視頻簡介：
視頻標簽：兩角差的余弦公式
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學新人教版必修第一冊《兩角差的余弦公式》山東省青島
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高中數學新人教版必修第一冊《兩角差的余弦公式》山東省青島
課題： 5.5.1兩角差的余弦公式
1.教學模式：本教學設計采用我校的“板塊式問題組”導學案教學模式和問題解決教學模式設計，共分成三個板塊進行，在每一個板塊中設置合理的“問題串”，幫助學生有序、高效解決問題.
2.理論依據：本節課是在單元教學設計的理念之下，依據探究教學理論和建構主義理論進行教學設計.課時教學設計要放在單元教學設計中，在單元教學設計中審視課時教學的地位和作用。在內容上強調知識的連貫性和整體性，在思想方法上強調方法的普適性，明確本課時承擔的數學思想和方法.在素養目標落實上強調可操作性.探究式教學又稱“做中學”、發現法教學，教師提供事例和問題，讓學生自己通過閱讀、觀察、實驗、思考、討論、聽講等途徑主動探索，自行發現并掌握相應的原理和結論的一種方法.建構主義學習理論.建構主義學習理論強調以學生為中心，創設有利于學習者意義建構的教學設計最重要，利用板塊式問題組導學案開展教學就是希望實現學生主動建構的目的.
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內容
兩角差的余弦公式.
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內容解析
本節內容是三角恒等變換與誘導公式銜接，一方面要推導獲得新的公式，另一方面要利用獲得的公式進行恒等變形.兩角差的余弦公式的證明方法很多，不同的教科書在編寫過程中，因為整體立意不同，所以選擇的方法也不盡相同，本節課為了體現圓的對稱性與三角函數之間的內在聯系，所以利用了圓的旋轉對稱性證明兩角差的余弦公式.教科書首先設置了一個“探究”，引導學生進行自主的思維活動.不失一般性，先研究
和
的終邊不相同時兩角差的余弦公式，再研究終邊相同時兩角差的余弦公式，進而得到任意兩角差的余弦表達式--兩角差的余弦公式.在公式推導過程中蘊含了豐富的數學思想方法.兩個例題，一方面，通過簡單的應用，使學生初步熟記公式，掌握公式的結構形式及其功能；另一方面是要訓練學生有序的思維習慣，發展學生的數學運算素養.因此在教學時要培養程序化的思維習慣.
基于以上分析，制定本節課的教學重點是：利用圓的旋轉對稱性推導兩角差的余弦公式及簡單應用。
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目標
（1）經歷兩角差余弦公式的推導過程，體會過程中涉及的數學思想和方法,提升直觀想象、邏輯推理及數學運算的核心素養；
（2）明確兩角差的余弦公式與同角三角函數的平方關系及它與誘導公式之間的內在的統一關系；
（3）能從公式的正用，逆用以及變形用三個層面掌握兩角差的余弦公式.
2.目標解析
達成上述目標的標志是：
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學生經歷兩角差的余弦公式的推導過程，明確研究的問題（依據三角函數的定義、圓的旋轉對稱性），進而能夠找到等量關系，化簡后終邊不相同時兩角差的余弦公式.在推導公式的過程中，能夠明確兩角差的余弦公式與同角三角函數的平方關系之間的內在統一.
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遇到兩角差的形式能夠快速展開，熟練應用公式，能從兩角差的余弦公式角度得出誘導公式.掌握公式的特點，能比較順利的完成
這樣的題目.
四、教學問題診斷分析
本節課面對的是高一學生，在知識上學生已經學習了任意角和弧度制、三角函數的概念、誘導公式、圓的有關知識等能力上學生具備了一定的直觀想象、數學推理、數學運算能力，但存在解決問題能力不足的現象。例如，發現兩角差的三角函數與圓的旋轉對稱性間的聯系、對
和
的終邊進行分類討論及化簡
等都存在著探究問題能力明顯不足的情況，因此總體來說學生基礎薄弱，能力一般，為最大限度提高課堂教學的效率，實行分組教學，小組合作學習探究，已實現學生間的互幫互助.
基于以上分析，制定本節課的
教學難點是：發現兩角差的三角函數與圓的旋轉對稱性間的聯系及推導公式的過程.
五、教學支持條件分析
借助多媒體課件、動畫軟件等信息技術工具展示單位圓中扇形的旋轉，讓學生通過直觀觀察找到等量關系，進而依據等量關系推導公式.借助課件，提高課堂效率.
六、教學過程設計
【課前預習區】
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若
是任意角，它們的終邊相同，則= （用表示）；
若
是任意角，它們的終邊不相同，則
.
2.如圖
是任意角，它們的終邊不相同，終邊
和
與單位圓分別交于點
和
，
-
點的坐標為 ，點的坐標為 ；
-
點和之間的距離為 ；
3.同角三角函數的基本關系
平方關系： 商的關系：
4.誘導公式：
設計意圖：復習舊知，為后面學習做好準備.
