圖發現經過平面上的一個點和他的傾斜角可以確定直線的位置。
2.對斜率概念的理解是本節的難點,教學中通過日常生活的例子(坡度概念),充分利用學生已有的知識,引導學生把這個同樣用來刻畫傾斜程度的量與傾斜角聯系起來,并通過坡度的計算方法,引入斜率的概念。
3.探究直線傾斜角與斜率變化關系是本節的另一個難點,教學中可以采用從特殊到一般的思想方法,先讓學生觀察特殊角的正切值表,發現并總結規律,隨后利用幾何畫板展示直線傾斜角與斜率的變化過程,拓展到一般情況,加強學生思維訓練,同時讓學生感受到數學的自然性。
3重點難點
教學重點:直線的傾斜角和斜率概念。
教學難點:斜率概念的理解,直線傾斜角與斜率變化關系探究。
4教學過程
4.1第一學時
4.1.1教學活動
活動1【導入】創設情境，引入新課
1596年3月31日生于法國小鎮的一個貴族家庭。因家境富裕從小多病,據說有一天,笛卡爾生病臥床,病情很重,盡管如此他還反復思考一個問題:幾何圖形是直觀的,而代數方程是比較抽象的,能不能把幾何圖形和代數方程結合起來,也就是說能不能用幾何圖形來表示方程呢?要想達到此目的,關鍵是如何把組成幾何圖形的點和滿足方程的每一組“數”掛上鉤,他苦苦思索,拼命琢磨,通過什么樣的方法,才能把“點”和“數”聯系起來。
突然,他看見屋頂角上的一只蜘蛛,拉著絲垂了下來。一會功夫,蜘蛛又順著絲爬上去,在上邊左右拉絲。蜘蛛的“表演”使笛卡爾的思路豁然開朗。他想,可以把蜘蛛看作一個點。他在屋子里可以上,下,左,右運動,能不能把蜘蛛的每一個位置用一組數確定下來呢?他又想,如果把地面上的墻角作為起點,把交出來的線作為數軸,那么空間中任意一點的位置就可以在坐標系上找到有順序的數對。反過來,任意給一組有順序的數,也可以在空間中找到一點與之對應,這就是坐標系的雛形。
平面解析幾何是通過平面直角坐標系,建立點與實數對之間的一一對應關系,以及曲線與方程之間的一一對應關系,運用代數方法研究幾何問題,或用幾何方法研究代數問題。
設計意圖:了解解析幾何的基本研究內容,同時,通過故事激發學生興趣,拉近教師和學生之間距離。
活動2【講授】講解新課
一、直線的傾斜角
問題一:確定一條直線的位置要素是什么?
設計意圖:明確研究對象:探索確定直線位置的幾何要素。
方法一:已知直線上的兩點
方法二:一個點和一個方向
師生共同探究發現,過點P直線有無數條,它們的傾斜程度不同。
設計意圖:引導學生從傾斜程度不同方面研究過定點的不同直線,
從而發現直線上一點和直線的傾斜程度也能確定一條直線,為引出傾斜角的概念作鋪墊。
傾斜角:當直線l與x軸相交時,我們取x軸為基準,x軸正方向與直線l向上方向之間所成的角a叫做直線l的傾斜角。
注:1. 當直線l與x軸平行或重合時,直線的傾斜角為0°;
2.傾斜角的取值范圍是
問題二:1.平面上任何一條直線都有傾斜角嗎?它的傾斜角唯一嗎?
2.兩條直線平行,傾斜角有何關系?
3.兩不重合的直線傾斜角相等,它們的位置關系如何?
設計意圖:使學生理解確定一條直線位置的幾何要素是:直線上的一個點以及它的傾斜角,兩者缺一不可。傾斜角刻畫平面直角坐標系內一條直線的傾斜程度!
二、直線的斜率
問題三:除了傾斜角,日常生活中,還有沒有表示傾斜程度的量?
設計意圖:結合實際,用實際問題帶動數學學習。
觀察圖片,回顧初中學過的“坡度(比)”的含義
設計意圖:從學生的現狀出發,結合已有的生活經驗尋找幾何要素代數化的方法
從上面的研究,我們發現,如果使用“傾斜角”的概念,“坡度”實際就是“傾斜角α的正切值”,由此你認為還可以用怎樣的量來刻畫直線的傾斜程度?
設計意圖:引導學生理解直線的傾斜程度除了用傾斜角表示外,還可以用傾斜角的正切值表示,體現了幾何向代數的轉化過程,由此引出斜率概念。
斜率:傾斜角不是90o的直線,它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。常用k表示,即k=tanα(α ≠ 90o)
注:(1)傾斜角是90o的直線沒有斜率
(2)傾斜角不是90o的直線都有斜率,傾斜角不同,直線的斜率也不同。
設計意圖:明確可以用斜率表示直線的傾斜程度,因此:斜率也可以刻畫平面直角坐標系內一條直線的傾斜程度。
活動3【活動】探究活動：直線的傾斜角與斜率的變化關系
復習初中學習的特殊角正切值,提示:當a是銳角時
傾斜角
斜率
無意義
引導學生仔細觀察表格,發現規律:
探討:上述為特殊情況,一般情況下又如何?
幾何畫板展示,任取一條過原點的直線,做直線 ,交已知直線于點 ,則點 的縱坐標即為直線的斜率 ,轉動直線,觀察點 縱坐標的變化情況,由此證實上述結論。若直線不過原點,根據平行直線傾斜角相等的結論,可以過原點做與已知直線平行的直線,轉化為上述問題。
設計意圖:滲透從特殊到一般的數學思想,先探究特殊情況,并觀察總結規律,再通過數形結合,研究一般情況,得出結論。
活動4【練習】例題講解
判斷正誤
(1)任一條直線都有傾斜角也都有斜率 ( )
(2)直線的傾斜角越大,它的斜率就越大 ( )
(3)平行于X軸的直線的傾斜角是 或 ( )
(4) 因為平行于y軸的直線的斜率不存在,所以平行于y軸的直線的傾斜角不存在( )
(5)兩直線的斜率相等,它們的傾斜角相等( )
(6)兩直線的傾斜角相等,則它們的斜率相等( )
視頻來源：優質課網 www.jixiangsibao.com
