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熱門關(guān)鍵詞： 小學(xué)四年級(jí)語文 三角形 三角形 八年級(jí)歷史 搖籃曲 端午節(jié)的由來
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視頻標(biāo)簽：式子的因式分解
所屬欄目：初中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：初中數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)上冊(cè)第十四章x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解-天津
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初中數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)上冊(cè)第十四章x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解-天津市武清區(qū)楊村第九中學(xué)
x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解
一、內(nèi)容和內(nèi)容解析 1、內(nèi)容
x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解 2、內(nèi)容解析
因式分解是對(duì)整式的一種變形，它與整式乘法是互逆變形的關(guān)系。是學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)分式、一元二次方程、二次函數(shù)等知識(shí)的基礎(chǔ)，如后面學(xué)生對(duì)于分式基本性質(zhì)的學(xué)習(xí)、分式加減法中的通分與分式乘除法中的約分等都要用到因式分解。因式分解是解決整式恒等變形和簡(jiǎn)便問題的重要工具。
前幾節(jié)課中我們學(xué)習(xí)了提公因式法和公式法分解因式。但是面對(duì)一個(gè)在學(xué)生已有認(rèn)知中沒有
“規(guī)律”的x2
+bx+c的二次三項(xiàng)式，該如何去理解并完成因式分解呢？本節(jié)課介紹十字相乘法對(duì)這一類多項(xiàng)式進(jìn)行分解因式，實(shí)質(zhì)上是逆用(x＋p)(x＋q)乘法法則．它的一般規(guī)律是：對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式x2+bx+c，如果能把常數(shù)項(xiàng)c分解成兩個(gè)因數(shù)p，q的積，并且p＋q為一次項(xiàng)系數(shù)b，那么它就可以運(yùn)用公式 x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)分解因式．這種方法的關(guān)鍵是“拆常數(shù)項(xiàng)，湊一次項(xiàng)”．基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)：能較熟練地用十字相乘法把形如 x2+(p+q)x+pq的二次三項(xiàng)式分解因式。 二、目標(biāo)目標(biāo)解析 目標(biāo)
經(jīng)歷探究x2+(p+q)x+pq型因式分解的過程，理解十字相乘法的根據(jù) 會(huì)用十字相乘法分解形如： x2+(p+q)x+pq的多項(xiàng)式 目標(biāo)解析
達(dá)成目標(biāo)（1）的標(biāo)志是：學(xué)生能夠從特殊的乘法公式的逆向思維轉(zhuǎn)換到更加具有一般性的一次二項(xiàng)式乘一次二項(xiàng)式一般法則的逆運(yùn)用上來。知道x2+bx+c應(yīng)滿足什么條件時(shí)可以因式分解，得出因式分解x2+bx+c的一般規(guī)律。
達(dá)成目標(biāo)（2）的標(biāo)志是：學(xué)生對(duì)于二次三項(xiàng)式x2+bx+c分解因式時(shí)，知道如何確定p、q的值，使它們的乘積等于常數(shù)項(xiàng)c，它們的和等于一次項(xiàng)系數(shù)b，知道公式中的x可以表示單項(xiàng)式，也可以表示多項(xiàng)式，當(dāng)常數(shù)項(xiàng)為正數(shù)時(shí)，把它分解為兩個(gè)同號(hào)因數(shù)的積，因式的符號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同；當(dāng)常數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)時(shí)，把它分解為兩個(gè)異號(hào)因數(shù)的積，其中絕對(duì)值較大的因數(shù)的符號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同.并能按照此方法對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解。 三、教學(xué)問題診斷分析
學(xué)生通過對(duì)前面知識(shí)的學(xué)習(xí)已經(jīng)對(duì)因式分解有了較充分的認(rèn)識(shí)。但是前面所進(jìn)行的因式分解都是圍繞著可以直接提取公因式的二次三項(xiàng)式或可以利用平方差公式和完全平方公式因式分解來展開的。學(xué)生在此基礎(chǔ)上直接去面對(duì)一個(gè)既無法提取公因式，又不能運(yùn)用平方差公式和完全平方公式進(jìn)行因式分解的二次三項(xiàng)式x2+bx+c，學(xué)生會(huì)覺得手足無措，因此為了幫助學(xué)生理解并能夠主動(dòng)去探究x2+bx+c的因式分解規(guī)律，我們從一次二項(xiàng)式乘一次二項(xiàng)式的特殊公式法轉(zhuǎn)換到一般法則，給予學(xué)生一個(gè)一般的解決問題的思路。這樣能夠幫助學(xué)生更好的理解十字相乘法的出處。學(xué)生在用十字相乘法分解因式過程中經(jīng)常遇到的困難是不知道如何分解常數(shù)項(xiàng)，使它同時(shí)滿足pq=c,p+q=b,解決此問題的關(guān)鍵是根據(jù)常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)特點(diǎn)列出常數(shù)項(xiàng)分解成兩個(gè)因數(shù)的積的各種可能情況；然后嘗試其中的哪兩個(gè)因數(shù)的和恰好等于一次項(xiàng)系數(shù)。