【課堂互動區】
【情境引入】
三角學在生活當中有著非常廣泛的應用，大到科學研究、數理分析，小到足球射門的最佳角度問題、草坪鋪設的最優化問題以及我現在說話時聲波的傳播問題等都和三角學密切相關，今天這一節課我們就一起來學習平面三角學中最重要的一個公式之一：兩角差的余弦公式.
問題1：化簡：
，
，
問題2：請同學們想一想
的展開式是什么樣子的呢？
的呢？
設計意圖：以化簡
，
和
為起點，分析它們都具備兩角差的特征，而結果都和角
的正弦值和余弦值有關，這樣引入的目的在于加強知識前后的連貫性，讓學生明白兩角差的余弦公式不是突然出現，而是在前面學習過程中已有所接觸，同時猜想一般情況下兩角差的余弦公式可能的形式是什么.
【探究公式】
問題3：如何用任意角
的三角函數值
，
，
，
，表示
?
追問1：已知
是任意角，若它們的終邊相同，你能用
表示
嗎？ 追問2：如圖，
和
的終邊與單位圓的交點分別為
和
，請寫出點
，
的坐標.
追問3：請你說說
，
表示什么含義？
追問4：請你說說
表示什么含義？
追問5：請找出角
，說說你的辦法.
追問6：如圖，你能找到哪些等量關系呢？試從等量關系出發，看看你能得到什么結論？
設計意圖：設置合理問題串，問題間隙循序漸進，問題設置的指向性要明確.在推導兩角差的余弦公式的過程中，為了找到
，開始時設置了以下追問追問2：你能用
和
表示以
為始邊，
為終邊的角嗎？追問3：請你說說
的幾何意義？當從2過渡到3時，學生不知從何說起.2和3之間的過渡太大，問題指向也不明確.所以，我把問題調整為以上六個追問，學生能夠順利的回答
表示什么含義這個問題，從而突破本節課難點.
追問7：當
和
終邊相同時，仍有上述結論嗎？
設計意圖：分類討論，推導出兩角差的余弦公式，同時明確同角三角函數的平方關系與兩角差的余弦公式的內在辯證統一關系.
兩角差的余弦公式：
問題4：
設計意圖：回扣開始時提出的問題，首尾呼應，同時鞏固加深理解公式.
【應用公式】
例1 利用公式
證明：
（1）
（2）
（3）
問題5：兩角差的余弦公式與誘導公式有何關系？
設計意圖：把兩角差的余弦公式中的某一個角換成特殊角以后，公式就變成了前面學習的誘導公式，它們之間是特殊與一般的關系，雖然它們在形式上不同，但在本質上是辯證統一的，我們從另一個全新的角度認識了誘導公式,這六個誘導公式統一于這一個公式，兩角差的余弦公式是其一般化的表達，非常便于我們記憶,學習要經歷一個由薄到厚再由厚到薄的過程.
例2 已知
，
，
，
是第三象限角，求
的值.
設計意圖：一方面使學生熟記公式，掌握公式的結構形式及其功能；另一方面訓練學生有序的思維習慣，發展學生的數學運算素養，培養學生程序化的思維習慣，首先確定解題依據的是哪個公式；其次，與公式相比，觀察題目的形式特點，確定需要求出哪些值；最后，根據第二部得到的方案求值，再代入，解決問題.
練習：
①
②
③
④
設計意圖：兩角差的余弦公式的逆向應用，加深學生對公式的理解及應用.
【課堂小結】
設計意圖：本環節包括知識小結和方法小結。學生自主梳理本節課的知識要點，形成知識框架，總結概括本節課蘊含的豐富的思想方法，提升學生的數學核心素養.
【布置作業】
設計意圖：包括基礎鞏固、能力提升和拓展延伸，分層布置，滿足不同學生需要，實現多元發展。
【板書設計】
設計意圖：呈現公式推導過程，規范例題解答，起到引領示范的作用.
公式： 例1：（略） 例2：（略）
特點：
（推導過程略）
當
時 兩角差的余弦公式 小結：知識
與誘導公式關系 方法
當
時
【課后鞏固區】
請根據自己的學習情況選擇適合自己的習題，其中A組為必做題，B組為拓展題
A組：
1.
=( )
A.
B.
C．
D．
2.（多選題）滿足
的一組
的值是( )
A．
B．
C．
D．
3.
.
4.
= .
5．已知
，
，求
.
6．已知
，求（1）
.（2）
.
B組：
1.你能利用公式
推導出
的展開式嗎？
2.已知
和
都是銳角，
，
，求
的值.(提示：
.)
七、教學評價
設計意圖：通過自我、同伴、教師評價使學生能夠正確認識自己，彌補不足，發揚優點，促進學生進步.
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自我評價 |
同伴評價 |
教師評價 |
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好 |
良好 |
一般 |
不好 |
好 |
良好 |
一般 |
不好 |
好 |
良好 |
一般 |
不好 |
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學習自信 |
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學習態度 |
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合作意識 |
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應用意識 |
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創新能力 |
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視頻來源：優質課網 www.jixiangsibao.com
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