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視頻標簽：加減消元法
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：北師大版初中數學八年級上冊5.2《加減消元法（第2課時）》青海省優課
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第五章 二元一次方程組
2. 加減消元法（第2課時）
一、學生起點分析
學生的知識技能基礎：在學習本節之前，學生已經掌握了有理數、合并同類項、去括號等法則，能熟練的進行簡單的整式的加、減法運算整式的運算，知道方程的解的意義，能熟練的求解一元一次方程，了解了二元一次方程以及解的意義、二元一次方程組及其解的意義，能通過代人消元法求解二元一次方程組.
學生活動經驗基礎：在相關知識的學習過程中，學生已經經歷了列整式、列一元一次方程并求解，列二元一次方程組解決了一些簡單的現實問題，感受到了方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型，通過解一元一次方程和用代入消元法解二元一次方程組獲得了解二元一次方程的基本經驗和基本技能；同時在以前的數學學習中學生已經經歷了很多合作學習的過程，具有了一定的合作學習的經驗，具備了一定的合作與交流的能力.
二、教學任務分析
教科書基于學生對前面解一元一次方程和用代入消元法解二元一次方程組基礎之上，提出了本課的具體學習任務：會用加減消元法解二元一次方程組，了解解二元一次方程組的“消元”思想，初步體現數學研究中“化未知為已知”的化歸思想.
《課程標準（2011年版）》把方程與方程組的重點放在解法和應用上，特別強調體會方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型，如何解方程與方程組時方程與方程組教學的主體和重點.對于二元一次方程組來講，強調“消元”的思想和方法，應是貫穿于始終的一條主線，通過“消元”，將二元一次方程轉化為一元一次方程實現求解的目的，體現了化繁為簡，以簡馭繁的基本策略，對促進了學生理性思維的發展具有重要意義.通過第一課時是學習，學生已經能夠解一般的二元一次方程組，但對于有些方程用代人消元法解可能比較繁雜，用加減消元法要簡單一些，同時加減消元法在學生將來的矩陣運算中有廣泛的應用。因此這個課時就進一步學習二元一次方程組的加減消元法.
加減消元法是解二元一次方程組的基本方法之一，它要求兩個方程中必須有某一個未知數的系數的絕對值相等（或利用等式的基本性質在方程兩邊同時乘以一個適當的不為0的數或式，使兩個方程中某一個未知數的系數的絕對值相等），然后利用等式的基本性質在方程兩邊同時相加或相減消元.
為此，本節課的教學目標是： (1)會用加減消元法解二元一次方程組.
(2)進一步理解二元一次方程組的“消元”思想，初步體會數學研究中“化未知為已知”的化歸思想.
(3) 選擇恰當的方法解二元一次方程組，培養學生的觀察、分析能力. 本節課的教學重點是：
用加減消元法解二元一次方程組. 本節課的教學難點是：
在解題過程中進一步體會“消元”思想和“化未知為已知”的化歸思想.
三、教學過程設計
本節課設計了五個教學環節：第一環節：情境引入；第二環節：講授新知；第三環節：鞏固新知；第四環節：課堂小結；第五環節：布置作業.
第一環節：情境引入
內容：鞏固練習，在練習中發現新的解決方法
怎樣解下面的二元一次方程組呢？（學生在練習本上做，教師巡視、引導、解疑，注意發現學生在解答過程中出現的新的想法，可以讓用不同方法解題的學生將他們的方法板演在黑板上，完后進行評析，并為加減消元法的出現鋪路.）
35212511xyxy
①
②
學生可能的解答方案1：
解1：把②變形，得：511
2
yx, ③
把③代入①，得：511
35212
yy, 解得：3y.
把3y代入②，得：2x.
所以方程組的解為2
3
xy.
學生可能的解答方案2： 解2：由②得5211yx, ③
把y5當做整體將③代入①，得：321121xx, 解得：2x.
把2x代入③，得：3y. 所以方程組的解為2
3
xy
.
（此種解法體現了整體的思想）
學生可能的解答方案3：（觀察發現：兩個方程中一個含有5y，而另一個是
5y，兩者互為相反數）
解3：根據等式的基本性質 方程①+方程②得：105x, 解得：2x,
把2x代入①，解得：3y,
所以方程組的解為23
xy.
通過上面的練習發現，同學們對代入消元法都掌握得很好了，基本上都能夠按要求解出二元一次方程組的解（如方案1），可是也有同學發現（方案2）的解法比（方案1）的解法簡單，他是將5y作為一個整體代入消元，依然體現了代入法的核心是代入“消元”，通過“消元”，使“二元”轉化為“一元”，從而使問題得以解決，那么（方案3）的解法又如何？它達到“消元”的目的了嗎?
