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視頻標簽：等比數列
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：第二屆中國好教育聯盟高中數學優質課全國總決賽人教A版必修五2.4等比數列-河北
教學設計、課堂實錄及教案：第二屆中國好教育聯盟高中數學優質課全國總決賽人教A版必修五2.4等比數列-河北省 - 邢臺
《等比數列》第一節教學設計
【教學內容及內容分析】
等比數列是高中課程標準實驗教科書數學（必修5）第二章第四節的內容。 數列是高中數學重要內容之一，它不僅有著廣泛的應用，如儲蓄、分期付款的有關計算會用到等比數列前n項和的一些知識，而且起著承前啟后的作用——數列作為一種特殊的函數與前面學到的函數思想密不可分，另外也為后面進一步學習數列的極限等內容做好準備。
在數列的學習中，等差數列和等比數列是兩種最重要的數列模型，并且等差數列與等比數列在內容上是完全平行的,包括定義、性質、通項公式、前n項和的公式、兩個數的等差（比）中項、兩種數列在函數角度下的解釋等，因此在教學時可用對比方法，以便于弄清它們之間的聯系與區別。
【學情分析】教學對象是進入高中不久的學生，他們具有一定的分析問題和解決問題的能力，邏輯思維能力也初步形成，但由于年齡的原因，思維盡管活躍，敏捷，但缺乏冷靜、深刻，因此片面、不嚴謹。
從學生的思維特點看，很容易把本節內容與等差數列的學習過程作對比，這是一種積極因素，應充分利用。但相比等差數列，等比數列中要注意的地方更多，比如說：等比數列的公比不能為零，等比數列的各項都不能為零等，這些細節學生容易忽略，通過本節課的學習，增強學生思維的嚴謹性。
【教學方法及設計意圖】《新課程改革綱要》提出：“要改變課程實施過于強調接受學習，死記硬背、機械訓練的現狀，倡導學生主動參與、樂于探究、勤于動手，培養學生搜集和處理信息的能力、獲取新知識的能力、分析和解決問題的能力以及交流合作的能力”。 針對這一目標，這節課做了如下設計：
（1）借助豐富的實例，使得學生加深對等比數列的認識。最終，通過學生的觀察、分析、探討得出等比數列的概念。并且借助這一過程使學生認識到數學來源于生活，經歷觀察現象，發現問題，總結歸納這一過程，促使學生形成善于觀察，善于思考的好習慣。
（2）學生相互探討，積極思考，以等差數列的通項公式的推導為參照物，探索等比數列的通項公式；通過與指數函數的圖像類比，探索等比數列的通項公式的圖像特征及指數函數之間的聯系。通過這一過程鍛煉學生的類比能力。
（3）讓學生通過具體練習進一步體會從實際問題中抽象出等比數列模型，提高學生解決簡單實際問題的能力。
本節課還滲透了一些數學思想方法,比如類比思想、歸納思想、一般到特殊的思想等。
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【三維教學目標】
知識與技能：通過實例,理解等比數列的概念;掌握等比數列的通項公式、等比中項、圖像特點,能在具體問題情境中,發現數列的等比關系,提高數學建摸能力.
過程與方法：通過現實生活中大量存在的數列模型,讓學生充分感受到數列是反映現實生活的模型,體會數學是豐富多彩的而不是枯燥乏味的,達到提高學生學習興趣的目的.
情感、態度、價值觀：通過對等比數列概念的歸納,進一步培養學生嚴密的思維習慣,以及實事求是的精神,嚴謹的科學態度.體會探究過程中的主體作用及探究問題的方法，經歷解決問題的全過程。
【教學重點】等比數列的定義和通項公式。 【教學難點】等比數列和指數函數之間的聯系。 【教具】多媒體 【教學過程】
一、導入新課
發紅包游戲：最后一位中獎同學；你高興嗎?帶著這份愉悅心情來回答老師一個問題“從這個游戲中你能找到至少兩個數列嗎？”
學生回答：紅包個數16，8，4，2。中獎的錢數1，2，4，8.
教師：在實際生活中像這樣的數列還有很多，早在2000多年前在《莊子·天下篇》這樣寫道：“一尺之錘，日取其半，萬世不竭！”同學們，這句話蘊含著一個什么數列呢？
學生共答：
【設計意圖】體會數學源于生活的實際。體現由特殊到一般的數學思維模式。
預計用時：5分鐘
二、推進新課
（一）類比等差數列給出等比數列的定義。
問題一：觀察上述數列，你能發現它們存在什么共同的特征嗎？ 學生思考后回答，教師重點幫助分析特點，①從第二項起②每一項與前一項的比③同一常數 最后給出等比數列的定義和公比的定義。教師板書定義 問題二:能否給出符號表達？教師板書，學生答
【設計意圖】由幾個具體數列提煉出定義，培養學生歸納總結的能力，類比等差數列下定義，增強學生的類比能力，體會數學知識之間的聯系。讓學生發表自己的見解，強化學生的主體地位，培養學生的語言表達能力。
教師：同學們認識了等比數列了，那么看老師給的這幾個數列是等比數列嗎？課件展示：下列數列是否為等比數列，如果不是，請說明原因： (1) １,2, 4, 16, 64, „ (2) 16, 8, 1, 2, 0,„ (3) b, b, b, b, b, b, b, „
,...
