視頻簡介：
視頻標簽：三角形內角和定理
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：北師大版八上第七章第五節7.5.2三角形內角和定理（2）福建
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北師大版八上第七章第五節7.5.2 三角形內角和定理（2）福建省 - 漳州
7.5.2 三角形內角和定理（2）
——三角形的外角
一、教材分析
本節課位于北師大版數學八年級上冊第七章第五節第二課時.其教學內容為三角形外角的定義以及三角形內角和定理的推論，這是對三角形內角和定理的拓展和延伸，使學生對三角形的外角由直觀感知上升為理性認識，進而掌握三角形外角的定義和性質的應用，旨在利用已經學習過的知識來推導出新的定理以及運用新的定理解決相關問題.它既是對圖形進一步認識的重要內容之一，也是用以研究角相等的重要方法之一.因此，作為八年級上冊最后一節新課的內容，本節課起著承上啟下的作用. 二、學情分析
1. 學生已經具備了一定的圖形感知能力，所以能夠把握好三角形的外角所具備的位置特征.
2. 在《三角形內角和定理的證明》一節中，學生已掌握了三角形的內角和定理的嚴密證明及相關應用，這使得學生能夠在充分理解的基礎上對三角形內角和定理進行拓展和延伸，關于三角形外角性質的推導就會比較順利. 3. 以往學習中，學生已經掌握了鄰補角的有關知識、兩條直線平行的條件及平行線的特征，便于學生在本節學習過程中進行三角形外角性質的應用.
由于學生已經具備了上述知識和一定的邏輯推理能力，為切實理解和掌握本節課的內容奠定了良好的知識和認知基礎. 三、教學目標分析 1. 知識技能
（1）三角形的外角的概念
（2）三角形內角和定理的兩個推論 2. 過程與方法
（1）經歷探索三角形內角和定理的推論的過程，進一步培養學生的推理能力 （2）理解掌握三角形內角和定理的推論及其應用 （3）進一步學會數學說理
2
3. 情感與價值觀要求
（1）通過觀察和動手操作，體會探索過程，學會推理的數學思想方法，培養學生主動探索、勇于發現，敢于實踐及合作交流的習慣.
（2）通過探索三角形內角和定理的推論的活動，來培養學生的論證能力。在體驗一題多變、一題多解得過程中發散思維拓寬他們的解題思路，提高空間想象能力，從而使他們靈活應用所學知識. 四、教學重難點
教學重點：三角形內角和定理的推論
教學難點：三角形的外角及三角形內角和定理推論的應用 五、設計思路
本節課是典型的幾何特點的課程，我利用多媒體為學生創設生動、直觀的學習環境，充分調動學生的學習興趣和積極性.先以三角形內角和定理的證明為導入，用輔助線“延長BC至點D”為學生觀察三角形外角的特征鋪平道路，引導學生通過觀察、比較、討論、總結的方式，明確三角形外角的定義和位置特征.接下來以△ABC的外角∠1為研究對象，引導學生利用三角形內角和定理、鄰補角的定義及不等式的性質，探究總結三角形外角的性質，即三角形內角和定理的兩個推論，在此過程中，引導學生通過對銳角三角形、鈍角三角形和直角三角形的觀察，明確“和它不相鄰”的意義，糾正學生的認識誤區.要求學生用自己的語言正確表述兩個推論，并用幾何語言表達.在應用部分，先以兩道基礎練習，讓學生熟悉兩個推論的應用，再通過課本例題，鞏固學生應用推論，同時引導學生總結兩個推論所適用的數學問題，幫助其形成一定的分析能力，鼓勵學生一題多解，拓展思路，最后以隨堂練習再次提高,規范書寫.課堂小結部分，以三個問題的形式，層層遞進,引導學生總結本節知識點和應用技巧，明確所學和所缺，便于課后復習。分層布置作業，必做題為基礎訓練，選做題為適當提高，激發學生的積極性和挑戰心理，更進一步鞏固知識應用. 六、教學方法：啟發誘導法、合作學習法、歸納總結法 七、教具準備：多媒體課件 八、教學過程 （一）復習回顧
3
問1：上節課我們學習了什么內容？（三角形內角和定理及證明） 問2：定理的內容是什么？（三角形的內角和等于180°） 問3：結合△ABC如何表示？（∠A+∠B+∠C=180°）
問4：其中∠A、 ∠B、 ∠C是△ABC的什么角？（三個內角） 引入：今天我們繼續來研究三角形的角. （二）定義解析
將△ABC的一邊BC延長
問1：這時在△ABC的外部得到哪個角？（∠ACD） 問2：觀察它的頂點和邊，有何特征？
① ∠ACD的頂點（點C）在三角形的一個頂點上； ② ∠ACD的一條邊（AC）是三角形的一條邊；
③ ∠ACD的另一條邊（CD）是三角形的某條邊（BC）的延長線 問3：所以，∠ACD是由什么組成的角？
（∠ACD是由三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角） 問4：我們把這樣的角叫做？（三角形的外角） 板書定義：
三角形的一邊與另一邊的延長線所組成的角，叫做三角形的外角.如∠ACD是△ABC的外角.