本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)：把x2+bx+c分解因式時(shí)，準(zhǔn)確地找出p、q，使p.q=c,p+q=b。 四、教學(xué)過程設(shè)計(jì) 1、復(fù)習(xí)導(dǎo)入：
問題1 前幾節(jié)課我們學(xué)習(xí)了因式分解，首先請(qǐng)同學(xué)們先回憶一下什么叫做因式分解？ 因式分解：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這樣的變形叫做這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。
因式分解實(shí)質(zhì)是和差化積與整式乘法是“積化和差”的過程正好（相反） 追問：之前我們都學(xué)習(xí)了哪些分解因式的方法？ 提取公因式法，公式法，
練習(xí)：請(qǐng)同學(xué)們觀察下列多項(xiàng)式，判斷它們哪些能用已學(xué)的方法進(jìn)行因式分解？ （1）x2-9 (2)x2-5x (3)x2+8x+16 (4)x2+5x+6 (5)x2-3x+2
師生活動(dòng)：教師提出問題，學(xué)生獨(dú)立思考并回答問題。教師指出對(duì)于（4）（5）目前我們還無法對(duì)它進(jìn)行因式分解，但并不能代表它們無法進(jìn)行因式分解。這節(jié)課我們就來研究一下如何對(duì)這一類多項(xiàng)式因式分解。
設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生回顧提取公因式法、平方差公式法、完全平方差公式法因式分解，同時(shí)也為本節(jié)課的教學(xué)做準(zhǔn)備。 2、探索新知:
問題2：我們通過逆運(yùn)用平方差公式和完全平方公式，得到了公式法因式分解。那么老師給你幾個(gè)一般的整式乘法的式子，你得到的結(jié)果是什么樣的呢？ （1）(x+3)(x+2) （2）(x-2) (x-1) （3）（x+4）(x-2) （4）（x-4）(x+1) 提升到字母表示：
pqxqpxqxpx)())((2
這個(gè)過程進(jìn)行的是整式乘法運(yùn)算，反過來可得 ))(x()(2
qxppqxqpx 這個(gè)過
程將和差的形式轉(zhuǎn)化成積的形式,進(jìn)行的是因式分解. 思考1：你能根據(jù)以下圖形的面積說明這個(gè)公式嗎？
追問：觀察上面式子的特點(diǎn)，我們可不可以將和等式左邊具有相同特點(diǎn)的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解呢？方法是什么呢？
師生活動(dòng)：教師提出問題，學(xué)生先獨(dú)立思考，再互動(dòng)交流，最后學(xué)生發(fā)現(xiàn)：等式左邊的多項(xiàng)式具有如下特點(diǎn)(1)二次項(xiàng)系數(shù)是1(2)常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)之積(3)一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)兩個(gè)因數(shù)之和就可以因式分解了。
設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生從特殊的乘法公式的逆向思維轉(zhuǎn)換到更加具有一般性的一次二項(xiàng)式乘一
次二項(xiàng)式一般法則的逆運(yùn)用上來。
3、初步應(yīng)用十字相乘法
我們可以看到對(duì)形如：x2
+(p+q)x+pq的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解時(shí),主要是通過討論多項(xiàng)式各個(gè)項(xiàng)的系數(shù)來分解的,因此我們可以用一個(gè)簡(jiǎn)便的方法來分解這一類因式,即十字相乘法. 定義：利用十字交叉線來分解系數(shù),把二次三項(xiàng)式分解因式的方法叫做十字相乘法。
步驟
總結(jié)步驟：①豎分二次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)
②交叉相乘，再相加
③檢驗(yàn)確定，橫寫因式
順口溜：豎分常數(shù)交叉驗(yàn)，橫寫因式不能亂。
師生活動(dòng)：教師板書講解師生共同交流。
設(shè)計(jì)意圖：通過例題，讓學(xué)生感知十字相乘法及其怎樣進(jìn)行“兩拆一揍”，并規(guī)范學(xué)生解題格式。
4、鞏固應(yīng)用十字相乘法分解因式 (1) x2
+ 3x + 2 (2) x2 - 7x + 6 (3) x2 + x - 2 (4) x2 - 2x - 15 歸納填空:
(1)常數(shù)項(xiàng)是正數(shù)時(shí),它分解成兩個(gè)_______號(hào)因數(shù),它們和 一次項(xiàng)系數(shù)符號(hào)_____. (2)常數(shù)項(xiàng)是負(fù)數(shù)時(shí),它分解成兩個(gè)_______號(hào)因數(shù),其中絕對(duì)值較______的因數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)符號(hào)相同.
