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視頻標(biāo)簽：剪紙中的數(shù)學(xué)問題,數(shù)與形
所屬欄目：小學(xué)數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：北京版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級下冊《剪紙中的數(shù)學(xué)問題-數(shù)與形》北京市東城區(qū)前門小學(xué)
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教學(xué)基本信息
課題
研“一尺之棰”，悟“數(shù)形之美”——剪紙中的數(shù)學(xué)問題 是否屬于
地方課程或校本課程
否
是否屬于
跨學(xué)科主題教學(xué)
否
學(xué)科 數(shù)學(xué)
學(xué)段： 高段
年級
五年級
指導(dǎo)思想與理論依據(jù)
1.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》由原來的“雙基”拓展到“四基”，即增加了基本思想和基本活動經(jīng)驗。數(shù)學(xué)思考作為總目標(biāo)四個方面之一，在新課標(biāo)教材中同樣扮演著“經(jīng)歷探究過程、建構(gòu)數(shù)學(xué)模型、體驗數(shù)學(xué)思想、掌握數(shù)學(xué)方法、提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)”的重要角色。有助于發(fā)展學(xué)生形象思維與抽象思維，使學(xué)生學(xué)會獨立思考，體會數(shù)學(xué)的基本思想和思維方式。 因此本節(jié)課讓學(xué)生經(jīng)歷“做數(shù)學(xué)”的過程，在提出問題后，學(xué)生在獨立思考的基礎(chǔ)上有效利用小組探究，在操作體驗中發(fā)現(xiàn)、在觀察想象中感悟，不僅讓學(xué)生經(jīng)歷過程，拉長了學(xué)生的感悟過程，更在解決問題的過程中積累基本的活動經(jīng)驗，培養(yǎng)基本的數(shù)學(xué)思想。
2. 中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)中指出要培養(yǎng)學(xué)生的“科學(xué)精神”， 科學(xué)精神具體包括理性思維、批判質(zhì)疑、勇于探究等基本要點。史寧中校長指出在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)活動中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)可以從數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)模型三個維度體現(xiàn)。本節(jié)課以《莊子·天下莊》中的一句話開啟學(xué)生思維，學(xué)生經(jīng)歷由抽象到具體，由具體到抽象的學(xué)習(xí)過程，借助推理和模型在解決問題的過程中使研究不斷深入。 3.古代教育家孔子曰：“疑是思之始，學(xué)之端”。2011版課標(biāo)較之以前也增加了“發(fā)現(xiàn)問題和提出問題”兩條能力目標(biāo)。由此可見“發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的重要性”，只有具備了問題意識，才能真正成為學(xué)習(xí)的主人，成為一個善于思考、具有個性的學(xué)習(xí)者。因此在本節(jié)課的數(shù)學(xué)教學(xué)中不僅重視研究等過程，更要重視初始狀態(tài)的描述、數(shù)學(xué)模型的建立，把數(shù)學(xué)“問題解決”的過程全部展示給學(xué)生。
教學(xué)背景分析
2
教學(xué)內(nèi)容：本節(jié)課是要借助圖形解決一些比較抽象的、復(fù)雜的、不好解釋的問題。就本題而言，雖然用舉例的方法能夠求出等比數(shù)列的有限和，學(xué)生能夠感受到結(jié)果越來越接近1，但不能證明無限多項相加的結(jié)果為1。如果用圓、正方形或線段等圖形來表示“1”，使學(xué)生結(jié)合分?jǐn)?shù)的意義，在圖形上分別有規(guī)律地表示出這些加數(shù)，當(dāng)這個過程無止境地持續(xù)下去時，學(xué)生能夠感受到所有的扇形、正方形或線段就會把整個圓、正方形和整條線段占滿，即這些數(shù)相加之和為1。因此教材充分利用分?jǐn)?shù)意義的直觀模型，使學(xué)生直觀地理解“無限”的抽象概念，認識到通過畫圖的方式可以比較便捷地解決比較抽象的問題。
