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視頻標簽：最短路徑問題
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：人教課標版八年級上冊13.4 課題學習最短路徑問題-天津市
教學設計、課堂實錄及教案：人教課標版八年級上冊13.4 課題學習最短路徑問題-天津市
13.4.課題學習《最短路徑》教學設計
一、教材分析
地位作用： 現在是數學遵循《標準》的理念，以“生活 數學”“活動 思考”
為主線展開課程內容，注重體現生活與數學的聯系，其中最短路 徑問題就是這一方面知識與能力的綜合運用。本節課的教學貼近 生活，更著眼于解決生產、經營中的問題，以省時、省財力、省 物力為教學主線，希望尋求最短路徑的數學問題。這類問題的解 答是在學生學習了“軸對稱”的基礎之上，依據是“兩點之間， 線段最短”或“垂線段最短”這一理論基礎上進行推導、演練， 根據所給的條件的不同，在解決方法和策略上又有所差別。初中 數學中的最短路徑問題，體現了數學來源于生活，并用數學解決 現實生活問題的數學應用性。本考點在中考時往往以解答題的形 式出現。
二、教學目標：
（1）知識與技能：借助軸對稱知識轉化，利用公理“兩點之間、線段最短”
來求線段和的最小值，從而解決最短路徑問題。體會圖
形的變化在解決最值問題中的作用，感悟轉化思想。
（2）過程與方法：經歷實踐活動的過程，得出最短路徑問題的解決辦法，
找到關于線的對稱點實現“折”轉“直”，再利用“兩點之間，線段最短”這一性質來解決一些簡單的實際問題。
（3）情感、態度與價值觀：通過觀察、歸納、推理得出數學猜想，體驗
數學充滿探索性、創造性。
三、教學重、難點
教學重點：確定兩點一線和兩點兩線型的線段和最小值問題。
教學難點：分析問題、確定問題類型并解決問題。
突破難點的方法：利用軸對稱性質，作任意已知點的對稱點，連接對稱點和
已知點，得到一條線段，利用兩點之間線段最短來解決.
四、教學準備：多媒體課件、導學案
五、教學過程：
（一）復習引入 活動一：
教師：我們在平時的生活中有許多的時候都會考慮怎樣才可以使我們的利益最大
化，比如說：怎樣可以使省時、省力；再比如說，怎樣找最短距離。那我們在初中階段就已經學習多了一些相關的幾何知識，現在請大家回憶一下我們學過哪些定理來說明最短距離。
學生：思考教師展示問題，對所學知識進行復習鞏固，并觀察圖片，獲得感性認
識.
設計意圖：從生活中問題出發，喚起學生的學習興趣及探索欲望。
活動二：兩點在一條直線異側的最短路徑問題
已知：如圖，A，B在直線L的兩側，在L上求一點P，
使得PA+PB最小。
教師：請同學們討論此題，并作圖。
討論問什么這樣作圖就是最短的路徑?
學生：思考老師展示的問題，經過討論，在導學案上作出圖形，并回答問題。 設計意圖：為學生提供參與數學活動的生活情境，培養學生解決數學問題的能力. （二）創設情景，引入課題
活動三：兩點在一條直線同側的最短路徑問題——兩定一動
如圖，牧馬人從A地出發，到一條筆直的河邊 l 飲馬，然后到B地．牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？
教師：請同學讀題，思考本題中展示的數學問題.
學生：學生思考教師展示問題，并觀察圖片，獲得感性認識.
設計意圖：從生活中問題出發，喚起學生的學習興趣及探索欲望.
追問1：觀察思考，抽象為數學問題
教師：這是一個實際問題，你打算首先做什么？ 小組討論活動（1）：
學生：將A，B 兩地抽象為兩個點，將河l 抽象為一條直線．
設計意圖：通過學生觀察口答，自己的動手畫圖等一系列活動，為學生提供參與
數學活動的生活情境，培養學生的把生活問題轉化為數學問題的能力.
追問2：你能用自己的語言來說明這個題的意思嗎？可以把它抽象成一個數學問
題嗎？
小組討論活動（2）：
學生嘗試回答，并互相補充，最后達成共識：
（1）從A 地出發，到河邊l 飲馬，然后到B 地；
（2）在河邊飲馬的地點有無窮多處，把這些地點與A，B 連接起來的兩條線段
的長度之和，就是從A 地到飲馬地點，再回到B 地的路程之和； （3）現在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最短的直線l上的點．設C 為
直線上的一個動點，上面的問題就轉化為：當點C 在l 的什么位置時，AC 與CB 的和最小（如圖）．
設計意圖：通過與其他同學間的合作交流，經歷自己的獨立思考，用觀察——畫
圖——說理等活動，感受幾何的研究方法，培養學生的邏輯思考能力。
強調：將“最短路徑問題”轉化為“線段和最小”的問題
追問3：嘗試解決數學問題
教師：我們觀察點C的運動軌跡，猜想一下當點C在直線L的什么位置時，AC 與CB的和最小？我們可以聯想剛才當A、B位于直線L的異側時的最短路徑問你 能利用軸對稱的有關知識把同側的兩點，轉化為異側的兩點嗎？ 小組討論活動（3）：
學生：作點A關于直線L的對稱點A’，連接A’B，交直線L于點C，則C即為
所求。
設計意圖：經過學生獨立思考，合作交流等方式，達到軸對稱知識的學以致用，
教師要在講解中注意總結問題解決的方法：抓對稱性來解決。
追問4：你能用所學的知識證明AC+BC最短嗎？
小組討論活動（4）：
師生互動：引導學生推理，并給出證明過程。 證明：在直線 l 上任取另一點C′ ，
連接AC′ 、BC′ 、B′ C′ ． ∵直線 l 是點B、B′的對稱軸， 點C、C′在對稱軸上，
∴BC=B′C，BC′=B′C′． ∴AC+BC=AC+B′C=AB′． 在△AB′C′中，
AB′< AC′+B′C′， ∴AC+BC < AC′+B′C′， 即AC+BC最小．
小組討論活動（5）：
討論本題的做法，說出如何解答此類問題 本題小結：
設計意圖：經歷觀察——畫圖——說理等活動，感受幾何的研究方法，培養學生
的邏輯思考能力。通過相互交流解題經驗，提煉思想方法：軸對稱、活動四：練習
已知：正方形ABCD的邊BC上有一點E，
請你在對角線CD上找到一點P，使 得BP+PE的和最小
設計意圖：本題是對兩點在一直線同側求線段和最小問題的一個提升，雖然學生
還沒有學習過四邊形，但根據小學所學習的正方形的基本知識，以及學生已有生活經驗，他們可以很容易的說出取B點的對稱點D，連接DE，交AC于P，則P即為所求。
活動五：一定兩動
如圖，A為馬廄，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到馬廄. 請你幫他確定這一天的最短路線.