（留些時間給學生觀察，注意引導學生觀察方程中某一未知數的系數，如x的系數或y的系數）
引導學生發現方程①和②中的5y和5y互為相反數，根據相反數的和為零
（方案3）將方程①和②的左右兩邊相加，然后根據等式的基本性質消去了未知數y，得到了一個關于x的一元一次方程，從而實現了化“二元”為“一元”的目的.
這就是我們這節課要學習的二元一次方程組的解法中的第二種方法——加減消元法.
目的：在練習的過程中學會思考、分析，通過思考自然地得出我們要研究和解決的問題.
設計效果：通過學生練習、對比、討論，既鞏固了已學的用代入法解二元一次方程組的知識，又在此過程中發現了新的解二元一次方程組的方法——加減消元法.
說明：如果班級學生不能發現方法3，教師可以適當引導，如在方法二中，我們直接解出5y，代入另一式子從而消去一個未知數，是否可以不解出直接消去這個未知數呢？兩個式子中y的系數有什么關系？能否通過等式性質進行加減直接消去這個未知數呢？
第二環節：講授新知 內容1：（教師板書課題）
下面我們就用剛才的方法解下面的二元一次方程組.（教師規范表達解答過程，為學生作出示范）
例1 解下列二元一次方程組（若學生先前的環節接受得好，可以讓學生獨立完成，教師再跟進講授）
(1)257231xyxy
分析：觀察到方程①、②中未知數x的系數相等，可以利用兩個方程相減消去未知數x.
解：②-①，得：88y, 解得：1y, 把1y代入①，得：752x,
解得：1x,
①
②
所以方程組的解為1
1
xy.
(解答完本題后，口算檢驗，讓學生養成進行檢驗的習慣，同時教師需強調以下兩點：
(1)注意解此題的易錯點是②-①時是232517xyxy，方程左邊去括號時注意符號.另外解題時，①-②或②-①都可以消去未知數x，不過在①-②得到的方程中，y的系數是負數，所以在上面的解法中選擇②-①；
(2)把1y代入①或②，最后結果是一樣的，但我們通常的作法是將所求出的一個未知數的值代入系數較簡單的方程中求出另一個未知數的值.
內容2：過手訓練：用加減消元法解下列方程組：
（1）52953
xyxy， （2）3827xyxy.
目的：由學生做練習，體會加減消元法的基本特點，熟悉加減消元法的基本步驟，提升學生用加減消元法解二元一次方程組的基本技能，積累解二元一次方程的活動經驗.
設計效果：學生都能迅速、正確的表述解答過程，嘗到解方程組成功的快樂，激發了學會解二元一次方程組的信心和熱情，為后面問題的處理打下了心理基礎.
師生一起分析上面的解答過程，歸納出下面的一些規律：
在方程組的兩個方程中，若某個未知數的系數是相反數，則可直接把這兩個方程的兩邊分別相加，消去這個未知數；若某個未知數的系數相等，可直接把這兩個方程的兩邊分別相減，消去這個未知數得到一個一元一次方程，從而求出它的解，這種解二元一次方程組的方法叫做加減消元法，簡稱加減法）
內容3：例2 解方程組 23123417
xyxy
（先留一定的時間讓學生觀察此方程組，讓學生說明自己觀察到方程有什么特點，能不能自己解決此方程組，用什么方法解決？如學生提出用代入消元法，可以讓學生先按此法完成，然后再問能不能用剛學過的加減消元法解決？讓學生討論嘗試，學生可能得到的結論如下）
①
②
1.對于174312
32yxyx用加減消元法解，x、y的系數既不相同也不是相反數，
沒有辦法用加減消元法.
2.是不是可以這樣想，將方程組174312
32yxyx中的方程用等式的基本性質將
這個方程組中的x或y的系數化成相等(或互為相反數)的情形，再用加減消元法，達到消元的目的.
3.只要在方程①和方程②的兩邊分別除以2和3，x的系數不就變成“1”了嗎？這樣就可以用加減消元法了.
4.不同意3的做法.如果這樣做，是可以解決這一問題，但y的系數和常數項都變成了分數，這樣解是不是變麻煩了嗎？那還不如用代入消元法了.不如找x的系數2和3的最小公倍數6，在方程①兩邊同乘以3，得3696yx③,在方程②兩邊同乘以2，得3486yx④,然后③-④，就可以將x消去，得2y,
把2y代入①得，3x.所以方程組的解為.
2,
3yx
（在引導的過程中，肯定學生的好的想法.）其實在我們學習數學的過程中，二元一次方程組中未知數的系數不一定剛好是1或-1，或同一個未知數的系數剛好相同或相反.我們遇到的往往就是這樣的方程組，我們要想比較簡捷地把它解出來，就需要轉化為同一個未知數系數相同或相反的情形，從而用加減消元法，達到消元的目的.請大家把解答過程寫出來.