學(xué)生情況：五年級學(xué)生對具體的、數(shù)量有限的事物容易理解，因此學(xué)生通過數(shù)與形的對照，利用圖形直觀形象的特點，能夠較順暢的觀察出規(guī)律，但對抽象的、數(shù)量無限的事物卻難于把握。既然要尊重學(xué)生，順應(yīng)學(xué)生思路，那么教學(xué)一定要源于學(xué)生的認知基礎(chǔ)與學(xué)習(xí)需求。為了更好的了解學(xué)生的情況，合理的安排教學(xué)，在實施本節(jié)課教學(xué)前，特為學(xué)生設(shè)計了前置性的學(xué)前調(diào)研。兩份試卷隨機發(fā)給班中的每位學(xué)生。
調(diào)研目的在于：一是借助分?jǐn)?shù)意義的直觀模型幫助學(xué)生理解算式的意義，二是了解學(xué)生對抽象概念“無限”的理解程度。正是帶著前面的思考，在進行學(xué)前調(diào)研時，為了更好的了解學(xué)生是否有主動借助“形”理解 “數(shù)”的意識，設(shè)計了兩種形式的調(diào)研試卷。試卷A中加入了圖示，主要是想了解學(xué)生在有圖的情況下是否能利用圖示更快的得到結(jié)果。試卷B中沒有圖示，意在考查在沒有圖示時是否可以根據(jù)題目的需求畫出解題所需圖示。 調(diào)研結(jié)果分析：
參加課前調(diào)研的共31名學(xué)生，使用試卷A的學(xué)生有16名，其中能夠用畫圖的方式進行分析的占93.75%：
使用試卷B的學(xué)生有15名，其中能夠用畫圖的方式進行分析的占46.67%：
通過分析學(xué)生的作答情況，發(fā)現(xiàn)學(xué)生有用“形”解決問題的意識，但主動性并不是很強。兩份試
3
卷的對比中也發(fā)現(xiàn)雖然使用試卷B的學(xué)生較之試卷A借助畫圖解決問題的比例較少，但畫出的圖形式更直觀、形象、新穎。 具體題目分析： 第一題：
統(tǒng)計結(jié)果為：
第二題：
通過對學(xué)生訪談了解到，學(xué)生選擇A的主要原因是:1.“不管怎么截，它截的總是在第一次的二分之一里面截，所以永遠超不出去二分之一。”2.認為后面的分?jǐn)?shù)特別小，所以可以忽略了。選擇D的主要原因是覺得“剩下的部分越來越小，總會有剩余，一直在變化，不知道是多少。” 第三題：
結(jié)果分析如下： 學(xué)生 作品
所占百分比 6.45% 12.90% 12.90% 67.75%
簡要 分析
根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫
出已知的加數(shù)，用“…”表示無限的結(jié)
果，并用“1-”表示被截去木棒的長
度之和。
根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出已知的加數(shù)，用“…”表示無限的結(jié)
果。
能寫出有限的加數(shù)，但不知道應(yīng)該用“…”表示無限的結(jié)果。
不知道用什么樣的算式表示，寫出的算式不正確或沒有作答。
完全填正確 至少一題出現(xiàn)錯誤
百分比
51.6%
48.4%
n
4
教學(xué)方式：學(xué)生獨立思考、自主操作、合作交流。
教學(xué)手段：做中學(xué)、學(xué)中思
技術(shù)準(zhǔn)備：多媒體課件、正方形、圓、三角形學(xué)具和學(xué)習(xí)單
教學(xué)目標(biāo)(內(nèi)容框架)
教學(xué)目標(biāo)：
1.學(xué)生通過自主探究找到圖形與算式之間的聯(lián)系，利用圖形解決有關(guān)數(shù)的問題。
2.使學(xué)生在解決問題的過程中，體會和感悟極限思想、數(shù)形結(jié)合思想、歸納推理等數(shù)學(xué)思想。 3.在解決問題的過程中使學(xué)生體會到數(shù)形結(jié)合的魅力，感受數(shù)學(xué)的神奇，增強對數(shù)學(xué)的熱愛之情。 教學(xué)重點：利用“形”解決稍復(fù)雜的有關(guān)“數(shù)”的問題。 教學(xué)難點：體會極限思想。
教學(xué)流程示意(可選項)
教學(xué)過程(文字描述)
一、品數(shù)學(xué)文化，啟數(shù)學(xué)思維 （一）再現(xiàn)文化，用形解讀
課件出示：
知識拓展：
