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視頻標簽：學習最短路徑問題
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：初中數學人教版八年級上冊第十三章13.4課題學習最短路徑問題-江蘇省 - 南京
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初中數學人教版八年級上冊第十三章13.4課題學習最短路徑問題-江蘇省 - 南京
13．4 課題學習 最短路徑問題
教學目標
能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題，體會圖形的變化在解決最值問題中的作用，感悟轉化思想．
教學重點
利用軸對稱將最短路徑問題轉化為“兩點之間，線段最短”問題． 教學難點
探索發現“最短路徑”的方案，確定最短路徑的作圖及說理．
教學過程設計
一、創設情景，明確目標
如圖所示，從A地到B地有三條路可供選擇，走哪條路最近？你的理由是什么？
前面我們研究過一些關于“兩點的所有連線中，線段最短”、“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱它們為最短路徑問題．現實生活中經常涉及到選擇最短路徑的問題，本節將利用數學知識探究數學史中著名的“將軍飲馬問題”．
二、自主學習，指向目標
自學教材第85 頁至87 頁，思考下列問題：
1．求直線異側的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題，只要連接這兩點，與直線的交點即為所求，其依據是兩點的所有連線中，線段最短．
2．求直線同側的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題，只要找到其中一個點關于這條直線的對稱點，連接對稱點與另一個點，則與該直線的交點即為所求．
3．在解決最短路徑問題時，我們通常利用軸對稱、平移等變化把已知問題轉化為容易解決的問題，從而作出最短路徑的選擇．
三、合作探究，達成目標 探索最短路徑問題
要在公路（寬度不計）上修建一個泵站C，分別向公路兩側A、B兩鎮供氣，泵站修在什么地方，可使泵站C到A、B兩鎮所用的輸氣管線最短? 游戲
桌上放著10顆金蛋，大家從A地出發，到桌上拿1顆金蛋跑
到B
地，最先到達的就能得到金蛋里面的禮物。如果大家的跑步速度一樣，你會選擇拿哪顆金蛋？ 活動1:思考畫圖、得出數學問題
活動2:嘗試解
決數學問題 展示點
評：作法：
(1)作點B 關于直線l 的對稱點B′； (2)連接AB′，與直線l 交于點C. 則點C 即為所求．
活動3:你能用所學的知識證明AC +BC最短嗎?
證明：如圖，在直線l上任取一點C′(與點C 不重合)，連接AC′，BC′，B′C′.由軸對稱的性質知，
BC ＝B′C，BC′＝B′C′. ∴ AC ＋BC＝ AC ＋B′C ＝ AB′， AC′＋BC′＝ AC′＋B′C′.
在△AB′C′中， AB′＜AC′＋B′C′， ∴ AC ＋BC＜AC′＋BC′.即 AC ＋BC 最短. 小組討論：證明AC ＋BC 最短時，為什么要在直線l 上任
取一點
C′(與點C 不重合)，證明AC ＋BC ＜AC′＋BC′？這里的“C′”的作用是什么？
反思小結：運用軸對稱變換及性質將不在一條直線上的兩條線段轉化到一條直線上，然
后用“兩點之間線段最短”解決問題．利用三角形的三邊關系，若直線l上任意一點(與點C 不重合)與A，B 兩點的距離和都大于AC ＋BC，就說明AC ＋BC 最小. C′的代表的是除點C以外直線l上的任意一點．
小結：運用軸對稱變換及性質將不在一條直線上的兩條線段轉化到一條直線上，然后用“兩點之間線段最短”解決問題．
三、反思小結 你有哪些收獲?
四、實踐作業
如圖，地跌龍華路站與閱景龍華公交站間有一片長方形草坪，路人換乘時經常會踐踏草坪。園林工人打算在草坪上鋪設石階，石階鋪設在什么位置路人才會愿意走？ （考慮到成本，鋪設的石階與路牙垂直）
展示點評：從A到B要走的路線是A→M→N→B，如圖所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可．
解：在直線a上取任意一點M′，作M′N′⊥b于點N′，平移AM，使點M′移動到點N′的位置，點A移動到點A′的位置，連接A′B交直線b于點N，過點N作MN⊥a于點M，則路徑AMNB最短．
理由如下：如圖，點M′為直線a上任意一點(不與點M重合) ∵線段A′N′是線段AM平移得到的 ∴AA′＝MN′，A′N′＝AM
∴AM′＋MN′＋BN′＝A′N′＋AA′＋BN′ ∵MN平行AA′且MN＝AA′
∴MN可以看作是AA′經過平移得到的 ∴A′N＝AM ∴AM＋NB＝A′N＋NB
∵根據兩點之間線段最短，得A′N＋NB＝A′B<A′N′＋BN′ ∴AM＋NB＝A′N＋NB
∵根據兩點之間線段最短，得A′N＋NB＝A′B<A′N′＋BN′ ∴AM＋NB<AM′＋BN′ ∵MN＝MN′
∴AM＋MN＋NB<AM′＋M′N′＋N′B，即路徑AMNB最短．
小組討論：回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的過程、借助什么解決問題的？ 反思小結：解決連接河兩岸的兩個點的最短路徑問題時，可以通過平移河岸的方法將河的寬度為零，轉化為求直線異側的兩點到直線上一點所連線段的和最小的問題．由兩點之間線段最短(或三角形兩邊之和大于第三邊)可知，求距離之和最小問題，就是運用等量代換的方式，把幾條線段的和想辦法(如利用軸對稱或平移等)轉化在一條線段上，從而解決這個問題．
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