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視頻標簽：二次函數,綜合問題,最值問題
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學人教A版必修1-二次函數的綜合問題—最值問題
教學設計、課堂實錄及教案：高中數學人教A版必修1-二次函數的綜合問題——最值問題
二次函數的綜合問題——最值問題 教學設計
廣州市第一中學 王亞萍
一、教學內容分析
二次函數的最值問題是函數非常重要的一個性質，從近幾年的學業水平測和高考試題來看，二次函數圖象的應用與其最值問題是熱點，主要考查二次函數與一元二次方程及一元二次不等式三者的綜合應用。本節課是學業水平考前的一節綜合復習課，旨在讓學生提高解決二次函數綜合問題的能力。
二、教學目標
1、知識目標：掌握解決二次函數在閉區間上最值問題的一般解法，總結歸納出閉區間上最
值的一般規律，學會運用二次函數在閉區間上的圖像研究和解決相關問題。
2、能力目標：通過圖像，觀察影響二次函數在閉區間上最值的因素，在此基礎上討論探究
出解決二次函數在閉區間上最值問題的一般解法和規律。
3、能力目標：通過探究，讓學生體會分類討論與數形結合思想在解決數學問題中的重要作
用，培養學生分析問題、解決問題的能力，同時培養學生合作與交流的能力。
三、教學重難點
重點：當閉區間端點不定或二次函數對稱軸不確定時，討論二次函數的最值問題。 難點：數形結合、分類討論方法的正確運用。
四、教法、學法分析
教法分析：“教無定法”，這是一節探究課，我只是教學的組織者、引導者、合作者，在教學
過程中充分調動學生的積極性，讓學生成為課堂的主人。在教學過程中我主要采用以下教學方法：開放式探究法，啟發式引導法，學生展示、反饋式評價法。
學法分析：任教的班級為文科重點班，學生的學習態度較認真，能夠積極參與到數學活動中
來，能較好的接受知識，但數學思維不夠靈活，分析問題和舉一反三的能力有待加強，尤其遇到綜合問題，缺乏解決問題的自信心。
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五、教學過程 復習鞏固：
二次函數的圖像與性質
探討：二次函數在閉區間上的最值問題
典例精析： 例1、 已知函數
32)(2xxxf
(1)當0,2
x 時，)(xf的最大值為______；最小值為______.
(2)當 5,2x 時，
)(xf的最大值為______；最小值為______.
題后小結：__________________________________________________________________.
【設計意圖】：這是一道基礎練習，是二次函數定軸定區間的問題。作為熱身訓練，提高學
生的學習興趣，體會這類問題的基本解題方法。
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變式：若函數32)(2xxxf，求)(xf 在區間2,aa上的最小值.
【設計意圖】：在例1的基礎上進行變式，將二次函數定軸定區間求最值變化為在動軸定區
間求最值。解題思路在例1的基礎上得到提升，并歸納總結這兩題解題思路的相似與不同之處，讓學生利用數形結合、分類討論的數學思想解決這一教學重點，并掌握解題技巧。
例2. 已知函數
2()23fxxax在區間[1,5]上是單調函數，則實數a的
取值范圍是_____________________．
【設計意圖】：例2以及變式訓練涉及到二次函數在動軸定區間求最值的問題，為了更好的
解決這一教學難點，通過這道例題以及兩道變式訓練，難度逐層推進，使學生更加容易掌握這一類問題的解題方法。
變式1. 若函數
2()23fxxax，[1,5]x，求函數()fx的最小值.
題后小結：___________________________________________________________________.
變式2. 若函數
2()23fxxax，[1,5]x,若()0fx恒成立，求實數a的
取值范圍.
【設計意圖】：通過以上兩道變式訓練，讓學生掌握二次函數在動軸定區間上的求最值問題，
并將問題引申到函數恒成立問題。難度逐漸增大，但解決問題的思路和方法都具有相似性，較好的解決了教學難點。
通過以上兩道例題和變式訓練，環環相扣，能充分調動學生的學習積極性，訓練數學思維能力，及時的通過實物展臺展現學生的解題過程，讓學生體會到解決問題的滿足感和成就感。及時給予指導，重點突出，難點得以突破。
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思考題：已知函數
34)(2axxxf,是否存在實數a，使得函數)(xf在區間
2,aa上有最小值－6 ？若存在，請求出實數a的值；若不存在，請說明理
由.
【設計意圖】：此題是二次函數在動軸動區間求最值問題，是這類問題的升華。對學生具有
挑戰性，能充分激發學生的學習潛能，讓學有余力的同學的數學思維得到進一步的訓練和提高。
學生自我小結：【方法點睛】 1、影響二次函數
)(xf在區間nm,上最值的要素有三個,即拋物線的開口方向、對稱軸、
閉區間；常用數形結合思想求解,但當三要素中有一要素不確定時，要分情況討論； 2、常結合二次函數在該區間上的單調性和圖像求解，在區間的端點或二次函數圖像的頂點處取得最值； 3、注意分類討論。
課后練習：
1. 若函數2()41fxxx在定義域A上的值域為[3,1]，則區間A不可能為( ). A. [0,4] B. [2,4] C. [1,4] D. [3,5]
2．在函數2
()fxaxbxc中，若,,abc成等比數列且(0)4f，則()fx有最________
值(填“大”或“小”)，且該值為________．
3. 若函數2
()23fxxx在區間[0,]m 上的最小值是2，最大值是3，則m的取值范圍是________．
4. 函數2
()2fxxx，若()fxa在區間[1,3] 上滿足：①恒成立，則a的取值范圍為
________;②有解，則a的取值范圍為________.
5. 方程2
240xax的一根大于1，一根小于1，則實數a的取值范圍_______________．
6. 若二次函數2()(0)fxaxbxca 滿足(1)()2fxfxx，且(0)1f.
(1) 求f(x)的解析式；
(2)若在區間[－1,1]上，不等式()2fxxm恒成立，求實數m的取值范圍．
7.設a為實數，函數2()2()||fxxxaxa.
(1)若(0)1f，求a的取值范圍；(2)求f(x)的最小值；
(3)設函數h(x)＝f(x)，x∈(a，＋∞)，直接寫出(不需給出演算步驟)不等式h(x)≥1的解集．
【設計意圖】：通過課后練習，讓學生對二次函數在閉區間內求最值這類問題的掌握得到及
時的鞏固和提高，既檢驗了在課堂上對內容的理解和掌握，又能夠讓學生的思維空間得到進一步的提高，充分體驗解決數學問題的樂趣，增強自信心和成就感。
視頻來源：優質課網 www.jixiangsibao.com