這是《莊子天下篇》中的一句話。你們知道“一尺”表示多長嗎？
我們生活中三尺為一米，“一尺”即為33.3…（3的循環(huán)）厘米，在莊子生活的時代“一尺”表示31.68厘米。
數(shù)
與形（二）
回顧學(xué)習(xí)歷程，暢談學(xué)習(xí)感受
品數(shù)學(xué)文化，啟數(shù)學(xué)思維
再現(xiàn)文化，用形解讀 依托圖形，呈現(xiàn)算式
回顧調(diào)研，引發(fā)思考
遷移知識經(jīng)驗，探索新的問題 借數(shù)形關(guān)系，研數(shù)學(xué)問題
感受數(shù)中有形，形中有數(shù)
體會數(shù)能助形，形能輔數(shù) 回顧研究歷程，升華認識
明確任務(wù)，提出問題
5
提出問題：能借助這條繩子（31.68厘米）來解釋一下這句話的意思嗎？ 請兩名學(xué)生到前面講解，一邊操作，一邊記錄，教師協(xié)助，并進行板書。 板書：
提出問題：還能繼續(xù)截取嗎？
學(xué)生在討論中明確這樣的過程沒有結(jié)束，但因為截取的部分越來越小，也越來越不好表示，可以用省略號來表示。 板書：像這樣分下去…… （二）依托圖形，呈現(xiàn)算式
提出問題：能用一個算式表示出木棒被截去部分的長度之和嗎？ 預(yù)設(shè)1：+++++…… 追問：你是怎么想到這個算式的？
這里的“……”表示什么意思？（板書：像這樣加下去） 這個算式與我們以前學(xué)習(xí)過的算式有什么不同？
討論中明確：1.這個算式從開始加起，后面一個分?jǐn)?shù)是前面一個分?jǐn)?shù)的。 2. 這個算式中加數(shù)的個數(shù)是無限的。 預(yù)設(shè)2: 1－
追問：這里的n代表什么意思？為什么要用1去減？ 提出問題：這個算式與第一個算式有什么不同？
交流中明確：第一個算式借助每天截取的部分，將所有部分相加求出截取部分的總和，這個算式利用剩余的部分，從“1尺”中減去每次截取后剩下的部分就是截取部分的總和。
【設(shè)計意圖：借助數(shù)學(xué)文化自然的引出線段模型，從而得出本節(jié)課要研究的算式，同時在分析數(shù)學(xué)文化的同時，理解了算式中每一個加數(shù)的含義，為解決問題做好鋪墊。】 （三）回顧調(diào)研，引發(fā)思考
提出問題：如果我們這樣不斷的截取下去，木棒被截去部分的長度之 和將會無限趨近于多少呢？ 課件呈現(xiàn)學(xué)生的作答情況：
n ……
6
引發(fā)思考：你們誰的想法正確呢？
下面我們就以小組為單位進行驗證。
【設(shè)計意圖：有效利用課前調(diào)研，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的真問題，激發(fā)學(xué)生的研究欲望，引發(fā)學(xué)生的真思考�！� （四）明確任務(wù)，提出問題 1.明確要求，制定計劃
課件出示研究記錄單和活動建議。 2.確定問題，選擇學(xué)具
學(xué)生小組討論確定研究問題，同組商討研究的方法，自主選取合適的研究工具。 教師為學(xué)生提供研究工具：
二、借數(shù)形關(guān)系，研數(shù)學(xué)問題 （一） 感受數(shù)中有形，形中有數(shù) 1.計算體驗，感受“無限接近”。
引發(fā)學(xué)生思考：可以用化繁為簡的方法，即先算簡單的，再由簡單的推算出復(fù)雜的。 預(yù)設(shè)： 與1相差
+++++……的結(jié)果將越來越接近于1。
提出問題：通過計算你發(fā)現(xiàn)了什么？如果繼續(xù)加下去，結(jié)果會怎么樣？
評價：這組同學(xué)特別具有想法，他們勇敢的用“數(shù)”進行研究，驗證自己的想法，而且思考的非常深入。 板書：數(shù)
2.數(shù)形結(jié)合，體會極限思想。 （1）借助圓，建立數(shù)與形的聯(lián)系 學(xué)生以小組為單位進行匯報
提出問題：你們?yōu)槭裁床焕^續(xù)折了？得出了什么結(jié)論？ 課件演示，建立算式與圖形之間的聯(lián)系
第一小組作品：
7
（2）借助正方形，感悟極限思想 ①學(xué)生以小組為單位進行匯報
提出問題：為什么分母比分子少1？少的1在哪兒？
②教師板貼學(xué)具：分到
提出問題：看到這里你們有什么感受？
引發(fā)思考：原來那么一大張紙，當(dāng)我們分到第八次時，就只剩指甲蓋那么大了。想象一下，如果繼續(xù)下去會怎樣？
學(xué)生想象，嘗試用語言描述剩下圖形的大小。 ③課件演示，幫助學(xué)生理解極限思想 課件演示：加到加數(shù)為“
”
提出問題：和你們想象的一樣嗎？