師生活動(dòng)：4名學(xué)生板書，然后學(xué)生互動(dòng)交流歸納出常數(shù)項(xiàng)分解時(shí)符號(hào)特點(diǎn)。。 設(shè)計(jì)意圖：通過練習(xí)使學(xué)生熟練掌握用十字相乘法分解因式。 5、拓展提高
（1）-x2
-6x+16 (2) x2
-5xy+4y2
(3) x4
-5x2
+4 (4) (2x+y)2
-5(2x+y)+4 師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，師生互動(dòng)交流。
設(shè)計(jì)意圖：通過此練習(xí)，提高學(xué)生對(duì) x2+(p+q)x+pq型多項(xiàng)式因式分解的認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)中的整體思想。
思考2：我們現(xiàn)在所研究的都是二次項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式用十字相乘法進(jìn)行因式分解，那么當(dāng)二次項(xiàng)的系數(shù)不是1，而是其他數(shù)字時(shí)呢？
例如：3x2
-2x-1
6、歸納小結(jié)
這節(jié)課主要學(xué)了什么？你有什么收獲？
設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生進(jìn)一步鞏固所學(xué)知識(shí)，并培養(yǎng)學(xué)生總結(jié)歸納能力。 7、布置作業(yè)
1、分解因式：
(1) x2
+ 9x + 8 (2) x2
- 10 + 24 (3) x2
- 9x - 10 (4) x2
- 3x - 28
2、(1)若多項(xiàng)式學(xué)x2
-8x+m可分解為(x-2)(x-6）則m的值為 . (2)若多項(xiàng)式x2
-kx-12可分解為(x-2)(x+6）則k的值為 . (3)若多項(xiàng)式x2-2x+m可分解為(x+3)(x-n) 求m、n的值.
3．先閱讀學(xué)習(xí)，再求解問題：
材料：解方程：01032
xx
解：原方程可化為 （x+5）（x-2）=0 ∴x+5=0或 x-2=0 由x+5=0得x=-5 由x-2=0得x=2
∴x=-5或 x=2為原方程的解。 問題：解方程：x2
-2x=3。
設(shè)計(jì)意圖：考查學(xué)生十字相乘法因式分解的掌握情況。 8、板書設(shè)計(jì)
9、課后反思
因式分解與整式的乘法實(shí)際上是互逆的兩個(gè)運(yùn)算過程。本節(jié)課通過類比探究公式法因式分解的由來，從一般的整式乘法算式入手，對(duì)公式(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq進(jìn)行觀察研究，發(fā)現(xiàn)反過來就是x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)，學(xué)生思考后發(fā)現(xiàn)，對(duì)于二次三項(xiàng)式x2+bx+c的因式分解，關(guān)鍵就是找兩個(gè)數(shù)p、q使：p+q=b，pq=c，，因此，就可以借助十字相乘法將這類因式進(jìn)行分解。本節(jié)課強(qiáng)調(diào)了學(xué)生的自主探究和分組合作相結(jié)合。還給了學(xué)生足夠的空間，展現(xiàn)了學(xué)生的思維過程。不足之處：大部分同學(xué)都能積極主動(dòng)參與，但是少數(shù)學(xué)生，參與意識(shí)不強(qiáng)，在以后教學(xué)中本人將努力改進(jìn)。
視頻來源：優(yōu)質(zhì)課網(wǎng) www.jixiangsibao.com
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