問5：△ABC還有其他外角嗎？如果有，請你畫出來，并標上數字. （學生自主探究作圖后，小組交流，觀察比較所畫的外角是否相同，分析問題所在）
展示兩位同學的作業，一個畫3個外角，一個畫6個外角，引導學生觀察圖形，發現易錯點.將每條邊向兩邊延長，即可得到所有的外角.
問6：一個三角形有幾個外角？每個頂點處有幾個外角？這些外角之間有怎樣的數量關系？為什么？ 小結：
① 一個三角形有6個外角； ② 每個頂點處有2個外角；
③ 其中有三個外角與另外三個外角相等. （對頂角相等）
4
所以我們在研究外角時，一般只研究其中的三個.
引入：三角形的內角有和為180°的性質，那么三角形的外角是否有特殊的性質呢？下面我們一起來探索. （三）性質探索
問1：如圖，∠1與△ABC有何關系？（∠1是△ABC的一個外角） 問2：∠2、∠3、∠4是三角形的什么角？
問3：∠1與三個內角之間有怎樣的大小關系？為什么？（小組合作，列出它們之間的等量關系及不等關系，并探究理由） 由學生代表發言
① ∠1 +∠4 =180o ② ∠1 = ∠2 +∠3 ③ ∠1 > ∠2 ， ∠1 > ∠3
證明：∵ ∠2 +∠3 +∠4 =180°（三角形的內角和為180°）
∠1 +∠4 =180°
（平角的定義）
∴ ∠2 +∠3 =180°- ∠4
∠1 = 180°- ∠4 （等式的性質） ∴ ∠1 = ∠2 +∠3 （等量代換）
∴ ∠1 > ∠2 ， ∠1 > ∠3
問4：改變外角∠1的位置，這些關系還成立嗎？
問5：改變三角形的形狀，這些關系還成立嗎？
5
（四）性質歸納
問1：所以我們發現，對于任意三角形的任何一個外角，這些關系都成立.你能用文字語言歸納這些性質嗎？（獨立思考后小組討論，代表回答，師注意引導強調“不相鄰的內角”）
問2：符號語言如何表示？ 板書性質：
定理1：三角形的一個外角等于和它不相鄰．．．．．的兩個內角的和. ∵ ∠1是△ABC的一個外角 ∴ ∠1 = ∠2 +∠3
（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和）
定理2：三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰．．．．．
的內角. ∵ ∠1是△ABC的一個外角
∴ ∠1 > ∠2 ，∠1 >∠3
（三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角）
問3：這兩個結論是由什么推導出來的呢？（三角形內角和定理） 引導：我們把由一個公理或定理直接推導出的定理叫做這個公理或定理的推論.因此這兩個結論稱為三角形內角和定理的推論，可當做定理直接使用.
問4：這兩個定理有何作用？
（五）知識應用
1. 求出下列圖形中∠1的度數.
∠1= ； ∠1= ； ∠1= ；
2.如圖，在△ABC中, ∠1是它的一個外角, E為邊AC上一點,延長BC
6
P
C
B
A
到D, 連接DE，則∠1 ∠D.（填“>，<，=”）請說明理由.
注：本題一題多解，可借助∠2進行過渡，也可直接延長 DE與AB相交于點F，使得∠1是△DBF的一個外角. （六）方法鞏固
例1 已知: 如圖，在△ABC中，∠B=∠C ，AD平分∠EAC.
（1）找出圖中△ABC的外角； （2）求證：AD∥ BC
問1: 如何證明兩條直線平行？ 同位角相等，兩直線平行 內錯角相等，兩直線平行 同旁內角互補，兩直線平行
問2：用“ 內錯角相等，兩直線平行”要證明哪兩個角相等？如何證？（生獨立思考后發言，師板書）
問3：還有其他方法嗎？（生發言） （七）合作提升
例2 已知，如圖，P是△ABC內一點，連接PB，PC.求證:∠BPC ＞∠A.