有什么感受？ 這時分了第多少次？
課件演示：在放大鏡下繼續(xù)分，
加到加數(shù)為“
”
提出問題：現(xiàn)在我們分到了第17次，這件事還沒有結(jié)束，后面還有很多加數(shù)呢！像這樣加下去會怎樣？如果此時把放大鏡拿走，你看到的畫面會是什么樣的？
【設(shè)計意圖：通過化繁為簡的計算方法和用圓或正方形圖操作兩種方式的交流，勾連算式與圖形之間的聯(lián)系。在計算的過程中學(xué)生感受隨著加數(shù)的增加得到的結(jié)果越來越接近1，用圖形驗證的過程
第二小組作品
8
鼓勵學(xué)生進行想象并通過語言描述以及和身邊事物的對比，使學(xué)生體會“形”的直觀，進一步體會極限思想。】
3．回歸線段，審視“結(jié)論”
提出問題：同學(xué)們借助一尺長的繩子，理解了莊子的話，還列出了這樣一個加數(shù)個數(shù)是無限的算式，又憑自己的經(jīng)驗對算式+++++……的結(jié)果進行了驗證。這個算式和“1”中間應(yīng)該用什么符號來連接呢？ 預(yù)設(shè)：＜、≈
提出問題：剛才我們驗證了半天，是無限趨近于1，很多同學(xué)都認為用“≈”連接？為什么書上要
用等號來連接呢？
【設(shè)計意圖：經(jīng)歷了親身驗證后，首先帶著學(xué)生會回到課前的線段模型，在一維空間印證二維的發(fā)現(xiàn)。當(dāng)學(xué)生懷著“自信”的心情打開書進行驗證，此時卻產(chǎn)生了矛盾沖突，發(fā)現(xiàn)書中居然是用“=”來連接的。這又一次激發(fā)了學(xué)生的思考，努力挖掘背后的原因，找到了起到關(guān)鍵作用的“…”，這時孩子們對極限的思想認識的就更為深入了�！� （二）體會數(shù)能助形，形能輔數(shù)
提出問題：能不能再用“數(shù)”來驗證“形”得出的結(jié)論呢？ 課件出示
方法一： 方法二：
【設(shè)計意圖：由形抽象出算式后，學(xué)生不僅用形驗證了數(shù)，此時又由形回歸到數(shù)，感受到數(shù)能助形，形能輔數(shù)，對數(shù)的精準(zhǔn)與形的直觀有了較為深刻的體會，更感受到數(shù)與形結(jié)合的妙處。】 （三）回顧研究歷程，升華認識 1．分享交流，總結(jié)價值
通過剛才的研究你有什么收獲？有什么想跟身邊同學(xué)分享的？ 提出問題：既然能算出來，為什么還要用圖形？ 2. 文化印證，感悟魅力
出示著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生說的話：數(shù)形本是兩依倚，焉能分作兩邊飛。
數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微。 數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。
9
【設(shè)計意圖：此時華羅庚先生的話不是生硬的告知學(xué)生，而是建立在學(xué)生感悟的基礎(chǔ)上，是對發(fā)現(xiàn)學(xué)生的驗證與提升，學(xué)生的成就感油然悄然而生�！� 三、遷移知識經(jīng)驗，探索新的問題 你能用所學(xué)知識解決下面的問題嗎？
提出：你準(zhǔn)備用什么方法來解決這道題？“數(shù)”還是“形”？ 預(yù)設(shè)1：用“數(shù)”來解決，通過+++++……=1進行推理 提出問題：與剛才的算式比，有什么異同？ 學(xué)生發(fā)表自己的觀點后教師課件提示：
預(yù)設(shè)2：用“形”來解決
提出問題：1.你準(zhǔn)備用什么圖形來幫助你解決問題？
2.如果這個圖形表示“1”，算式的結(jié)果會是多少？
課件出示：
學(xué)生分析后教師課件提示：
【設(shè)計意圖：本題提供了比較開放的空間，學(xué)生可以用數(shù)借助例題的研究成果發(fā)現(xiàn)加數(shù)之間的關(guān)系得到結(jié)論，也可以根據(jù)加數(shù)的特點借助形在探索，即可以根據(jù)題目的特點選擇合適的方法解答。從而進一步體會數(shù)與形各自的特點和它們之間密不可分的關(guān)系。在應(yīng)用本節(jié)課的知識解決問題，鞏固所學(xué)知識的同時，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力。】 四、回顧學(xué)習(xí)歷程，暢談學(xué)習(xí)感受
通過今天的學(xué)習(xí)你有什么新的收獲或認識？
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