解：①×3，得：6936xy， ③ ②×2,得：3486yx， ④ ③－④，得：2y. 將2y代入①，得：3x. 所以原方程組的解是
23
yx. 內容4：議一議
根據上面幾個方程組的解法，請同學們思考下面兩個問題： (1)加減消元法解二元一次方程組的基本思路是什么？ (2)用加減消元法解二元一次方程組的主要步驟有哪些？ (由學生分組討論、總結并請學生代表發言) ［師生共析］
(1)用加減消元法解二元一次方程組的基本思路仍然是“消元”. (2)用加減法解二元一次方程組的一般步驟是：
①變形----找出兩個方程中同一個未知數系數的絕對值的最小公倍數，然后分別在兩個方程的兩邊乘以適當的數，使所找的未知數的系數相等或互為相反數．
②加減消元，得到一個一元一次方程. ③解一元一次方程．
④把求出的未知數的解代入原方程組中的任一方程，求出另一個未知數的值，從而得方程組的解．
過手訓練：用加減消元法解方程組：4433
3(4)4(2)
xyxy
. 注意：對于較復雜的二元一次方程組，應先化簡(去分母，去括號，合并同類項等).通常要把每個方程整理成含未知數的項在方程的左邊，常數項在方程右邊的形式，再作如上加減消元的考慮.
目的：使學生明確使用加減法的條件，體會在某些條件下使用加減法的優越性．
設計效果：通過本環節的學習，加深和鞏固了學生對加減消元法的認識. 第三環節：鞏固新知 內容：
⑴回憶上一節的練習和習題，看哪些題用代入消元法解起來比較簡單？哪些題我們用加減消元法簡單？我們分組討論，并派一個代表闡述自己的意見，試說明兩種解方程組的方法的共同特點和各自的優勢.
1.關于二元一次方程組的兩種解法：代入消元法和加減消元法，通過比較，我們發現其實質都是消元，即通過消去一個未知數，化“二元”為“一元”.
2.只有當方程組的某一方程中某一未知數的系數的絕對值是1時，用代入消元法較簡單，其他的用加減消元法較簡單.
⑵完成課本隨堂練習 ⑶補充練習：
①選擇：二元一次方程組324526
xyxy的解是（ ）.
A.11yx B. 211yx C.
211yx D. 211
yx
②2
22350xyxy，求x,y的值. ③解方程組 321253xyxy.
目的：通過練習，使學生熟練地用加減法解二元一次方程組并能在練習中摸索運算技巧，培養能力．
設計效果：通過本環節的練習，學生能夠較熟練地運用加減法解二元一次方程組.
第四環節：課堂小結 內容：
1.關于二元一次方程組的兩種解法：代入消元法和加減消元法.比較這兩種解法我們發現其實質都是消元，即通過消去一個未知數，化“二元”為“一元”.
2. 用加減消元法解方程組的條件：某一未知數的系數的絕對值相等． 3. 用加減法解二元一次方程組的步驟： ①變形，使某個未知數的系數絕對值相等； ②加減消元； ③解一元一次方程；
④求另一個未知數的值，得方程組的解． 目的：鞏固和加深對化歸思想的理解和運用.
設計效果：學生能夠在課堂上暢所欲言，并通過自己的歸納總結，進一步鞏固了所學知識.
第五環節：布置作業
1.課本習題5.3
2.閱讀讀一讀·你知道計算機是如何解方程組嗎.
目的：讓學生初步了解計算機求解二元一次方程組的基本思想和具體步驟，進一步體會消元思想，同時開闊學生視野，有興趣的學生可能會利用計算機、計算器進行嘗試求解、甚至有的學生還會對三元以上的方程進行嘗試，這些活動經驗對學生的發展十分重要.
四、教學設計反思
1.本節課是讓學生學習二元一次方程組的加減消元解法并能利用加減消元法解二元一次方程組，是提升學生求解二元一次方程的基本技能課，在例題的設置上充分體現化歸思想.
2.在學習二元一次方程組的解法中，關鍵是領會其本質思想——消元，體會“化未知為已知”的化歸思想.因而在教學過程中教師通過對問題的創設，鼓勵學生去觀察方程的特點，在過手訓練中提高學生的解答正確率和表達規范性，提升學生學會數學的信心，激發學習數學的興趣.
3.通過精心設計的問題，引導學生在已有知識的基礎上，自己比較、分析得出二元一次方程組的解法，在鞏固議練活動中，加深學生對“化未知為已知”的化歸思想的理解.特別是如何由代入消元法到加減消元法，過渡自然。讓學生深刻的體會到二元一次方程是一元一次方程的拓展，二元一次方程組又要通過“消元”，轉化為一元一次方程求解，這樣的轉化，不僅有助于學生掌握知識、技能和方法，提高學習效率，而且還加深了對數學中通性和通法的認識，體會學習數學和研究數學的規律，提升數學思維能力.
4.對于數學基礎比較扎實的學生完成情況好，在數和整式運算上沒有過關的學生，求解速度慢而且正確率較低，在教學過程中要注意這一點.
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