問1：我們有哪些關于角的不等關系的結論？ 問2：本題能直接運用這個結論嗎？ 問3：困難在哪里？
問4：如何構造三角形的外角？
請大家小組合作，你們能想出幾種方法？討論完畢后，組內每人各寫出其中一種方法的解答過程.（三位學生上臺展示不同的輔助線）
7
問5：本題解題的關鍵是什么？
（八）反思感悟
問1：本節課學習了什么知識？
問2：三角形外角的兩條性質定理有什么作用？ 問3：如果圖中沒有三角形或三角形的外角怎么辦？
承上啟下：通過今天的學習，我們發現三角形有內角也有外角，并且都具備特殊的性質，將來遇到四邊形、五邊形等多邊形時，可以類比學習是否存在外角呢？它們又有怎樣的性質呢？ （九）課后作業
課本P183 習題7.7：1-4 補充題：
1. 如圖1，在△ABC中， ∠A=70°，∠ABC=60°，則∠ACB = ，
圖中△ABC的外角有 ，度數分別為 . 2. 如圖2， ∠ACD=155°，∠B=35°，則∠A= .
圖1 圖2 3. 如圖3，用“=”、“>”、“<”填空： （1） ∠1 ∠ABC+∠BAC （2） ∠2 ∠ABC
（3） ∠BAC ∠3
圖3
4. 如圖4，已知∠1= 20°， ∠2= 25°，∠A=35°，求∠BDC的度數。
圖4 圖5
5. 如圖5，直線a∥b, 則∠A= __________.
60°
70°
C
EFBA155°
35°
A
DC
B3
1
2CBA
70°31°C
D
A
ba
D
C
B
A
21
8
6. 如圖6，已知∠1= 100o， ∠2= 140o
，則∠3= _____
7. 如圖7，點P是△ABC內部一點，則∠1、 ∠2、 ∠A的大小關系為：
§7.5三角形內角和定理（第1課時）
【北師大版八年級上冊】
一、內容分析
1、課標要求
本節課內容要求：探索并證明三角形的內角和定理。
2、教材分析
知識層面：學生在小學和七年級已經知道三角形內角和等于180°，而本節課是建立在學生掌握了平行線的性質及證明等知識的基礎上展開的，不僅是對平行線、平角、三角形相關知識的應用和深化，也為后續學習四邊形、多邊形內角和，圓周角定理等內容奠定了基礎。因此，本節課的內容具有承前啟后的作用。
能力層面：學生在前面的學習中，已經對一些幾何結論有了直觀認識，同時積累了猜想、驗證及合情推理的能力。教材從學生實踐操作到證明過程的呈現，培養了學生的幾何直觀能力和演繹推理能力.
思想層面：首先，本節課通過“移動內角（或其它方法）”把三角形的內角拼成一個平角或一組補角的思路蘊含了化歸與轉化的思想，這種思想是一種重要的解題策略，它可以幫助我們確定思考的方向。其次，實驗從測量角度到折紙和撕角拼接，在感受幾何直觀作用的同時，滲透了數形結合的思想；而“三角形的內角和等于180°”，是初中幾何中“第一個數量等式”，是用代數方法解決幾何問題常用到的方程模型，讓學生體會到模型思想．
3、學情分析
認知特點：八年級學生的抽象邏輯思維開始由“經驗型”向“理論型”轉化，這為證明三角形內角和定理提供了基礎。而學生在學習三角形內角和定理的證明過程中，其認知順序是建構型的。平行線是他們原有知識儲備的主要圖式，他們利用原有圖式可以同化三角形內角和定理。
知識經驗：學生在小學和七年級已經接觸過三角形內角和定理，在八年級上冊也掌握了平行線的性質及證明等知識。
能力水平：學生能進行操作、觀察、猜想、驗證及簡單說理，但對于演繹推理，在知識結構和能力上都有所欠缺。尤其是輔助線的作法是學生在幾何證明過程中第一次接觸，并且輔助線的添法沒有統一的規律，要根據需要而定，這對學生來說有一定難度。
二、教學目標
1.知識技能：掌握三角形內角和定理的證明，初步學會作輔助線證明的基本方法。
2.數學能力：經歷探索與證明的過程，進一步發展推理能力、幾何直觀、空間觀念和創新思維能力。
3.數學思想：通過對三角形內角和定理證明的探索，進一步體會化歸與轉化思想、數形結合思想和模型思想的作用。
【教學重點】探索證明三角形內角和定理的不同方法；從拼圖過程中發現并正確引入輔助線。
【教學難點】輔助線添加的必要性和具體方法：（1）為什么要添加；（2）在哪里添加；（3）如何添加；（4）哪種添加方法最簡單。
三、教學策略
1.讓學生經歷“動手操作、觀察猜想、推理論證、合作交流”的過程；
2.學生“小組討論”與教師“啟發引導”相結合。
四、 教學過程
（一）復習回顧
【問題1】我們知道三角形三個內角的和等于180°.你還記得這個結論的探索過程嗎?