21
,......,161,81,41,211,1n
3
(4) 2, -2, 2, -2, 2 學生互相討論，教師提問學生回答，結合學生回答，相應部位用彩筆標注需要注意的地方： (1) 比值是同一個常數；(2) 等比數列｛an｝中, an≠0；(3) 常數列都是等差數列，非零常數列又是等比數列q＝1． 【設計意圖】結合練習找到定義中的需注意的點，講練結合，使學生更好的掌握知識。 預計用時：5分鐘
（二）以上一題為例提示運用等比中項思想
問題三：根據等比數列的定義來完成下面的數字游戲 （1）1.（ ），4 （2）-1，（ ），-9 學生簡單考慮，就能回答出來。
教師追問：我們回憶一下在等差數列中，a,b間插入一個數使三個數成為等差數列，那么這個數我們叫做等差中項。那么在這里，我們給它取個名字為？學生回答“等比中項” 幻燈片打出等比中項定義。教師補充并板書二等比中項。 教師問：中間數G如何求得？學生回答： 教師問：能否給出推導過程，教師加以補充ab同號
【設計意圖】類比舊知識，探究新定義，提高學生的學習能力。
并使學生發現定義中需注意的地方，加深對概念的理解。 預計用時：5分鐘 （三）類比等差數列通項公式的推導過程，推導等比數列的通項公式。 問題四：通過等比數列的認識我們發現它是一個有規律的數列，按照這個規律大家來思考這樣幾個問題：①已知數列中的首項1a和公比q，能否得到數列的任意項na呢？②已知2a和q呢？③已知ma和q呢？
同學們以小組的形式討論你思考的結果
①學生的方法有三種：不完全歸納法，累乘法，迭代法。在學生中找到有代表的解法用投影儀展示，展現學生風采。在累乘法中還需注意，學生忽略n=1情況的驗證，教師需糾正后再給于表揚，教師板書通項公式。 板書：通項公式
②問題的答案是什么？學生回答：2
2nnqaa教師追問
③問的答案：m
nmnq
aa
問：如何得到的。說明你的過程
學生答，教師展示結論，由上面我們得到的通項公式來解決下面的問題 【設計意圖】培養學生自己解決問題的能力，變“要我學”為“我要學”。 （四）學以致用，例題分析
例1一個等比數列的第3項和第4項分別是12和18，求它的第一項和第二項。預計：學生可能想到的例2的解法，一是利用方程的思想，二是利用等比數列的定義，三是等比中項的思想來做題，但現在還不知道等比中項的概念）
【設計意圖】讓學生熟悉等比數列的通項公式，并能靈活應用之。結合例2，鍛煉學生思維的靈活性，并為引入等比中項的概念做鋪墊，使知識點過渡自然。 預計用時：12分鐘
例2：某種放射性物質不斷變化為其他物質，每經過一年剩留的這種物質是原來的84%，這種物質的半衰期為多長（精確到1年）？
【設計意圖】例1加強學生對概念的理解，能夠靈活運用公式；例4增強學生聯系實際的能力，培養數學建模意識。 預計用時：6分鐘
教師對習題給學生一個整體的認識
總結通過例題的鞏固與練習，不管是11nnqaa還是mnmnqaa都是含有四個量，在這里我們體會了知三求一的方程思想 而數列又是一個特殊的數列，等差數列的圖象是一條直線上孤立的點，那么等比數列的圖像呢？
（五）等比數列的圖象探索
我們來看這樣的一個等比數列，首項是11a，公比q=2,則通項公式是12nna。我們能做出它的圖象嗎？而數列的圖象就是它嗎？
學生探索發現，展示學生的發現，引導學生能否把結論推廣到一般 問：是不是所有的等比數列都是指數型函數呢？
學生思考后答：q>0且q≠1時的等比數列的圖象是指數函數圖象上的孤立的點
【設計意圖】通過用不同的數學知識解決類似的數學問題，揭示數學知識是相互關聯的。啟發學生從不同角度去看問題。 第3/5頁
預計用時：5分鐘
三、課后探究（數學興趣小組課下活動）
課件顯示：探究一：1、利用推導等差數列和等比數列的通項公式的方法，由下列數列的遞推公式求出通項公式：
探究二：做課后練習1，3，4，結合練習，類比等差數列的性質，自主研究等比數列的性質。
【設計意圖】課后探究給學有余力的學生創造更廣闊的數學空間。 預計用時：1分
四、小結。①從知識與方法技巧兩方面說說你本節課的收獲 ②問題過程中所用的數學思想
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【設計意圖】預計用時：1分鐘
五、作業
布置作業：課后習題A組1，6，8
【設計意圖】1題鍛煉學生的計算能力及對通項公式的應用，6題鞏固對等差（比）中項的認識，8題綜合考查本節課所學內容。
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