教師：請同學們認真讀題，參照我們剛學習過的知識，把實際問題轉化問幾何問
題，并給出已知和求證。 學生：動手操作畫圖
已知：如圖，在l1、l2之間有一點A.
求證：分別在l1、l2上確定一點M、N ，使AM+MN+NA最小.
設計意圖：通過討論，培養學生分析問題、解決問題的能力。 師生互動：由學生操作，老師引導，畫出正確圖解。
設計意圖：在討論和動手操作的過程中體會軸對稱變換對解決線段和最短問題的
重要性。
活動六：練習——兩定兩動
某中學八(1)班舉行文藝晚會，桌子擺成如圖所示，兩直排(圖中的AO，BO)，AO桌面上擺滿了橘子，OB桌面上擺滿了糖果，站在C處的學生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D處座位上。請你幫助他設計一條行走路線，使其所走的總路程最短？請選擇正確的順序（ ）
1、連接C1D1,分別交OA、OB于點P、Q； 2、作D點關于OB的對稱點D1； 3、作C點關于OA的對稱點C1；
4、那么小明沿C→P→Q→D的路線行走，所走的總路線最短
A、2、3、1、4 B、1、2、4、3 C、3、1、2、4 D、2、3、4、1 設計意圖：本題相對比較簡單，目的是讓學生熟悉掌握作圖的步驟。
活動七：小結歸納
同學總結本節課所學習的知識
設計意圖：自由發言，相互借鑒，自由評價。總結回顧學習內容，幫助學生歸納
反思所學知識及思想方法。注意關注學生的個體差異。
活動八：當堂監測
1、如圖，小河邊有兩個村莊A、B，要在河邊建一自來水廠向A村與B村供水，則下列敘述錯誤的是（ ）
A、若過點A向EF作垂線交EF于點M，則在點M建廠離A村最近
B、若過點B向EF作垂線交EF于點N，則在點N建廠離B村最近
C、若要使廠部到A、B兩村的水管最短，則作AB的垂直平分線，與EF的交點即為符合條件的點
D、若要使廠部到A、B兩村的水管最短，作A點關于EF的對稱點，連接該對稱點與B點，與EF的交點即為所求。
2、現有一人騎馬從C點到D點，但必須先到河岸L1的P1點去讓馬飲水，然后再到河岸L2的P2點去，再次讓馬飲水，最后到D點，如圖，他應如何選擇飲馬點P1，P2，才能使所走的路程CP1+P1P2+P2D最短？
3、（1）如圖1，點A，B在直線L兩側，請你在直線L上畫出一點P，使得PA+PB的值最小； （2）如圖2，點E，F在直線L同側，請你在直線L上畫出一點P，使得PE+PF的值最小；
（3）如同3，點M，N在直線L同側，請你在直線L上畫出兩點O，P，使得OP=1cm ，且MO+OP+PN的值最小。
（保留作圖痕跡，不寫做法，第三問作為選作）
（圖1） （圖2） （圖3）
活動九：作業 質量監測86-87
活動十：課后反思
本節課為人教版八年級上冊的內容，在內容上與學生的實際生活聯系的比較緊密，也正是因為這樣課堂中就更多的體現“用數學思想解決實際問題”這一數學思想。
在教學設計上利用學生已有的數學體驗進行引入，全體學生掌握良好。在講解“求兩點在一條直線的同側的最短路徑問題”時，通過學生的動手操作，互相說理，證明驗證等一系列教學活動讓提煉解決此類問題的方法，為了讓學生探究問題更加的順暢，我還設置了三個小問題，這樣一來學生的討論就有了依據，隨著討論越來越深入，知識呈現就會更具體、問題理解也變得更深刻、技能的生成也更容易，有利于學生掌握數學的核心知識、完成學習目標。進而上升到對怎樣用數學思想解決實際問題的方法的總結。
不足之處：課堂的引入過短，雖然引入中加入了以前的例題，但是語言上的引入應該在給學生一個緩沖的時間。在教學中我給予學生討論的時間還是不夠充分，應該鼓勵學生多說，更好的培養學生的說理能力和總結能力。注重分類討論的重要性，理解每種不同類型題目之間的區別和聯系，重視建模思想的滲透，為以后的數學學習打好基礎。
視頻來源：優質課網 www.jixiangsibao.com