【設計意圖】鑒于學生對三角形內角和定理已有一定的認識和了解，我并沒有從學生身邊熟悉的事例創設情境，而是簡單地對三角形內角和的知識加以回憶。
實驗1：測量.
【設計意圖】啟發學生回想，我們在小學時是怎樣知道這個結論的。通過量角器進行角度的測量（“數”的研究）。
實驗2：折紙。
實驗3：：將紙片三角形三頂角剪下，隨意將它們拼湊在一起。
【設計意圖】（1）啟發學生回想，七年級下冊時是怎樣知道這個結論的。通過動手操作折紙或拼圖，將分散的三個角“搬”到一起，從而構成一個平角（“形”的研究），為添加輔助線證明這個定理，做好鋪墊，同時化解了難點。
|
命題 |
三角形三個內角的和等于180° |
|
數 |
度量三個內角的度數并求和 |
等于180° |
測量 |
|
形 |
三個角拼在一起 |
（1）平角；（2）兩角互補 |
證明 |
（2）學生通過觀察、猜想、度量得到結論：三角形三個內角的和是180°。但是難免有學生會提出質疑：有時候量出三角形三個內角的度數和高于或低于180°。讓學生從中體會通過觀察剪拼得到的結論雖然有一定的合理性，但是會存在誤差，命題的正確性必須經過嚴密的推理來驗證。從而體會到證明的必要性。
（二）自主探究
【問題2】根據前面學過的知識,你能用自己的語言說說這一結論的證明思路并寫出證明過程嗎?與同伴交流.
【命題】三角形三個內角的和等于180°。
【追問1】 這是一個文字命題，證明時需要先做什么呢？
（需要先畫圖形，根據命題的條件和結論寫出已知、求證。）
【追問2】這個命題的條件和結論各是什么？
(教師引導學生正確畫出圖形，結合圖形寫出已知、求證。)
【追問3】由結論 ∠A+∠B+∠C=180°，同學們想到了哪些與180°相關的結論？
（一個平角或者平行線間的一組補角）
【設計意圖】
（1）讓學生回顧一個文字命題的證明所需要的主要環節是什么？
（2）為了讓學生逐步學會用符號表示命題，發展他們的數學符號表達能力。
【思考】(1)在剛才的拼接過程中∠ACE和哪個角相等？
(2)這兩個角具有怎樣的位置關系？
(3)由它們的位置關系與等量關系我們可以得到射線CE與線段AB具有什么位置關系？
(4)如果不移動角能否作出某些輔助的線，實現這種移動效果？
【師】（1）通過學生的思考、交流引導他們說出實驗3中添加輔助線的方法：延長BC到點D，過點C作射線CE∥AB.這樣就可以借助平行線的性質將∠A移到∠ACE的位置，將∠B移到∠ECD的位置。（此時，教師即可給出學生輔助線的定義、作用，以及作輔助線的注意事項）
（2）由學生嘗試寫出證明過程,教師巡回指導。有一部分學生寫證明過程有困難，可給予有針對性的幫助。完成之后讓多名學生口答自己的證明過程，培養他們說理有據，有條理的表達自己想法的良好意識。師生共同評議，訂正，在交流中發現問題、解決問題，共同提高。
（3）教師規范證明過程，給出證明的書寫格式。
【設計意圖】
（1）從拼圖過程中發現并正確引入輔助線，嘗試用幾何圖形來表示出所拼接的實物圖。能夠應用運動變化的觀點認識數學，進一步培養學生的空間觀念。
（2）這是本節課的一個重點，教師在這里要交代：①什么是輔助線，添加時要用虛線畫出；②輔助線怎么來的，在證明開始時要交代清楚，后添加的字母要在證明的開始前交代清楚；
已知: 如圖，△ABC.
