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視頻標簽：點到直線的距離
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學人教A版必修二3.3.3點到直線的距離-北京
教學設計、課堂實錄及教案：高中數學人教A版必修二3.3.3 點到直線的距離-北京市密云縣第二中學
建構主義學習理論認為：個體的學習不是在一片空白或完全相同的背景下進行的，他的已有知識經驗、信念、個性、情感等都不同程度的參與其中。所以，教學應當重視學生已有的經驗，把這些經驗作為新知識的生長點，引導學生從原有經驗中“生長”出新的知識經驗。教學不是簡單的知識傳遞，而是知識的處理和轉換。同時《數學課程標準》明確指出：“倡導積極主動，勇于探索的學習方式。”
基于此，本節課的教學從學生初中課本中的一個例子出發，引導學生發現解決同一問題的不同途徑和方法。通過對幾個具體的特殊的情況的分析和解決，從而得出推廣到一般情況下的結論，體現了由特殊到一般的解決問題的方法。對于解決問題兩種方法的思考來源，追問學生依據是什么，讓學生體會新、舊知識之間的處理和轉換，符合學生的認知特點。學生活動的設計，圍繞以學生為中心，突出學生的主體作用。
教學背景分析
《直線與方程》是平面解析幾何的第一章，是研究解析幾何的起始章節。在方法上介紹了坐標法，它是解析幾何中最基本的研究方法。《點到直線的距離》這一節，是聯結《兩點間的距離》和《兩條平行直線間的距離》的橋梁。它既是兩點間距離的應用，又是兩條平行直線間距離公式的來源，還可以求三角形的高，求圓心到直線的距離，求拋物線的方程等等。無論是從知識結構還是教材的編排上看，它都是本章的核心內容。
學生剛剛接觸解析幾何，對坐標法的理解和掌握都不是很到位，因此本節課的教學繼續強化學生對坐標法的理解和應用。學生已經掌握了直線的傾斜角和方程、直線的方程、兩點間的距離等相關知識，在此基礎上繼續進行對點到直線的距離的探索。通過本節課的教學，能讓學生在探索過程中深刻的體會到新、舊知識之間的聯系，領悟到蘊涵于公式推導中的重要的數學
2
思想和方法，學會利用數形結合思想，化歸思想，由淺入深，由特殊到一般的研究數學問題的方法，培養學生的發散思維。
本節課我采用啟發式教學、計算機輔助教學等教學方式。
啟發式教學重視全面發揮學生的主觀能動性，啟發學生通過自己積極主動的思維去獲取知識，發展思維能力，培養智力。啟發式教學主要是善于問答，從引入的問題開始，通過一個個精心設計，逐步遞進的問題，引發學生思考，引導學生探索公式推導的思路并完成公式的推導，培養學生思維的靈活性，嚴密性，滲透數學思想。計算機輔助教學，使學生直觀感知點到直線的距離，并由特殊情況推廣到一般情況，從而突破難點。談話法是對部分學生進行前測，找到他們在恒等變形中存在的問題，針對這一問題，我在直線是特殊的位置時，即平行（或垂直于）坐標軸時，向學生滲透了yx,軸互換位置的想法，提高了學生對推導公式的操作性。
建構主義的學生觀認為教學應當重視學生已有的經驗，把這些經驗作為新知識的增長點，引導學生從原有經驗中“生長出”新的知識經驗。因此，在推導點到直線的距離公式的第一種方法中，將點到直線距離轉化為兩點間距離，體現了“化歸”的數學思想方法。第二種方法運用了推導兩點間距離公式中構造直角三角形的方法，培養學生學以致用的能力。
教學目標
教學的目的是促進學生的發展，一是掌握數學基本知識、基本技能、基本思想、基本方法，二是培養數學能力，三是培養個性品質，得到全面發展，因此我將教學目標定為：
1.推導點到直線的距離公式，掌握點到直線的距離公式，會利用公式求點到直線的距離； 2.學生通過自主探究，個別展示，互助交流，共同尋求點到直線的距離公式的推導方法，在探究過程中，學生體會數形結合，化歸與轉化的數學思想方法，以及由特殊到一般的研究方法。
3.學生能夠用聯系的觀點看問題，在探究問題的過程中形成鍥而不舍的鉆研精神，并體驗成功的喜悅。
重、難點