求證: ∠A+∠B+∠C=180°
證明：延長BC到D，過點C作直線CE∥AB
∴∠B＝∠ECD（兩直線平行，同位角相等）
∠ACE=∠A（兩直線平行，內錯角相等）
∵∠ACE+∠ECD+∠ACB＝180°
∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°（等量代換）
【設計意圖】規范證明過程，給出證明的書寫格式，培養學生的推理能力。
【小結】
我們通過推理，得證了命題：三角形的三個內角的和等于180°是真命題，這時稱它為定理。即：三角形內角和定理：三角形三個內角的和等于180°。
【設計意圖】培養學生有“公理化思想”，能運用基本事實和定理證明問題，有學會運用舊知解決新知，從以前的活動中思考獲取解決的方法，有合作學習和探究新知的能力。
（三）合作提升
【問題3】在剛才的拼圖和探索中，你還有其它的方法證明三角形內角和定理嗎？
證明：過點C作直線CD∥AB，則
∠1=∠A（兩直線平行，內錯角相等）
∵∠1+∠ACB+∠B＝180°（兩直線平行，同旁內角互補）
∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°（等量代換）
【問題4】在證明三角形內角和定理時,小明的想法是把三個角“湊”到A處,他過點A作直線PQ∥BC(如圖),他的想法可以嗎？如果可行，你能寫出證明過程嗎？與同伴進行交流。
證明:過點A作PQ∥BC
∴∠PAB=∠B(兩直線平行,內錯角相等) ,
∠QAC=∠C(兩直線平行,內錯角相等),
∵∠BAC+∠PAB+∠QAC=180° (平角的定義),
∴∠BAC+∠B+∠C=180° (等量代換).
【設計意圖】
（1）鼓勵學生尋求多樣的證明方法，進一步了解三角形內角和定理的證明思路，讓學生在多樣的證明方法中感受共性：將分散的要素集中到一起。
（2）在一題多解、一題多變中，積累解決幾何問題的經驗、提升解決幾何問題的能力。
【追問】小明的想法已經得到證明,由此你受到什么啟發?你有新的證法嗎?
教師進行提示：引導學生將輔助線添加在三角形的頂部，邊上及三角形內、外部均可。
【設計意圖】給學生充分的自我展示的機會，引領學生進一步體會輔助線添加方法的多樣性，滲透“最優化”思想。
（四）引導發展
基礎練習： 1.在△ABC中，∠C=90°，∠A+∠B=？證明你的結論。
2.在△ABC中，∠A=50°，∠B=∠C，則∠B=？
拓展練習：3.已知:如圖，在△ABC中，∠A=60°, ∠C=70°，
點D、E分別在AB和AC上，且DE∥BC。
求證： ∠ADE=50°
【設計意圖】通過練習。讓學生經歷運用所學知識解決問題的過程，使學生對初步感知的結論有更加深刻的認識，進一步發展他們的推理論證能力。促進他們完善本教學點的知識與能力目標。
（五）課堂小結
通過本節課的學習,你有哪些收獲?
① 本節課，我們用哪幾種方法來證明三角形的內角和定理？（證明的基本思想是：借助輔助線將原三角形中處于不同位置的三個內角集中在一起，拼成一個平角或平行線間的一組同旁內角．）
② 如何添加輔助線？ （通過添加平行線來達到角的移動效果，從而實現轉化。）
【設計意圖】（1）了解學生學習后的效果；（2）復習鞏固本課知識，提高學生的掌握程度．
（六）課后反饋
必做題：1.課本180頁（習題7.6）第1,2,3，題
2.如圖，在△ABC中，∠B=38°∠C=62°，AD是△ABC的角平分線，
求∠ADB的度數。
選做題：已知：如圖，△ABC中， ∠B 和∠C的平分線BE，CF交點O.
求證： ∠BOC=90°+
∠A
【設計意圖】分層次留作業，尊重學生的個性差異，讓不同的學生在數學學習上都有收獲和進步。
五、教學反思
這篇案例經過了精心設計，尤其是從“數”與“形”兩個角度對輔助線作法的分析與探索，做了相當大的內容準備。
本節課教師主導作用的發揮也比較好，主要體現在讓學生的主體地位得到充分展示。例如：證明方法的多樣性，反映學生思維的多樣性，學生個性的多樣性；放手給學生，自己小結，體現不同學生有不同發展，然后通過小組交流得到互補。使學生感受到了學習的快樂，體會到了探究與發現帶來的樂趣。教學中，我遵循的基本教學原則是激勵學生展開積極的思維活動，不斷的表揚學生，使學生感到自身的價值存在，給學生一個展示個性、享受成功的機會。
總之，本節課力求從學生實際出發，通過他們的實踐、思考、探索、交流獲得知識，形成技能，發展思維。存在的不足之處還懇請各位評委老師批評指正。
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