從學生已有的知識和經驗看，可以把點到直線的距離問題轉化為點到點的距離問題，從而完成任務，此種方法雖然思路清晰，但是計算量大，所以公式的推導是難點。公式的推導過程滲透了多種數學思想（數形結合，等價轉化等），所以公式的推導也是重點，基于在解析幾何中點到直線的距離公式的頻繁應用，因此也將點到直線的距離公式的簡單應用作為重點。
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合 作 交 流
（1） 當直線垂直于x軸時：
),(00yxP，axl: axd0
（2） 當直線垂直于y軸時：
),(00yxP，byl: byd0
觀察兩個式子，當直線垂直于x軸時，得到了點到直線的距離axd0，當直線垂直于y軸時，就可
以看成是x軸，y軸互換位置，只要把式子中的x換成y，相應的a換成b即可。
問題4：當直線既不垂直于x軸也不垂直于y軸時，如何求點P到直線l的距離？給出一組具體點的坐標和直線的方程，求此時點到直線的距離。
法1: 利用兩點間距離公式
如圖，由042yx可得直線l的斜率為2，則
直線PQ的斜率為21
，由直線方程的點斜式，可得直線
PQ的方程為：221xy，聯立方程
221
42xyxy，得點Q的坐標為)512
,54(，由兩點間距離公式可得
5
5
7)1512()254(22
PQ. 方法1利用了兩點間距離公式，將點到直線的距離轉化
學生回答點到直線的距
離的表示。
學生展示方
法1
教師點評后，學生思考其中所蘊含的數學思想方法。
使學生體會由特殊到一般的
思想，由具體到抽象的解決問題的方法，將x軸，y軸互換位置的思想也為后面推導點到直線的距離公式提供一種思路，可以減少學生的計算量，為公式的獲取節省時間。
通過巡視，選取具有代表性的解法，前面展示的同學與未展示的同學可以產生共鳴。可以吸引
學生的注意力，找到自己與展示同學方法的異同。
5
為以前學習過的兩點間的距離，思路比較清晰，學生 能夠體會坐標法的思想，但是計算上略顯繁瑣。
學生總結用兩點間距離公式求點到直線的距離的步驟：
方法2：等面積法
如圖，過P點分別作x軸和y軸的平行線，交直線l與
R和S，則直線PR的方程為1y,R的坐標為)1,23
(，
直線PS的方程為2x，S的坐標為)8,2(，于是
,27PR,7PS,25
7RS由三角形面積公式可
得，PSPRRSd,所以5
57d
學生總結利
用兩點間距離公式求點到直線的距
離的步驟。
學生展示方法2
通過學生之間的糾錯，點評，能夠發現自己的問題，解題步驟的總結，也為解決同一類提供了解決
的方法和途徑。使學生掌握解決同一類問題的規范的解題步驟。
充分發揮學生學習的主動性，通過多種解法，解決問題，在上課的過程中，學生可能還會有其他的解法，在分析思路以及方法的可行性后，教師要給予肯定。解題步驟的總結
確定直線l的斜率k
求與l垂直直線的斜率
求過點P垂直于l的直線'
l的方程
求l與'
l的交點Q
求點P與點Q間的距離 得到點P到l的
距離
方法2利用三角形面積相等，在計算上要優于方法1。先求與坐標軸平行的線段的長度，再求與坐標軸不
平行的線段的長度。把斜線段的長度問題轉化為兩條 圖9
平行于坐標軸的線段的長度問題，體現了降維的思想。 學生總結用等面積法求點到直線的距離的步驟：
問題5：推廣到一般的直線，又該如何求點到直線的距離？
方法：等面積法
過點P分別作x軸和y軸的平行線，交直線l于R和S，則直線PR的方程為0yy，R的坐標為
教師點評后，學生思
考其中所蘊含的數學思
想方法。
學生總結利用等面積法求點到直線的距離的步驟。
將具體的情況推廣到一般情況，學生思考如何用點的坐標和直線方程中的系數來表示點到直
線的距離。
也為后面推導點到直線的距離公式提供思路，規范解題步驟。
方法2是教材中介紹的方法，將點到直線的距離轉化為直角三角形斜邊上的高，這種方法也是學生需要自己動手完成的，此方法的思路與上節課學習的兩點間距離公式的推導方法相似，都是構造直角三角形，體現了知識之間的相互聯系，以及學生學以致用的能力，同
時也考察了學生一定的計算能力。
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